by Alberto Elduque
El 29 de abril de 2022, a los 74 años de edad y de manera inesperada para sus amigos, fallecía Georgia Benkart, una referente en teoría de Lie, teoría de representaciones, combinatoria o álgebra no conmutativa, y mucho más.
Para entender bien el trabajo desarrollado por Georgia, lo mejor es ir al magnífico artículo de Tom Halverson y Arun Ram: “Gems from the work of Georgia Benkart.” En este artículo aparece el siguiente párrafo:
However, we feel that Georgia’s contribution to our discipline goes well beyond this astonishing catalog of research papers, monographs, lectures, and service role. She has left an indelible mark on a generation of mathematicians through supportive collaboration with more than 90 coauthors, many of whom are (or, more accurately, were) early-career researchers. And there are even more mathematicians who were not her coauthors but to whom Georgia’s mentoring, advice, and support made it possible for them to achieve much more than they ever expected of themselves. Georgia, always humbly and perfectly, serves as a role model and mentor to all.
Varios matemáticos españoles (¡plural neutro!) nos encontramos entre aquellos afortunados a los que Georgia nos dejó una marca indeleble, entre aquellos para los que Georgia era un modelo, o quizá debiera decir el modelo, a seguir. Su profundidad, su cuidado por los detalles, su rigor, sus pinceladas de humor aquí y allá, su sencillez…, han dejado una huella muy profunda en sus colaboradores y amigos.
El trabajo antes mencionado de Halverson y Ram cubre los principales temas que trató Georgia a lo largo de su carrera: clasificación de las álgebras de Lie simples finitodimensionales sobre cuerpos de característica prima, representaciones de álgebras y grupos cuánticos, álgebras de división no asociativas, múltiples variaciones de la dualidad clásica de Schur–Weyl entre el grupo general lineal y el grupo simétrico y toda la combinatoria asociada a estas variantes…
Buena parte de su investigación se centró en las álgebras de Lie y sus relaciones con otros tipos de álgebras no asociativas (esto es, no necesariamente asociativas). Ya en su tesis doctoral, defendida en 1974 bajo la dirección de Nathan Jacobson, trabaja con álgebras de Lie relacionadas con álgebras asociativas, álgebras de Jordan, o con las álgebras \( J \)-ternarias de Allison.
Aquí daremos algunas pinceladas sobre esta parte de su trabajo, evitando entrar en detalles demasiado técnicos.
En la sección 1 introduciremos las álgebras de Lie y sus descomposiciones en espacios de raíces. En la famosa clasificación de Killing–Cartan de las álgebras de Lie simples sobre los complejos aparecen cuatro familias infinitas y cinco álgebras excepcionales. En la sección 2 hablaremos de una bellísima construcción de Tits que permite obtener estos objetos excepcionales de una manera unificada, relacionándo-los con otros tipos de álgebras: las álgebras de composición (esto es, los análogos a las álgebras de los reales, complejos, cuaterniones y octoniones) y las álgebras de Jordan, que, junto a las álgebras de Lie, forman la otra gran variedad de álgebras no asociativas. En la sección 3 veremos cómo Georgia Benkart y Efim Zelmanov supieron comprender y extender la construcción de Tits para ser capaces de describir las álgebras de Lie, no necesariamente de dimensión finita, graduadas sobre los sistemas de raíces con enlaces múltiples. En la sección 4 comprobaremos cómo la construcción de Tits puede extenderse utilizando superálgebras de Jordan, en lugar de álgebras de Jordan, y que esto permite obtener las superálgebras de Lie simples excepcionales, e incluso descubrir alguna superálgebra de Lie simple nueva en característica prima.
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