Celebratio Mathematica

Dear Yves,

How are you? Thi­erry told me that you’d been very ill, but I hope you’re fully re­covered?

The con­fer­ence in Mar­seille was very in­ter­est­ing. I met there, among oth­ers, Paul Fed­er­bush, an Amer­ic­an phys­i­cist from Ann Ar­bor (Michigan), who was in­ter­ested in your basis. For the ap­plic­a­tions he has in mind, he wanted a basis con­struc­ted also from dilata­tions and trans­la­tions, but one that would stop at a cer­tain scale, in­stead of us­ing ever big­ger cubes. Some­what like the Haar basis: in­stead of tak­ing

Fed­er­bush’s ques­tion was then wheth­er the same thing is pos­sible with your basis. And the an­swer of course is yes. Ob­vi­ously I’m not telling you any­thing new: it’s all there in your con­struc­tion, im­pli­citly.

It suf­fices to take (in \( n \) di­men­sions) \begin{align*} \mathcal{B}=\bigl\{ \psi^{(\varepsilon)}_Q; \quad & \varepsilon_j= \hbox{0 or 1}, (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n) \neq (0_1,\dots,0),\\ & Q =[2^{-j}\underset{\sim}{k},2^{-j} (\underset{\sim}{k} + \underset{\sim}{1})\,[,\ \underset{\sim}{k}\in\mathbb{Z}^n,\ \underset{\sim}{?} = (1,\dots, 1),\\ & j\in \mathbb{Z}\ \text{ and }\ \underline{j\geq j_0} \bigr\}\\ & \hskip1.3in \searrow\\ & \hskip1.3in _{\text{We stop at step } j_0;\text{ the largest}} \\ & \hskip1.3in _{\text{cubes considered to}} \\ & \hskip1.3in _{\text{have a side of length }2^{-j_0}.} \\ \cup\, & \{\psi^{0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}}; \underset{\sim}{k}\in\mathbb{Z}^n\} \end{align*} where \[ \psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}}(x) = 2^{nj_{0/2}} \prod^n_{m=1}\varphi(2^{j_0}x_m) \] (with the same nota­tion as in your art­icle with P. G. Lemarié). It is easy to see that \[ (\psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}},\psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}^{\prime}})=\delta_{\underset{\sim}{k},\underset{\sim}{k}^{\prime}} \qquad\qquad{(*)} \] (es­sen­tially be­cause \( \sum\limits_{l\in\mathbb{Z}} |\hat{\varphi}(t+2\pi l)|^2=1 \)). If I set \[ \begin{aligned} D_j^{(\varepsilon)}&= \sum_{\underset{\sim}{k}\in\mathbb{Z}^n}\langle \,\cdot\,,\psi_{Q_{j,\underset{\sim}{k}}}^{(\varepsilon)}\rangle\,\,\psi^{(\varepsilon)}_{Q_{j,\underset{\sim}{k}}}\cr &(\text{where }Q_{j,\underset{\sim}{k}} = [2^{-j}\underset{\sim}{k}, 2^{-j}(\underset{\sim}{k}+\underset{\sim}{1})[\,=\prod^n_{m=1} [2^{-j}k_m,2^{-j}(k_m+1)[\quad )\cr D_j &=\sum_{(\varepsilon) \neq (0,\dots,0)} D_j^{(\varepsilon)}\cr \text{ and } E_j &=\sum_{\underset{\sim}{k}\in\mathbb{Z}^n} \langle\, \cdot\,, \psi^{(0,\dots0)}_{j,\underset{\sim}{k}}\rangle \,\,\psi^{(0,\dots0)}_{j,\underset{\sim}{k}} \end{aligned} \] then we have (as you showed me), \[ D_j=E_{j+1}-E_j\qquad \text{(even in } n \text{ dimensions).} \] It fol­lows that \[ \sum^{\infty}_{j=j_0}D_j = \unicode{x1D7D9}- E_{j_0} \qquad \text{(in the strong limit sense)}, \] and so \[ \bigl(\sum^{\infty}_{j=j_0} D_j\bigr) \psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}} = 0 \] be­cause \( E_{j_0} \psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}} = \psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}} \) by (\( * \)). It fol­lows that

1. \( \langle\psi^{(\varepsilon)}_{j,\underset{\sim}{k}},\psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}^{\prime}}\rangle=0 \) for every \( (\epsilon)\ne(0,\dots,0) \), every \( j\ge j_0 \) and every \( k,k^{\prime} \in \mathbb{Z}^n \);
2. the set of vec­tors \( \mathcal{B} \) is there­fore an or­thonor­mal set;
3. the set of vec­tors \( \mathcal{B} \) is an or­thonor­mal basis (since \( \sum_{j=j_0}^\infty D_j + E_{j_0}= \unicode{x1D7D9} \)).

Paul Fed­er­bush as­sured me that all that is very use­ful to him for us­ing in con­struct­ive field the­ory (I my­self don’t know any­thing about that).

Could you please send me your most re­cent pa­pers about wave­lets? I will be in Brus­sels in Au­gust, in Mar­seille in Septem­ber and in New York from Oc­to­ber on.

With all my friend­ship,

In­grid

\[ \star\qquad\star\qquad\star \]

Cher Yves,

Com­ment vas-tu? Thi­erry m’a ra­conté que tu avais été très mal­ade; j’espère que tu es com­plètement re­mis?

La conférence à Mar­seille était très intéress­ante. J’y ai re­con­tré, en­tr’autres, un phys­i­cien améri­cain, du nom de Paul Fed­er­bush, d’Ann Ar­bor (Michigan), qui était fort intéressé par ta base. Pour les ap­plic­a­tions dont il a be­soin, il préférait une base qui se con­tru­isait aus­si par dilata­tions et trans­la­tions, mais qui s’arrêterait à une cer­taine échelle, au lieu d’util­iser des cubes tou­jours plus grands. Un peu comme dans la base de Haar: au lieu de pren­dre

La ques­tion de Fed­er­bush était donc de sa­voir si la même chose était pos­sible avec ta base. Et la réponse est oui, évidem­ment. Je ne t´ap­prends sans doute ri­en de nou­veau: tout se trouve déjà im­pli­cite­ment dans ta con­struc­tion.

Il suf­fit de pren­dre (en \( n \) di­men­sions) \begin{align*} \mathcal{B}=\{\psi^{(\varepsilon)}_Q; \quad \varepsilon_j&= \hbox{0 or 1}, (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n) \neq (0_1,\dots,0),\\ Q&=[2^{-j}\underset{\sim}{k},2^{-j} (\underset{\sim}{k} + \underset{\sim}{1})\, [\quad, \underset{\sim}{k}\in\mathbb{Z}^n ,\underset{\sim}{?} = (1,\dots, 1),\\ j&\in \mathbb{Z} \quad\text{et}\quad \underline{j\geq j_0} \}\\ &\hskip1.1in \searrow\\ &\hskip1.4in_{\text{On s’arrête à l’échelle } j_0;\text{ les plus}} \\&\hskip1.4in_{\text{gros cubes considérés ont}} \\ &\hskip1.4in_{\text{un côte de largeur } 2^{-j_0}.}\\ &\cup\{\psi^{0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}}; \underset{\sim}{k}\in\mathbb{Z}^n\} \end{align*} où \[ \psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}}(x) = 2^{nj_{0/2}} \prod^n_{m=1}\varphi(2^{j_0}x_m) \] avec les mêmes nota­tions que dans ton art­icle avec P. G. Lemarié). Il est fa­cile de voir que \[ (\psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}},\psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}^{\prime}})=\delta_{\underset{\sim}{k},\underset{\sim}{k}^{\prime}} \qquad\qquad{(*)} \] (es­sen­ti­elle­ment parce que \( \sum\limits_{l\in\mathbb{Z}} |\hat{\varphi}(t+2\pi l)|^2=1 \)). Si je dénote \[ \begin{aligned} D_j^{(\varepsilon)}&= \sum_{\underset{\sim}{k}\in\mathbb{Z}^n}\langle \,\cdot\,,\psi_{Q_{j,\underset{\sim}{k}}}^{(\varepsilon)}\rangle\,\,\psi^{(\varepsilon)}_{Q_{j,\underset{\sim}{k}}}\cr &(\text{où }Q_{j,\underset{\sim}{k}} = [2^{-j}\underset{\sim}{k}, 2^{-j}(\underset{\sim}{k}+\underset{\sim}{1})[\,=\prod^n_{m=1} [2^{-j}k_m,2^{-j}(k_m+1)[\quad )\cr D_j &=\sum_{(\varepsilon) \neq (0,\dots,0)} D_j^{(\varepsilon)}\cr \text{ et } E_j &=\sum_{\underset{\sim}{k}\in\mathbb{Z}^n} \langle\, \cdot\,, \psi^{(0,\dots0)}_{j,\underset{\sim}{k}}\rangle \,\,\psi^{(0,\dots0)}_{j,\underset{\sim}{k}} \end{aligned} \] al­ors (comme tu l’as mon­tré), \[ D_j=E_{j+1}-E_j\qquad \text{(même en } n \text{ dimensions).} \] Il s’en­suit que \[ \sum^{\infty}_{j=j_0}D_j = \unicode{x1D7D9}- E_{j_0} \qquad \text{(au sense de la limite forte)}, \] et donc \[ \bigl(\sum^{\infty}_{j=j_0} D_j\bigr) \psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}} = 0 \] puisque \( E_{j_0} \psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}} = \psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}} \) par (\( * \)). Il en res­ulte que

1. \( \langle\psi^{(\varepsilon)}_{j,\underset{\sim}{k}},\psi^{(0,\dots,0)}_{j_0,\underset{\sim}{k}^{\prime}}\rangle=0 \) pour tout \( (\epsilon)\ne(0,\dots,0) \), pour tout \( j\ge j_0 \) pour tout \( k,k^{\prime} \in \mathbb{Z}^n \);
2. l’en­semble des vec­teurs \( \mathcal{B} \) est donc un en­semble or­thonor­mal;
3. l’en­semble des vec­teurs \( \mathcal{B} \) est une base or­thonor­male (puisque \( \sum_{j=j_0}^\infty D_j + E_{j_0}= \unicode{x1D7D9} \)).

Paul Fed­er­bush m’a as­suré que tout ceci lui était ex­trêmement utile pour la théorie con­struct­ive des champs (dont je ne con­nais ri­en moi-même).

Pour­rais-tu, s’il-te-plaît, m’en­voy­er tes derniers papi­ers sur les ondelettes? Je serai à Bruxelles en août, à Mar­seille en septembre, et à New York à partir d’oc­tobre.

Avec toutes mes amitiés,

In­grid