Celebratio Mathematica

Dear Yves,

How are you? I’ve been mean­ing to write for a long time, and I’m a bit em­bar­rassed that I’ve waited so long. But here fi­nally are some news.

Ann Ar­bor has offered us, Robert and me both, as­so­ci­ate pro­fess­or­ships (“with ten­ure”). They told me that they were quite im­pressed by your let­ter of re­com­mend­a­tion, for which I would like to thank you again. Moreover, Bell Labor­at­or­ies has also made me an of­fer (Robert is work­ing there already). We have to de­cide be­fore March 1 (one week to go…) If it were only up to me, I think I’d likely go for Ann Ar­bor: I like the area very much, and it is a good uni­versity. And I would learn a lot of math there. On the oth­er hand, Robert is rather more at­tached to Bell Labs than I thought (and than he him­self thought, in fact), and, since I don’t want to start our mar­riage by tak­ing him away from Bell when he likes it there, we will prob­ably opt for the Bell al­tern­at­ive. Ac­tu­ally I think I’ll en­joy Bell too, quite a bit: there are very good math­em­aticians there too, and they give their re­search­ers a lot of free­dom. You’d said that, if we went to Ann Ar­bor, you’d come vis­it us — Robert and me and the kids. I hope you will come see us even if we cast our lot with Bell! I think you will find in­ter­est­ing cer­tain of the math­em­aticians (An­drew Odlyzko, Ron Gra­ham, Larry Shepp, Jeff Lagari­as, Neil Sloane,⁠…). They too were very im­pressed by your re­com­mend­a­tion. Thanks for open­ing those doors to me!

While wait­ing to de­cide with fi­nal cer­tainty (which will hap­pen this week), I have fi­nally fin­ished the big pa­per on frames (which I was really fed up with by the end), and re­turned to wave­lets. The ar­rival of Stéphane Mal­lat’s pa­per, which I thought very beau­ti­ful, led me to mulling on or­thonor­mal wave­let bases. I wondered, too, wheth­er a “pyr­am­id” al­gorithm such as the one in Mal­lat’s pa­per must ne­ces­sar­ily be foun­ded on a wave­let basis. I dis­cussed this with the “vis­ion” people here, and they seem to think that an or­tho­gon­al­ity prop­erty for sub­spaces of \( \ell^2(\mathbb{Z}) \), which then re­quires the ex­ist­ence of an or­thonor­mal wave­let basis un­der­ly­ing the “pyr­am­id”, is es­sen­tial. This whole thing has led me also to the con­struc­tion of or­thonor­mal bases of wave­lets with com­pact sup­port. (Here am I, who had al­ways worked with frames, sur­ren­der­ing to or­thonor­mal­ity too!) Such bases ex­ist, but the ones I’ve found look a bit strange.

The idea is the fol­low­ing.

Let’s try to con­struct se­quences \( f(n), g(n) \) such that \begin{equation} \tag{1} \sum_k f(n-2k)f^*(\ell-2k) + g(n-2k)g^*(\ell-2k)=\delta_{n\ell}. \end{equation} (In es­sence, that’s all that’s needed for an \( \ell^2(\mathbb{Z}) \) de­com­pos­i­tion-and-re­con­struc­tion “pyr­am­id” to work.)

We can then define \( G,F:\ell^2(\mathbb{Z})\to\ell^2(\mathbb{Z}) \) by \[ (Fc)_k=\sum_n f(n-2k)c_n, \quad (Gc)_k=\sum_n g(n-2k)c_n. \] Then \( F^*F+G^*G=\unicode{x1D7D9} \), and we have \[ (F^*)^N F^N+\sum^N_{j=1} F^{*N-j}G^*G F^{N-j} = \unicode{x1D7D9}, \] that is, a de­com­pos­i­tion-and-re­con­struc­tion of \( \ell^2(\mathbb{Z}) \) with a pyr­am­id al­gorithm. In prac­tice, we will choose \( f,g \) to be real.

It seems reas­on­able (but not ne­ces­sary) to lim­it ourselves to the case where \[ F^*\ell^2(\mathbb{Z})\perp G^*\ell^2(\mathbb{Z}) \] (it is clear that the sum of the two spaces is \( \ell^2 \) in all cases). This would lead (ac­cord­ing to the in­tu­ition of the vis­ion people) to a great­er de­gree of data com­pac­tion than the non-or­tho­gon­al case. So we im­pose the con­di­tion \begin{equation} \tag{2} \sum_n f(n-2k)\,g^*(n-2\ell)=0. \end{equation} Clearly all the con­di­tions are sat­is­fied if the \( f,g \) are ob­tained start­ing from a wave­let basis. On the oth­er hand, if \begin{equation} \tag{3} \sum_n f(n)=\sqrt{2},\quad \quad \sum_n g(n)=0 \end{equation} (these two con­di­tions are equi­val­ent if all the oth­ers hold), and if \[ F(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_n f(n) e^{in\xi} \] sat­is­fies \[ \prod^{\infty}_{j=1} F(2^{-j}\xi) \in L^2(\mathbb{R}), \] then we have an as­so­ci­ated wave­let basis: \begin{gather*} \hat\phi(\xi)=\prod^{\infty}_{j=1} F(2^{-j}\xi),\quad \psi(x) = \sum_k g(k)\sqrt{2}\,\phi(2x-k), \\ \langle \phi_{-1\,k},\phi_{0\,n}\rangle= f(n-2k), \\ \langle \psi_{-1\,k},\phi_{0\,n}\rangle= g(n-2k). \end{gather*} If we in­sist, at the start, that the se­quences \( f(n),g(n) \) only have fi­nitely many nonzero terms, the as­so­ci­ated \( \psi,\phi \) will have com­pact sup­port (in that case \( F \), and there­fore also \( \prod_{j=1}^\infty F(2^{-j}\xi) \), are en­tire and of ex­po­nen­tial type).

So the ques­tion is to find \( f,g \) sat­is­fy­ing all the con­di­tions.

If we set \begin{alignat*}{2} f(2n)&=a(n),\quad& g(2n)&=c(n),\\ f(2n+1)&=b(n),\quad& g(2n+1)&=d(n),\\ \end{alignat*} and define Toep­litz matrices \( A,B,C,D \) (in­fin­ite on both sides) by \( A_{nk}=a(n-k),\dots \), and func­tions \( \alpha,\beta,\gamma,\delta \) by \( \alpha(x)=\sum_n a(n)e^{inx} \), …, which are en­tire since only fi­nitely many \( a, b,\dots \) are nonzero, then the con­di­tions be­come \begin{alignat*}{2} \begin{cases} A^*A+C^*C=\unicode{x1D7D9}\\ B^*B+D^*D=\unicode{x1D7D9}\\ A^*B+C^*D=0 \end{cases} &\quad\hbox{or}\quad \begin{cases} |\alpha(x)|^2 + |\gamma(x)|^2=1\\ |\beta(x)|^2 + |\delta(x)|^2 = 1 \\ \overline{\alpha(x)}\,\beta(x) + \overline{\gamma(x)}\, \delta(x)= 0 \end{cases} &\qquad\qquad&(1)\leftrightarrow(1^{\prime}) \\ \\ A^*C+B^*D=0 &\quad\hbox{or}\quad \overline{\alpha(x)} \gamma(x) + \overline{\beta(x)}\,\delta(x) = 0. &\qquad\qquad&(2)\leftrightarrow(2^{\prime}) \end{alignat*} It fol­lows from these last two equa­tions (this is most eas­ily seen on the \( \alpha,\beta,\gamma,\delta \) side) that \[ |\beta(x)|^2= |\gamma(x)|^2 , \quad\hbox{or}\quad B^*B=C^*C, \] and hence \[ |\alpha(x)|^2= |\delta(x)|^2 , \quad\hbox{or}\quad A^*A=D^*D. \] Let \( n_a,n_b,n_c,n_d \) be the widths of the di­ag­on­al bands out­side which the Toep­litz matrices \( A,B,C,D \) van­ish. Then, since \( B^*B=C^*C \) and \( A^*A=D^*D \), we have \[ n_b=n_c,\quad n_a=n_d, \] and, if \( n_a,n_b,n_c,n_d \) are all nonzero, \[ n_a=n_c,\quad n_b=n_d. \] (This be­cause the width of \( B^*B \) is \( 2n_b-1 \), that of \( D^*D \) is \( 2n_d-1 \), and \( B^*B+D^*D=\unicode{x1D7D9} \).) We there­fore have \[ n_a=n_b=n_c=n_d. \]

Sup­pose there ex­ist wave­lets as­so­ci­ated to \( f,g \). Sup­pose that \( \phi \) is sym­met­ric about 0, as in all in­ter­est­ing cases up to now. Then \( f(n) \) is sym­met­ric about 0: \( f(-n)=f(n) \). If there are only fi­nitely many nonzero \( f(n) \), this im­plies that \[ n_a\ne n_b, \] (\( n_a+n_b \) is ne­ces­sar­ily odd in this case).

It fol­lows that there are no com­pactly sup­por­ted or­thonor­mal wave­let bases with \( \phi \) sym­met­ric about 0 and com­pactly sup­por­ted.

In the case of the Haar basis, \( \psi \) is sym­met­ric about \( \frac{1}{2} \). Since sym­metry about 0 is not pos­sible, what about sym­metry about \( \frac{1}{2} \)? This leads to \[ f(n+1)=f(-n) \] or \[ C = A^*\quad\hbox{(let’s suppose the } f \text{ are real)}. \] But then \( 2 A^*A=\unicode{x1D7D9} \), which im­plies \[ n_a=1. \] The solu­tion, unique up to per­muta­tions and shifts, is then \[ A=C=\frac{1}{\sqrt 2}\,\unicode{x1D7D9}, \quad B=-D=\frac{1}{\sqrt 2}\,\unicode{x1D7D9}, \] which cor­res­ponds to the Haar basis. There is no oth­er com­pactly sup­por­ted or­thonor­mal wave­let basis as­so­ci­ated to a com­pactly sup­por­ted func­tion \( \phi \) sym­met­ric about \( \frac{1}{2} \), apart from the Haar basis.

On the oth­er hand, if we drop the sym­metry re­quire­ment, there are non­trivi­al ex­amples.

For \( n_a=n_b=n_c=n_d=1 \), for ex­ample, we find that, for every \( \lambda,\mu\in\mathbb R \), the matrices \[ A=N^{-1}(\lambda\mu+U), \quad B=N^{-1}(\lambda-\mu U), \quad C=N^{-1}(\mu-\lambda U), \quad D=N^{-1}(1+\lambda\mu U), \] where \( N=[(1+\lambda^2)(1+\mu^2)]^{1/2} \) and where \( U \) is the “shift” mat­rix, \( U_{nk}=\delta_{n-k+1} \), sat­is­fy equa­tions \( (1^{\prime}) \) and \( (2^{\prime}) \).

If we also im­pose (3), then \( \mu=\frac{\lambda-1}{\lambda+1} \), and \[ \hat\phi(\xi)=\prod_{j=1}^\infty[ F(2^{-j}\xi)] \] con­verges, and lies in \( L^2(\mathbb R) , \) where \[ F(\xi)=\frac{1}{2(1+\lambda)^2}\bigl[ \lambda(\lambda-1)+\lambda(\lambda+1 )e^{i\xi}+ (\lambda+1 )e^{2i\xi}-(\lambda-1 )e^{3i\xi}\bigr]. \] The func­tion \( \phi \) is sup­por­ted in the in­ter­val \( [0,3] \) (or in \( [-1,2] \) if we ap­ply a “shift”). Al­to­geth­er it looks kind of funny. For \( \lambda=2\pm\sqrt{3} \), \( \hat\phi \) de­creases faster than \( (1+|\xi|)^{-(1+\varepsilon)} \), and there­fore \( \phi \) is con­tinu­ous.

If we draw a graph, it looks like this:

If we move on to \( n_a=2 \), we can find ex­amples of “cusp­less” \( \phi \). My con­jec­ture now is that there ex­ist \( \phi\in C^k \) in the class \( n_a=k+1 \).

I had ex­pec­ted that the “vis­ion people” would love a pyr­am­id al­gorithm re­cur­rence with a fi­nite num­ber of terms, but they’re not very fond of the asym­metry. But per­haps the con­struc­tion might serve for oth­er things…?

That’s all the news I have.

My best greet­ings to Anne, and to Guy Dav­id!

In­grid

\[ \star\qquad\star\qquad\star \]

Cher Yves,

Com­ment vas-tu? Il y a longtemps que je voulais t’écri­re, et j’ai un peu honte d’avoir at­tendu si longtemps. Mais voilà en­fin de mes nou­velles.

Ann Ar­bor nous a fait, à Robert et moi deux of­fres de “as­so­ci­ate pro­fess­or­ships” (“with ten­ure”). Ils m’ont dit qu’ils étaiet fort im­pres­sionnés par ta lettre de re­com­mend­a­tion, pour laquelle je voudrais en­core te re­mer­ci­er. D’autre part, Bell Labor­at­or­ies aus­si m’a fait une of­fre (Robert y trav­aille déjà). Il nous faut décider av­ant le 1er mars (en­core une se­maine…). Si j’étais la seule à décdi­er, je crois que je pench­erais plutôt vers Ann Ar­bor: j’aime beau­c­oup l’en­droit, et c’est une bonne uni­versité. J’y ap­pren­drais beau­c­oup plus de math, aus­si. D’autre part, Robert est vraiment plus at­taché à Bell Labs que je ne croy­ais (et qu’il ne croy­ait lui-même d’ail­leurs), et, comme je répugne de com­men­cer notre mariage en le séparant de Bell al­ors qu’il s’y plaît, nous op­ter­ons prob­able­ment pour la solu­tion Bell. Je crois d’ail­leurs que je me plair­ai beau­c­oup à Bell aus­si: il y a de très bons mathématiciens là aus­si, et ils lais­sent une grande liberté à leurs cher­ch­eurs. Tu avais dit que, si nous al­lions à Ann Ar­bor, tu viendrais nous rendre vis­ite, Robert et moi et les petits. J’espère que tu viendras aus­si nous voir si nous pren­ons la voie Bell! Je crois que tu trouverais cer­tains des mathématiciens intéress­ants (An­drew Odlyzko, Ron Gra­ham, Larry Shepp, Jeff Lagari­as, Neil Sloane, …). Eux aus­si étaient fort im­pres­sionnés par ta re­com­mend­a­tion… Merci de m’avoir ouvert ces por­tes!

En at­tend­ant de décider tout à fait défi­nit­ive­ment (ce qui sera fait cette se­maine), j’ai en­fin ter­miné le gros papi­er, frames (dont j’avais vraiment marre à la fin), et je me suis re­mis aux ondelettes. L’ar­rivée du papi­er de Stéphane Mal­lat, que je trouve très beau, m’a amenée a réfléchir sur les bases or­thonor­males d’ondelettes. Je me de­mandais aus­si si un al­gorithme en “pyr­am­ide” comme dans le pa­per de Mal­lat, néces­saire­ment devait re­poser sur une base d’ondelettes. J’en ai dis­cuté avec des “vis­ion”-peuple ici, et ils semblent penser qu’une pro­priété d’or­tho­gon­alité des sous-es­paces de \( \ell^2(\mathbb{Z}) \), qui al­ors im­pose l’ex­ist­ence d’une base or­thonor­male d’ondelettes sous-ja­cent la “pyr­am­ide”, est es­sen­ti­elle. Tout cela m’a aus­si amenée à la con­struc­tion de bases or­thonor­males d’ondelettes à sup­port com­pact. (Voilà que moi, qui étais tou­jours dans les frames, je sombre dans l’or­thonor­mal aus­si!) Elles ex­ist­ent, mais les ex­emples que j’ai trouvés ont une drôle de gueule.

L’idée est la suivante.

Es­say­ons de con­stru­ire des suites \( f(n), g(n) \) tell­es que \begin{equation} \tag{1} \sum_k f(n-2k)f^*(\ell-2k) + g(n-2k)g^*(\ell-2k)=\delta_{n\ell}. \end{equation} (au fond, c’est tout ce qui est néces­saire pour qu’une “pyr­am­ide” de décom­pos­i­tion \( + \) re­con­struc­tion de \( \ell^2(\mathbb{Z}) \) marche.)

On peut al­ors définir \( G,F:\ell^2(\mathbb{Z})\to\ell^2(\mathbb{Z}) \) par \[ (Fc)_k=\sum_n f(n-2k)c_n, \quad (Gc)_k=\sum_n g(n-2k)c_n, \] Al­ors \( F^*F+G^*G=\unicode{x1D7D9} \), et on a \[ (F^*)^N F^N+\sum^N_{j=1} F^{*N-j}G^*G F^{N-j} = \unicode{x1D7D9}, \] c.à.d. une décom­pos­i­tion \( + \) re­con­struc­tion avec al­gorithem en pyr­am­ide de \( \ell^2(\mathbb{Z}) \). En pratique, on choisira \( f,g \) réels.

Il parait rais­on­nable (mais non pas néces­saire) de se re­streindre au cas où \[ F^*\ell^2(\mathbb{Z})\perp G^*\ell^2(\mathbb{Z}) \] (il est clair que la somme des 2 es­paces est \( \ell^2 \) dans tous les cas). Cela mènerait (d’après l’in­tu­itions des vis­ion people) à une plus grande “data com­pac­tion que le cas non-or­tho­gon­al. On im­pose donc \ad­dto­counter{equa­tion}{1} \begin{equation} \sum_n f(n-2k)\,g^*(n-2l)=0. \end{equation}

Toutes ces con­di­tions sont évidem­ment sat­is­faites si les \( f,g \) sont ob­tenus à partir d’une base d’ondelettes. D’autre part, si \begin{equation} \sum_n f(n)=\sqrt{2}, \quad \sum_n g(n)=0 \end{equation} (ces 2 con­di­tions sont équi­val­entes si on a toutes les autres), et si \[ F(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_n f(n) e^{in\xi} \] sat­is­fait que \[ \prod^{\infty}_{j=1} F(2^{-j}\xi) \in L^2 (\mathbb{R}), \] al­ors on a une base d’ondelettes as­sociées: \begin{gather*} \hat\psi(\xi)=\prod^{\infty}_{j=1} F(2^{-j}\xi),\quad \psi(x) - \sum_k g(k) \sqrt{2} \phi(2x-k), \\ \langle \phi_{-1\,k},\phi_{0\,n}\rangle= f(n-2k), \\ \langle \psi_{-1\,k},\phi_{0\,n}\rangle = g(n-2k). \end{gather*} Si on im­pose, au départ, que les suites \( f(n),g(n) \) n’ont qu’un nombre fini de terms non-nuls, al­ors les \( \psi,\phi \) as­sociés auront un sup­port com­pact (\( F \), et par conséquent \( \prod_{j=1}^{\infty}, F(2^{-j}\xi) \), est, dans ce cas-là, en­ti­er de type ex­po­nen­tiel).

ll s’agit donc de trouver des \( f,g \) sat­is­fais­ant toutes les con­di­tions.

Si on défi­nit \begin{alignat*}{2} f(2n)&=a(n),\quad& g(2n)&=c(n),\\ f(2n+1)&=b(n),\quad& g(2n+1)&=d(n),\\ \end{alignat*} et des matrices Toep­litz \( A,B,C,D \) (in­finies des 2 côtés) par \( A_{nk}=a(n-k),\dots \), et des fonc­tions entières (puisque un nombre fini seule­ment des \( a, b,\dots \) est \( \neq 0 \)) \( \alpha,\beta,\gamma,\delta \) par \( \alpha(x)=\sum a(n)e^{inx} \), …, al­ors les con­di­tions devi­ennent \begin{alignat*}{2} \begin{cases} A^*A+C^*C=\unicode{x1D7D9}\\ B^*B+D^*D=\unicode{x1D7D9}\\ A^*B+C^*D=0 \end{cases} &\quad\hbox{ou}\quad \begin{cases} |\alpha(x)|^2 + |\gamma(x)|^2=1\\ |\beta(x)|^2 + |\delta(x)|^2 = 1 \\ \overline{\alpha(x)}\,\beta(x) + \overline{\gamma(x)}\, \delta(x)= 0 \end{cases} &\qquad\qquad&(1)\leftrightarrow(1^{\prime}) \\ \\ A^*C+B^*D=0 &\quad\hbox{or}\quad \overline{\alpha(x)} \gamma(x) + \overline{\beta(x)}\,\delta(x) = 0. &\qquad\qquad&(2)\leftrightarrow(2^{\prime}) \end{alignat*} Une conséquence de ces 2 dernières éq. est (cela se voit le mieux du côté \( \alpha,\beta,\gamma,\delta \) \[ |\beta(x)|^2= |\gamma(x)|^2 , \quad\hbox{ou}\quad B^*B=C^*C, \] et donc \[ |\alpha(x)|^2= |\delta(x)|^2 , \quad\hbox{ou}\quad A^*A=D^*D. \] Soi­ent \( n_a,n_b,n_c,n_d \) la largeur de la bande di­ag­onale en de­hors de laquelle les matrices Toep­litz \( A,B,C,D \) sont nulles. Al­ors, puisque \( B^*B=C^*C \), \( A^*A=D^*D \), \[ n_b=n_c,\quad n_a=n_d, \] et, si tous les \( n_a,n_b,n_c,n_d \neq 0 \), \[ n_a=n_c,\quad n_b=n_d. \] (Ceci parce que la largeur de \( B^*B = 2n_b-1 \), celle de \( D^*D = 2n_d-1 \), et \( B^*B+D^*D=\unicode{x1D7D9} \)). On a donc \[ n_a=n_b=n_c=n_d. \] Sup­po­sons qu’il ex­iste des ondelettes as­sociées aux \( f,g \). Sup­po­sons que \( \phi \) soit symétrique au­tour de 0, (comme dans tous les cas intéress­ants jusqu’à présent). Al­ors \( f(n) \) est symétrique au­tour de \( 0: f(-n)=f(n) \). Si il y a un nombre fini de \( f(n) \) non­nuls, cela im­plique \[ n_a\ne n_b, \] (\( n_a+n_b \) est néces­saire­ment im­pair dans ce cas-ci).

Il n’y a donc pas de bases or­thonor­males d’ondelettes à sup­port com­pact avec \( \phi \) de sup­port com­pact et symétrique au­tour de 0.

Dans le cas de la base de Haar, \( \psi \) est symétrique au­tour de \( \frac{1}{2} \). La symétrie au­tour de 0 étant ex­clue, qu’en est-il par la symétrie au­tour de \( \frac{1}{2} \)? Ceci mène à \[ f(n+1)=f(-n) \] ou \[ C = A^*\quad\text{(supposons les } f \text{ réels)}. \] Mais al­ors \( 2 A^*A=\unicode{x1D7D9} \), ce qui im­plique \[ n_a=1. \] L’unique solu­tion (à des per­muta­tions et das “shifts” près) est al­ors \[ A=C=\frac{1}{\sqrt 2}\unicode{x1D7D9}, \quad B=-D=\frac{1}{\sqrt 2}\unicode{x1D7D9}, \] ce qui cor­res­ond à la base de Haar. Il n’y a pas d’autre base or­thonor­male d’ondelettes à sup­port com­pact as­socié à une fonc­tion \( \phi \) de sup­port com­pact, au­tour de \( \frac{1}{2} \), que la base de Haar.

Si on laisse tomber l’idée de symétrie par contre, il y a des ex­emples non trivi­aux.

Pour \( n_a=n_b=n_c=n_d=1 \), par ex­emple, on trouve que, pour tout \( \lambda,\mu\in\mathbb R \), les matrices \[ A=N^{-1}(\lambda\mu+U), \quad B=N^{-1}(\lambda-\mu U), \quad C=N^{-1}(\mu-\lambda U), \quad D=N^{-1}(1+\lambda\mu U), \] où \( N=[(1+\lambda^2)(1+\mu^2)]^{1/2} \), et où \( U \) est la matrice “shift”, \( U_{nk}=\delta_{n-k+1} \), sat­is­font les équa­tions \( (1^{\prime}) \) et \( (2^{\prime}) \).

Si on im­pose en plus (3), al­ors \( \mu=\frac{\lambda-1}{\lambda+1} \), et \[ \hat\phi(\xi)=\prod_{j=1}^\infty [F(2^{-j}\xi)] \] con­verge, et est dans \( L^2(\mathbb R) \), où \[ F(\xi)=\frac{1}{2(1+\lambda)^2}\bigl[ \lambda(\lambda-1)+\lambda(\lambda+1 )e^{i\xi}+ (\lambda+1 )e^{2i\xi}-(\lambda-1 )e^{3i\xi}\bigr]. \] La fonc­tion \( \phi \) a comme sup­port l’in­ter­vale \( [0,3] \) (ou \( [-1,2] \) si on fait un “shift”). En général elle a une drôle de gueule. Pour \( \lambda=2\pm\sqrt{3} \), \( \hat\phi \) de­croît plus vite que \( (1+|\xi|)^{-(1+\varepsilon)} \), et \( \phi \) est donc con­tin­ue.

Si on fait un graph­ique, on a

Si on passe à \( n_a=2 \), on ar­rive à trouver des \( \phi \) sans “cusps”. Ma con­jec­ture, main­ten­ant, est qu’il ex­iste des \( \phi\in C^k \) dans la classe \( n_a=k+1 \).

J’avais espéré que les “vis­ion people” aim­eraient une récur­rence pour l’al­gorithme pyr­am­id­al avec un nombre fini de ter­mes, mais ils n’aiment pas trop l’as­symétrie. Mais elles pour­raient peut-être ser­vir à autre chose…?

Voilà toutes mes nou­velles.

Un grand bon­jour à Anne, et à Guy Dav­id!

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