Celebratio Mathematica

Dear Yves,

I’ve been prom­ising my­self to write to you for a while…and I’ve fi­nally found the time to do it! — Many thanks for all the things you’ve sent me these last few months. I ab­so­lutely love your book, and have used por­tions of it in the last part of my course (in par­tic­u­lar Sec­tion III.11, “A com­par­is­on of Four­i­er and wave­lets”, and the char­ac­ter­iz­a­tion of \( L^P (\mathbb{R}) \) spaces, § VI.2). But I fear that en­gin­eer­ing stu­dents in the US will find it too math­em­at­ic­al for their lik­ing… — Thanks also for send­ing your pa­per on wave­let bases on \( [0,1] \). That, too, I’ve ex­plained to my class, since it’s such a beau­ti­ful idea — I hope you won’t hold this against me! The res­ult hasn’t been pub­lished yet, but I thought it a pity not to tell them about such a lovely con­struc­tion.

Robert and I went to Berke­ley a month ago, to give talks and be in­ter­viewed. Many thanks for writ­ing such a glow­ing let­ter of re­com­mend­a­tion! I haven’t seen it, of course, but Al­berto Grünbaum, their chair­man, told me it made quite an im­pres­sion. You asked me in one of your notes wheth­er I’d like a job at Berke­ley… The an­swer is “yes”. I love the place and have the feel­ing I could learn a whole lot there. Our prob­lem is that from Robert’s point of view, Berke­ley is not very at­tract­ive: there is no one in com­bin­at­or­ics in the math de­part­ment there and no one in cod­ing the­ory in the elec­tric­al en­gin­eer­ing de­part­ment, and those are the two fields he works in. For him, Ann Ar­bor, which seems about to re­peat its of­fer of 3 years ago, would be much bet­ter. On the oth­er hand he hes­it­ates (and I too, but less) to leave Bell, where there is a lot less red tape, but where I think the free­dom we now have (of choos­ing our re­search top­ics) will not last.… Robert doesn’t fully share that fear, which means this has been a sub­ject of daily dis­cus­sion! For­tu­nately no ar­gu­ments…We’ve prom­ised Berke­ley and Ann Ar­bor to de­cide this sum­mer.

My teach­ing ob­lig­a­tions are al­most fin­ished here: two more weeks of classes. I loved teach­ing this course, but it took up much more time than I ex­pec­ted. But it also mo­tiv­ated me to fully un­der­stand the finer points of Beylkin–Coi­f­man–Rokh­lin (and so also of the­or­em \( T(1) \)) and oth­er proofs à la Calderón–Zyg­mund, which is a good thing (I should have star­ted on it soon­er!). On the oth­er hand I’d hoped to learn some stuff in nu­mer­ic­al ana­lys­is and PDEs dur­ing my stay here, and I’ve just barely made a start in that dir­ec­tion. I have May and June left to pick people’s brains here and to find a nice, juicy ap­plic­a­tion for wave­lets (which is what I most want: I’m get­ting tired of lec­tur­ing about this splen­did tool that doesn’t have ac­tu­al ap­plic­a­tions — al­though BCR [Beylkin–Coi­f­man–Rokh­lin] is an ap­plic­a­tion, and a beau­ti­ful one, there should be oth­ers!).

Mean­while I haven’t done much re­search, alas… and so I don’t have many res­ults. A few little re­marks:

• Two-di­men­sion­al setups, with \[ \eqalign{ \psi_{j,k} (x) = 2^{j/2} \psi (A^j x - k) \qquad k&\in \mathbb{Z}^2,\, j \in \mathbb{Z},\cr A&=\bigl(\textstyle{\phantom{-}0 \atop -1}{1 \atop 0}\bigr) , } \] can nev­er have \( \psi \in C^1 \) (be­cause \[ \frac{\partial}{\partial \xi_1} m_0 (\xi_1, \xi_2)|_{\xi_1 = \pi=\xi_2} = 0 = \frac{\partial}{\partial \xi_2} m_0 (\xi_1,\xi_2)|_{\xi_1=\pi=\xi_2} \] leads to \[ m_0 (\xi_1,\xi_2) = (1 + e^{i\xi_1})(1+e^{i\xi_2}) \mathcal{F} (\xi_1, \xi_2), \] which makes \[ |m_0 (\xi_1, \xi_2)|^2 + |m_0 (\xi_1 + \pi, \xi_2 + \pi)|^2 = 1 \] im­possible).

• For non­in­teger but ra­tion­al \( \alpha \), the right gen­er­al­iz­a­tion of mul­tiresol­u­tion ana­lys­is (I think) should use sev­er­al \( \phi \) (and not just one). E.g., for \( \alpha = \frac{3}2 \), it is not pos­sible to con­struct a com­pactly sup­por­ted mul­tiresol­u­tion ana­lys­is by tak­ing only one \( \phi \) (in fact it can be shown that \( \hat{\phi} \) must have an in­ter­val not con­tained in its sup­port), but they ex­ist if one chooses two \( \phi \)s (each hav­ing in­teg­ral 1), cor­res­pond­ing to the 2 dif­fer­ent kinds of points in the pyr­am­id:

I have no idea how to im­pose reg­u­lar­ity.

• I have a meth­od for find­ing sym­met­ric biortho­gon­al bases close to or­thonor­mal bases. Its point of de­par­ture is the Battle–Lemarié wave­lets, and it trun­cates \( m_0 \) to yield com­pact sup­port. I’m now adding it to my art­icle with A[lbert] Co­hen and J. C. Feau­veau (still not fin­ished, to my great em­bar­rass­ment! But it’s at the top of my agenda now that the teach­ing is un­der con­trol), and I’ll send you and Al­bert de­tails later.

That’s it for this let­ter!

My best to every­one,

In­grid

\[ \star\qquad\star\qquad\star \]

Cher Yves,

Voilà longtemps que je me pro­mets de t’écri­re\ldots et je trouve en­fin le temps de le faire! — Merci beau­c­oup pour toutes les choses que tu m’as en­voyées ces derniers mois. J’aime énormément ton livre, et j’en ai util­isé des sec­tions dans la dernière partie de mon cours (en par­ticuli­er la sec­tion III.ii, “la con­front­a­tion Four­i­er-ondelettes”, et la char­actérisa­tion des \( L^P (\mathbb{R}) \), § VI.2). Je crois toute­fois que les étu­di­ants ingénieurs aux E-U ne le trouvent trop mathématique à leur goût\ldots — Merci aus­si pour l’en­voi de ton papi­er sur les bases d’ondelettes sur \( [0,1] \). Là aus­si j’ai ex­pli­qué l’idée, que je trouve très belle, à ma classe — j’espère que tu ne m’en veux pas! Le résul­tat n’est pas en­core publié, mais je trouv­ais dom­mage de ne pas leur par­ler de cette con­struc­tion si jolie.

Robert et moi sommes allés à Berke­ley il y a un mois, pour don­ner des ex­posés et être “in­ter­viewés”. Merci beau­c­oup d’avoir écrit une si belle lettre de re­com­mend­a­tion! Je ne l’ais pas vue, évidem­ment, mais Al­berto Grünbaum, leur chair­man, m’a dit qu’elle avait fait un grand ef­fet. Tu me de­mandais dans une de tes notes si je désirais avoir une po­s­i­tion à Berke­ley\ldots La réponse est “oui”. J’aime beau­c­oup l’en­droit et j’ai l’im­pres­sion que je pour­rais y ap­pren­dre beau­c­oup. Le problème pour nous est que du point de vue de Robert, Berke­ley n’est pas très at­tir­ant: il n’y a per­sonne en “com­bin­at­or­ics” dans le départe­ment de math, et per­sonne en “cod­ing the­ory” dans le départe­ment d’elec­tric­al en­gin­eer­ing, qui sont les deux do­maines dans lesquels il trav­aille. Pour lui, Ann Ar­bor, qui veut répéter son of­fre d’il y a 3 ans, serait beau­c­oup mieux. D’autre part il hésite (moi un peu moins) à quit­ter Bell où la vie bur­eau­cratique est tell­e­ment plus fa­cile, mais où je crains que la liberté (de choisir notre sujet de recher­che) dont nous jouis­sons ac­tuelle­ment ne durera pas\ldots Robert ne part­age pas toutes mes craintes à ce sujet, ce qui fait que nous dis­cutons firme pr­esque tous les jours! Heureuse­ment sans nous dis­puter\ldots Nous avons promis à Berke­ley et à Ann Ar­bor de décider cet été.

Ma charge d’en­signe­ment est pr­esque ter­minée ici: en­core 2 se­maines de cours. J’ai aimé don­ner ce cours, mais il m’a pris beau­c­oup plus de temps que je ne prévoy­ais. Mais il m’a aus­si in­cité à vraiment com­pren­dre tous les détails de Beylkin–Coi­f­man–Rokh­lin (et donc du théorème \( T(1) \)) et d’autres démon­stra­tions Calderón–Zyg­mun­desques, ce qui est une bonne chose (et à laquelle j’aurais du me mettre plus tôt!). D’autre part j’avais espéré ap­pren­dre des choses en ana­lyse numérique et en PDE pendant mon séjour ici, et je n’ai fait que quelques petits pas dans ces dir­ec­tions-là. Il me reste mai et juin pour profiter des con­nais­sances des gens ici, et pour trouver une belle ap­plic­a­tion juteuse pour les ondelettes (ce qui est ce que je voudrais le plus: je com­mence à en avoir as­sez de don­ner un ex­posé sur cet outil mag­ni­fique sans une vérit­able ap­plic­a­tion — bi­enque BCR [Beylkin–Coi­f­man–Rokh­lin] en soit une, et très belle, il en faudrait d’autres!).

Entre-temps je n’ai mal­heureuse­ment pas fait beau­c­oup de recher­che\ldots Et je n’ai donc pas beau­c­oup de résul­tats. Quelques petites re­marques:

• Les schèmas en 2 di­men­sions, avec \[ \eqalign{ \psi_{j,k} (x) = 2^{j/2} \psi (A^j x - k) \qquad k&\in \mathbb{Z}^2,\, j \in \mathbb{Z},\cr A&=\bigl(\textstyle{\phantom{-}0 \atop -1}{1 \atop 0}\bigr) } \] ne peuvent ja­mais avoir de \( \psi \in C^1 \) (parce que \[ \frac{\partial}{\partial \xi_1} m_0 (\xi_1, \xi_2)|_{\xi_1 = \pi=\xi_2} = 0 = \frac{\partial}{\partial \xi_2} m_0 (\xi_1,\xi_2)|_{\xi_1=\pi=\xi_2} \] mène à \[ m_0 (\xi_1,\xi_2) = (1 + e^{i\xi_1})(1+e^{i\xi_2}) \mathcal{F} (\xi_1, \xi_2), \] ce qui rend \[ |m_0 (\xi_1, \xi_2)|^2 + |m_0 (\xi_1 + \pi, \xi_2 + \pi)|^2 = 1 \] im­possible). • Pour des \( \alpha \) ra­tion­nels non-en­ti­ers, la bonne général­isa­tion (d’après moi) des ana­lyses mul­tirésolu­tion dev­rait util­iser plusieurs \( \phi \) (et non un seul). Par ex. pour \( \alpha = \frac3 2 \), on n’ar­rive pas à con­stru­ire d’ana­lyse mul­tirésolu­tion à sup­port com­pact si on ne prend qu’un seul \( \phi \) (en fait on peut démontrer que \( \hat{\phi} \) doit avoir un in­ter­valle non con­tenu dans son sup­port), mais il en ex­iste si on chois­it deux \( \phi \) (chacun d’intégrale 1), cor­res­pond­ant aux 2 différentes sor­tes de points dans la pyr­am­ide:

Je n’ai pas la moindre idée de com­ment im­poser de la régu­lar­ité.

• J’ai une méthode pour trouver des bases biortho­gonales symétriques, proches de bases or­thonor­males. Elle util­ise comme point de départ les ondelettes de Battle–Lemarié, et tronque \( m_0 \) pour avoir des sup­ports com­pacts. Je suis en train de l’in­cor­porer à l’art­icle avec A. Co­hen et J. C. Feau­veau (tou­jours pas entière­ment rédigé, à ma grande honte! Mais c’est le 1er point sur mon agenda main­ten­ant que le cours est sous con­trôle), et je t’en­ver­rai, ain­si qu’à Al­bert, des détails plus tard.

Voilà tout pour cette lettre!

Un grand bon­jour à tous,

In­grid