Celebratio Mathematica

La no­tion de temps loc­al a été in­troduite par Paul Lévy, qui en a souligné le rôle dans l’étude du mouvement browni­en réel, et Marc Yor, en digne hériti­er, lui a ac­cordé une place de choix, pour ne pas dire prépondérante, dans son œuvre sci­en­ti­fique. Marc Yor a com­mencé à trav­ailler sur temps lo­c­aux al­ors que la théorie (cal­cul stochastique et for­mule de Tana­ka, théorèmes de Ray–Knight, théorie des ex­cur­sions, …) avait déjà été mise en place. Comme ce fut le cas pour d’autres de ses recherches, il a mis à profit son ex­traordin­aire tal­ent à men­er des cal­culs pour découv­rir un très grand nombre de for­mules et de résul­tats frap­pants qui ont per­mis de révéler la re­marquable richesse du do­maine. Sig­nalons qu’une simple recher­che sur Math­S­ciNet avec pour mot clef “loc­al time” con­duit à une centaine de re­cen­sions d’art­icles dont Marc est auteur. Bi­en évidem­ment, il ne sera pas ques­tion ici de cherch­er à re­tracer un nombre aus­si im­port­ant de con­tri­bu­tions. Je me con­ten­terai d’es­say­er de présenter dans leur cadre, par­fois de façon in­formelle, quelques résul­tats parmi les plus sig­ni­fic­atifs et dont le choix est bi­en sûr per­son­nel. Cer­taines omis­sions évidentes ne sont jus­ti­fiées que par le souci d’éviter trop de re­coupe­ments avec d’autres textes de ce volume.

L’intérêt que Marc Yor a porté aux temps lo­c­aux s’est égale­ment mani­festé dans ses activ­ités d’an­im­a­tion et d’en­cadre­ment de la recher­che, et bi­en sûr, d’en­sei­gnant. Au tout début de sa carrière à l’Uni­versité Pierre et Mar­ie Curie, en 1976–77, il y or­gan­ise avec Jacques Azéma un sémin­aire sur les temps lo­c­aux, dont les ex­posés seront publiés l’année suivante chez Astérisque [◊] et dont cer­tains chapitres ser­viront longtemps de références de base dans ce do­maine. Le thème des temps lo­c­aux rest­era présent dans de nom­breux groupes de trav­ail qu’il animera par la suite. Par ail­leurs, Marc a en­sei­gné pendant une trentaine d’années un cours in­titulé “Temps lo­c­aux browni­ens et théorie des ex­cur­sions”, dont le con­tenu a évolué au fil de ses travaux et de ses intérêts. Des notes de ce cours sont d’abord parues dans [◊], puis ont été récem­ment re­prises dans les mono­graph­ies avec B. Mal­lein [◊] et J.-Y. Yen [◊], voir aus­si les chapitres VI, XI et XII de son livre avec D. Re­vuz [◊].

Plus générale­ment, on peut définir de même le temps loc­al à un niveau $x\in \mathbb{R}$ ar­bit­raire: $$L_t^x:=\underset{\epsilon \to 0+}{lim}\frac{1}{2\epsilon }{\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{|B_s-x|<\epsilon \}}\mathrm{d}s,$$ de sorte que la fa­mille des temps lo­c­aux $(L_t^x:x\in \mathbb{R})$ peut al­ors être vue comme la dens­ité de la mesure d’oc­cu­pa­tion de la tra­jectoire browni­enne sur l’in­ter­valle de temps $[0,t]$. Plus précisément, H.F. Trot­ter a ob­servé en 1958 qu’on pouv­ait choisir une ver­sion des temps lo­c­aux qui est pr­esque-sûre­ment con­tin­ue en la vari­able d’es­pace $x$, et on a la for­mule des dens­ités d’oc­cu­pa­tion $$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_0^{t}f(B_s)\mathrm{d}s={\int }_{\mathbb{R}}f(x)L_t^x\mathrm{d}x,\end{array}$$ où $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ désigne une fonc­tion mesur­able bornée générique.

En 1963, H. Tana­ka a pro­posé une for­mule re­marquable pour re­présenter les temps lo­c­aux browni­ens: $$\begin{array}{}\text{(2)}& (B_t-x{)}^{+}=(B_0-x{)}^{+}+{\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{B_s>x\}}\mathrm{d}{B}_s+\frac{1}{2}{L}_t^x,\end{array}$$ où $a^{+}=a\vee 0$ désigne la partie pos­it­ive d’un réel $a$. L’intégrale dans le membre de droite est une intégrale stochastique définie au sens d’Itô, on peut l’ob­tenir comme lim­ite de sommes de Riemann prévis­ibles: $${\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{B_s>x\}}\mathrm{d}{B}_s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{\mathbf{1}}_{\{B_{(i-1)t/n}>x\}}(B_{it/n}-B_{(i-1)t/n}).$$ La for­mule de Tana­ka (2) est à rap­procher de la célèbre for­mule d’Itô: $$\begin{array}{}\text{(3)}& f(B_t)=f(B_0)+{\int }_0^t{f}^{\prime }(B_s)\mathrm{d}{B}_s+\frac{1}{2}{\int }_0^t{f}^{\prime \prime }(B_s)\mathrm{d}s,\end{array}$$ pour une fonc­tion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ deux fois con­tinûment dériv­able. De façon in­formelle, quand on cher­che à ap­pli­quer la for­mule d’Itô (3) à $f(y)=(y-x{)}^{+}$, de sorte que $f^{\prime }(y)={\mathbf{1}}_{\{y>x\}}$ et $f^{\prime \prime }(y)dy={\delta }_x(\mathrm{d}y)$, l’intégrale ${\int }_0^t{f}^{\prime \prime }(B_s)\mathrm{d}s$ n’est plus définie mais doit être in­ter­prétée comme $L_t^x$, ce qui con­duit à (2).

Le prin­cip­al intérêt de la for­mule de Tana­ka est qu’elle per­met l’étude des temps lo­c­aux au moy­en du for­mid­able outil qu’est le cal­cul stochastique. Ce derni­er, in­troduit par K. Itô pour le mouvement browni­en en 1944, a été étendu au cours des années 1960–70 aux semi-mar­tin­gales, not­am­ment grâce aux travaux de H. Kunita, S. Watanabe et P.A. Mey­er, ce qui a élargi considérable­ment son champ d’ap­plic­a­tion. Rap­pelons que dans un es­pace de prob­ab­ilité fil­tré, on ap­pelle semi-mar­tin­gale un pro­ces­sus aléatoire $X=(X_t,t\ge 0)$ qu’on peut décom­poser sous la forme $X=M+V$ avec $M=(M_t,t\ge 0)$ une mar­tin­gale loc­ale et $V=(V_t,t\ge 0)$ un pro­ces­sus ad­apté à vari­ations finies. Pour sim­pli­fi­er, nous sup­poserons ici que $X$ a des tra­jectoires pr­esque-sûre­ment con­tin­ues; la décom­pos­i­tion précédente est al­ors unique.

On com­mence par définir les temps lo­c­aux $L_t^x(X)$ d’une semi-mar­tin­gale $X$ par l’ana­logue de la for­mule de Tana­ka (2) en re­m­plaçant le mouvement browni­en $B$ par $X$, i.e. $$\begin{array}{}\text{(4)}& (X_t-x{)}^{+}=(X_0-x{)}^{+}+{\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{X_s>x\}}\mathrm{d}{X}_s+\frac{1}{2}{L}_t^x(X).\end{array}$$ Dans ce con­texte, la for­mule des dens­ités d’oc­cu­pa­tion (1) reste pour l’es­sen­tiel val­ide; plus précisément elle devi­ent $$\begin{array}{}\text{(5)}& {\int }_0^{t}f(X_s)\mathrm{d}⟨X{⟩}_s={\int }_{\mathbb{R}}f(x)L_t^x(X)\mathrm{d}x,\end{array}$$ où $⟨X⟩$ désigne la vari­ation quad­ratique1 de $X$: $$\begin{array}{}\text{(6)}& ⟨X{⟩}_s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n(X_{is/n}-X_{(i-1)s/n}{)}^2.\end{array}$$

Dans un des ex­posés du Sémin­aire [◊], Marc Yor a étendu le résul­tat de Trot­ter re­latif à la con­tinu­ité des temps lo­c­aux browni­ens. Il a mon­tré que pour toute semi-mar­tin­gale con­tin­ue, il ex­iste tou­jours une ver­sion du pro­ces­sus de ses temps lo­c­aux $x\mapsto L_t^x(X)$ qui est con­tin­ue à droite et pour­vue de lim­ites à gauche pour tout temps $t\ge 0$. Plus précisément, le saut éven­tuel du temps loc­al au niveau $x$ est donné par $$L_t^x(X)-L_t^{x-}(X)=2{\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{X_s=x\}}\mathrm{d}{V}_s.$$ En par­ticuli­er, il ex­iste une ver­sion con­tin­ue des temps lo­c­aux de la semi-mar­tin­gale $X$ dès que sa com­posante à vari­ations finies $V$ est identique­ment nulle, c’est-à-dire lor­sque $X$ est une mar­tin­gale loc­ale (cette dernière as­ser­tion peut être établie dir­ecte­ment en ap­pli­quant la re­présen­t­a­tion de Du­bins–Schwarz des mar­tin­gales loc­ales con­tin­ues comme des mouve­ments browni­ens changés de temps).

En ef­fet, le pro­ces­sus $x\mapsto (X_t-x{)}^{+}$ étant con­tinu, la for­mule de Tana­ka (4) ramène l’étude de la con­tinu­ité en la vari­able d’es­pace des temps lo­c­aux à celle de $$x\mapsto {\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{X_s>x\}}\mathrm{d}{X}_s={\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{X_s>x\}}\mathrm{d}{M}_s+{\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{X_s>x\}}\mathrm{d}{V}_s.$$ Dans le ter­me de droite, la première intégrale par rap­port à la mar­tin­gale loc­ale $M$ est une intégrale stochastique, et la seconde par rap­port à $V$, est une intégrale de Stieltjes usuelle. Le cal­cul stochastique per­met de con­trôler pour $x<y$ les mo­ments de la différence $${\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{X_s>x\}}\mathrm{d}{M}_s-{\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{X_s>y\}}\mathrm{d}{M}_s={\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{x<X_s\le y\}}\mathrm{d}{M}_s,$$ et en­suite d’ap­pli­quer le critère de Kolmogorov. On ob­tient ain­si l’ex­ist­ence d’une ver­sion con­tin­ue de $x\mapsto {\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{X_s>x\}}\mathrm{d}{M}_s$, et les dis­con­tinu­ités de $x\mapsto \frac{1}{2}{L}_t^x(X)$ sont donc les mêmes que celles de l’intégrale de Stieltjes $x\mapsto {\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{X_s>x\}}\mathrm{d}{V}_s$, ce qui con­duit au résul­tat cherché.

Dans une autre dir­ec­tion, et en col­lab­or­a­tion avec Nic­olas Bouleau [◊], Marc s’est intéressé à la vari­ation quad­ratique (au sens de (6)) des temps lo­c­aux des semi-mar­tin­gales. Plus précisément, ils ont établi que pour toute semi-mar­tin­gale réelle con­tin­ue $X=(X_t,t\ge 0)$, tout temps aléatoire $S$ et tous réels $a<b$, on a $$\begin{array}{rcl}⟨L_S^{\bullet }(X){⟩}_a^b& :=& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{a_i\in {\mathrm{\Delta }}_n}(L_S^{a_{i+1}}(X)-L_S^{a_i}(X){)}^2\\ & =& 4{\int }_a^b{L}_S^x(X)\mathrm{d}x+\sum _{a<x\le b}(L_S^x(X)-L_S^{x-}(X){)}^2\end{array}$$ où à la première ligne, ${\mathrm{\Delta }}_n$ désigne une sub­di­vi­sion d’un in­ter­valle $[a,b]$ dont le pas tend vers 0 quand $n\to \mathrm{\infty }$. Dans le cas où $X=M$ est une mar­tin­gale loc­ale, nous savons que les temps lo­c­aux de $M$ sont con­tinus en la vari­able d’es­pace, de sorte que la somme dans la seconde ligne est nulle, et le résul­tat donne donc plus sim­ple­ment l’iden­tité $$\begin{array}{}\text{(7)}& ⟨L_S^{\bullet }(M){⟩}_a^b=4{\int }_a^b{L}_S^x(M)\mathrm{d}x.\end{array}$$ Ce résul­tat a con­duit leurs auteurs à une ex­ten­sion intéress­ante de la for­mule d’Itô (3), à des fonc­tions qui ne sont pas néces­saire­ment de classe ${\mathcal{C}}^2$. Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonc­tion con­tin­ue par mor­ceaux, et $F$ une prim­it­ive de $f$. On a al­ors $$F(X_S)=F(X_0)+{\int }_0^{S}f(X_s)\mathrm{d}{X}_s-\frac{1}{2}{\int }_{\mathbb{R}}f(x){\mathrm{d}}_x{L}_S^x(X),$$ où la première intégrale dans le membre de droite est une intégrale stochastique et la seconde doit être vue au sens de Riemann, i.e. si $f$ est à sup­port dans $[a,b]$, al­ors $${\int }_{\mathbb{R}}f(x){\mathrm{d}}_x{L}_S^x(X):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{a_i\in {\mathrm{\Delta }}_n}f(a_i)(L_S^{a_{i+1}}(X)-L_S^{a_i}(X)),$$ où à nou­veau ${\mathrm{\Delta }}_n$ est une sub­di­vi­sion d’un in­ter­valle $[a,b]$ dont le pas tend vers 0 quand $n\to \mathrm{\infty }$.

En 1963, D. B. Ray et F. Knight ob­t­in­rent indépen­dam­ment des de­scrip­tions re­marquables de la loi des temps lo­c­aux browni­ens pris en cer­tains temps aléatoires. Leurs résul­tats font ap­paraître des carrés de pro­ces­sus de Bessel, que nous al­lons tout d’abord in­troduire. Le carré de la norme eu­c­lidi­enne d’un mouvement browni­en en di­men­sion $n$ est une dif­fu­sion (i.e. un pro­ces­sus de Markov à tra­jectoires con­tin­ues), qu’on ap­pelle carré de pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion $n$, et dont on notera la loi ${\mathrm{BESQ}}_x(n)$ lor­squ’au temps ini­tial, le mouvement browni­en est à dis­tance $\sqrt{x}$ de l’ori­gine. La ter­min­o­lo­gie vi­ent de ce que son semi-groupe s’exprime en ter­me des fonc­tions de Bessel; voir Chapitre XI dans [◊]. En fait, on peut égale­ment définir les carrés de pro­ces­sus de Bessel comme solu­tions d’équa­tions différen­ti­elles stochastiques: $$\begin{array}{}\text{(8)}& X_t=x+2{\int }_0^t\sqrt{X_s}\mathrm{d}{\beta }_s+nt,\end{array}$$ où $\beta$ désigne un mouvement browni­en réel. L’équa­tion (8) garde un sens (et possède une unique solu­tion) lor­sque que le paramètre $n$ de la di­men­sion prend plus générale­ment des valeurs réelles pos­it­ives ou nulles. En par­ticuli­er, il ex­iste un pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 0, dont nous ver­rons qu’il joue un rôle im­port­ant dans cette sec­tion.

Le premi­er théorème de Ray–Knight con­cerne les temps lo­c­aux browni­en $L=L(B)$ évalués au premi­er temps où la tra­jectoire browni­enne (qu’on sup­pose is­sue de 0) at­teint le niveau 1, $$T_1=inf\{t\ge 0:B_t=1\}.$$ Le pro­ces­sus $(L_{T_1}^{1-x}:0\le x\le 1)$ a al­ors pour loi celle d’un carré de pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 2 et issu de 0, i.e. ${\mathrm{BESQ}}_0(2)$, re­streint à l’in­ter­valle de temps $[0,1]$.

Le second théorème de Ray–Knight con­cerne quant à lui le premi­er in­stant en le­quel le temps loc­al au niveau 0, $L=L^0$, at­teint 1: $${\tau }_1=inf\{t\ge 0:L_t=1\}.$$ Le pro­ces­sus $(L_{{\tau }_1}^x:x\ge 0)$ a pour loi celle d’un carré de pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 0 et issu de 1, ${\mathrm{BESQ}}_1(0)$. No­tons en passant que par un ar­gu­ment de symétrie, le pro­ces­sus $(L_{{\tau }_1}^{-x}:x\ge 0)$ a évidem­ment la même loi, et on peut montrer fa­cile­ment que les deux sont indépendants.

Les théorèmes de Ray–Knight ont de très nom­breuses ap­plic­a­tions pour le mouvement browni­en réel, et ils ont naturelle­ment beau­c­oup intéressé Marc Yor. Comme il avait cou­tume de le dire, Marc a cherché de plusieurs façons “à les ex­pli­quer”, “à mieux les com­pren­dre”, par ex­emple en don­nant de nou­velles preuves. L’une d’elles, que je vais rap­idement es­quis­s­er, est par­ticulière­ment élégante. Des pro­priétés classiques du cal­cul stochastique montrent que la semi-mar­tin­gale $X$ solu­tion de (8) a une vari­ation quad­ratique $⟨X⟩$ au sens de (6) qui sat­is­fait $$\begin{array}{}\text{(9)}& ⟨X{⟩}_t=4{\int }_0^t{X}_s\mathrm{d}s.\end{array}$$ Réciproque­ment, si $X$ est une semi-mar­tin­gale dont la partie à vari­ation finie s’exprime sim­ple­ment comme $V_t=nt$, al­ors l’équa­tion (9) en­traîne que $X$ a néces­saire­ment pour loi celle d’un carré de pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion $n$. Or nous avons vu dans (7) que les temps lo­c­aux d’une mar­tin­gale loc­ale con­tin­ue (a for­tiori les temps lo­c­aux d’un mouvement browni­en arrêté en un temps d’arrêt) sat­is­font tou­jours l’équa­tion (9). Il ne reste donc plus qu’à iden­ti­fi­er la com­posante à vari­ation finie.

Dans un art­icle [◊] très souvent cité en col­lab­or­a­tion avec Jim Pit­man, Marc Yor a not­am­ment mon­tré com­ment les théorèmes de Ray–Knight per­mettaient de cal­culer la trans­formée de Laplace des carrés de pro­ces­sus de Bessel, $$\mathbb{E}(\exp (-\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{X}_t\mu (\mathrm{d}t)))$$ où le pro­ces­sus $X=(X_t,t\ge 0)$ a pour loi ${\mathrm{BESQ}}_x^d$ et $\mu$ est une mesure de Radon sur $]0,\mathrm{\infty }[$. Pit­man et Yor ont mon­tré que cette quant­ité pouv­ait être exprimée sous la forme $$\phi (\mathrm{\infty }{)}^{d/2}\exp (\frac{x}{2}{\phi }^{\prime }(0)),$$ où $\phi$ est l’unique solu­tion pos­it­ive décrois­sante de l’équa­tion de Sturm–Li­ouville $y^{\prime \prime }=\mu y$ avec pour con­di­tion ini­tiale $\phi (0)=1$. Sup­po­sons pour sim­pli­fi­er que $\mu$ est ab­so­lu­ment con­tin­ue, $\mu (\mathrm{d}t)=f(t)\mathrm{d}t$, avec $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{+}$ est une fonc­tion mesur­able et identique­ment nulle sur ${\mathbb{R}}_{-}$, et que $x=1$. Une étape cru­ciale de [◊] est d’ob­serv­er que, par le second théorème de Ray–Knight, ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{X}_t\mu (\mathrm{d}t)$ a la même loi (et donc la même trans­formée de Laplace) que $${\int }_{\mathbb{R}}f(x)L_{{\tau }_1}^x\mathrm{d}x={\int }_0^{{\tau }_1}f(B_s)\mathrm{d}s,$$ où l’iden­tité ci-des­sus découle de la for­mule des dens­ités d’oc­cu­pa­tion (1). Le cal­cul stochastique, et plus spéci­fique­ment les for­mules d’Itô et de Tana­ka, per­met al­ors de véri­fi­er que le pro­ces­sus $$\phi (B_t^{+})\exp (-\frac{{\phi }^{\prime }(0)}{2}{L}_t-\frac{1}{2}{\int }_0^{t}f(B_s)\mathrm{d}s)$$ est une mar­tin­gale loc­ale, puis d’ap­pli­quer le théorème d’arrêt et d’ob­tenir l’iden­tité $$\mathbb{E}(\exp (-\frac{1}{2}{\int }_0^{{\tau }_1}f(B_s)\mathrm{d}s))=\exp (\frac{1}{2}{\phi }^{\prime }(0)).$$

Dans une autre dir­ec­tion, et en col­lab­or­a­tion avec Mar­tin Bar­low, Marc Yor s’est intéressé à re­li­er les temps lo­c­aux aux inégalités de Burk­hold­er–Dav­is–Gundy (en abrégé, BDG). Rap­pelons que ces dernières énon­cent l’ex­ist­ence pour chaque $p>0$ de con­stantes uni­versell­es $0<c_p\le C_p<\mathrm{\infty }$ tell­es que, pour tout temps d’arrêt2 $T$ re­latif à un mouvement browni­en réel $B$, on a l’en­cadre­ment $$\begin{array}{}\text{(10)}& c_p\mathbb{E}(T^{p/2})\le \mathbb{E}((B_T^{\ast }{)}^p)\le C_p\mathbb{E}(T^{p/2}),\end{array}$$ où $B_T^{\ast }=\underset{0\le t\le T}{sup}|B_t|$ désigne le su­prem­um ab­solu de $B$ sur l’in­ter­valle de temps $[0,T]$. Tout d’abord, dans [◊], les auteurs montrent qu’on a égale­ment $$\begin{array}{}\text{(11)}& c_p^{\prime }\mathbb{E}(T^{p/2})\le \mathbb{E}((L_T^{\ast }{)}^p)\le C_p^{\prime }\mathbb{E}(T^{p/2}),\end{array}$$ où $L_T^{\ast }=\underset{x\in \mathbb{R}}{sup}{L}_T^x$ et $0<c_p^{\prime }\le C_p^{\prime }<\mathrm{\infty }$ sont égale­ment des con­stantes uni­versell­es (le résul­tat énoncé dans [◊] est en fait un peu plus général et con­cerne les fonc­tions dites modérées et non pas seule­ment les fonc­tions puis­sances). No­tons que la minor­ation est fa­cile, en ef­fet il suf­fit d’écri­re $$T={\int }_{\mathbb{R}}{L}_T^x\mathrm{d}x={\int }_{-B_T^{\ast }}^{B_T^{\ast }}{L}_T^x\mathrm{d}x\le 2B_T^{\ast }{L}_T^{\ast },$$ où la première égalité découle de la for­mule des dens­ités d’oc­cu­pa­tion (1), et la seconde du fait que $L_T^x=0$ pour $x\notin [-B_T^{\ast },B_T^{\ast }]$ (par défi­ni­tion même de $L_T^x$). La minor­ation $c_p^{\prime }\mathbb{E}(T^{p/2})\le \mathbb{E}((L_T^{\ast }{)}^p)$ s’en­suit aisément en util­is­ant l’inégalité de Cauchy–Schwarz et (10). La ma­jor­a­tion de (11) quant à elle est beau­c­oup plus délic­ate à étab­lir et re­quiert les théorèmes de Ray–Knight. Dans [◊], les mêmes auteurs ont ob­tenu à l’aide d’un lemme dû à Gar­sia, Ro­demich et Rum­sey, des ex­ten­sions pour des semi-mar­tin­gales con­tin­ues, $X=(X_t,t\ge 0)$, en étab­lis­sant not­am­ment que pour tout $p\ge 1$, il ex­iste une con­stante numérique $k_p$ telle que $$\mathbb{E}((L_{\mathrm{\infty }}^{\ast }(X){)}^p)\le k_p\mathbb{E}((X_{\mathrm{\infty }}^{\ast }+{\overline{V}}_{\mathrm{\infty }}{)}^p),$$ où $L_{\mathrm{\infty }}^{\ast }(X)=\underset{t\ge 0,x\in \mathbb{R}}{sup}{L}_t^x(X)$, $X_{\mathrm{\infty }}^{\ast }=\underset{t\ge 0}{sup}|X_t|$, et ${\overline{V}}_{\mathrm{\infty }}$ désigne la vari­ation totale du pro­ces­sus à vari­ation finie $V$. Les inégalités de Bar­low–Yor sont fréquem­ment util­isées par différents auteurs, par ex­emple pour étab­lir des pro­priétés de con­tinu­ité de fa­milles d’intégrales stochastiques.

Les théorèmes de Ray–Knight sont égale­ment à l’ori­gine d’un trav­ail aty­pique [◊] de Marc Yor en col­lab­or­a­tion avec Jonath­an War­ren, que je vais main­ten­ant brièvement décri­re. Considérons un mouvement browni­en réel réfléchi issu de 0, $W=(W_t,t\ge 0)$, c’est-à-dire que $W$ a la même loi que $|B|$, et no­tons pour tout $a\ge 0$ $$T_a=inf\{t\ge 0:W_t=a\}.$$ Il est fa­cile de transférer le (premi­er) théorème de Ray–Knight au mouvement browni­en réfléchi, et on voit que le pro­ces­sus $({\ell }_{T_1}^{1-x},0\le x\le 1)$ des temps lo­c­aux de $W$ pris au temps $T_1$ est un carré de pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 2, issu de 0, et re­streint à l’in­ter­valle de temps $[0,1]$. La con­nais­sance des temps lo­c­aux $({\ell }_{T_1}^x,x\le 1)$ ne per­met pas à elle seule de re­con­stru­ire entière­ment le pro­ces­sus $(W_t,0\le t\le 1)$, et on s’intéresse naturelle­ment à la loi con­di­tion­nelle de $(B_t,0\le t\le T_1)$ con­nais­sant $({\ell }_{T_1}^x,0\le x\le 1)$. Pour cela, War­ren et Yor considèrent tout d’abord une fonc­tion­nelle par­ticulière, le pro­ces­sus quo­tient $$({\ell }_{T_a}^x/{\ell }_{T_1}^x,0\le x\le a)$$ pour $a<1$, et montrent que la loi con­di­tion­nelle de ce derni­er sachant $({\ell }_{T_1}^x,0\le x\le 1)$ est celle de $$Y({\int }_x^a\frac{\mathrm{d}y}{{\ell }_{T_1}^y},0\le x\le a)$$ où $Y$ désigne un pro­ces­sus de dif­fu­sion (dit de Jac­obi) sur $[0,1]$, ay­ant pour générat­eur in­fin­itésim­al $$\mathcal{G}f(x)=2x(1-x)f^{\prime \prime }(x)+2(1-x)f^{\prime }(x),$$ qui est en fait indépendant des temps lo­c­aux $({\ell }_{T_1}^x,0\le x\le 1)$. Parmi les prin­ci­paux résul­tats de leur trav­ail, ils décriv­ent un pro­ces­sus $\hat{W}$ dont le pro­ces­sus des temps lo­c­aux est un pro­ces­sus de Jac­obi, ce qui peut être in­ter­prété comme une vari­ante du théorème de Ray–Knight. Plus précisément, ils montrent que si l’on défi­nit im­pli­cite­ment $\hat{W}$ par l’iden­tité $$\theta (W_t)={\hat{W}}_{A_t},0\le t<T_1$$ avec $$A_t={\int }_0^t({\ell }_{T_1}^{W_s}{)}^{-2}\mathrm{d}s\text{et}\theta (x)={\int }_0^x\frac{\mathrm{d}y}{{\ell }_{T_1}^y},$$ al­ors $\hat{W}$ est indépendant du pro­ces­sus des temps lo­c­aux $({\ell }_{T_1}^x,0\le x\le 1)$. Par ail­leurs, si on note $({\lambda }_t^x,0\le x\le 1)$ le pro­ces­sus des temps lo­c­aux de $\hat{W}$ évalué au temps $t$, et ${\hat{T}}_a=inf\{t\ge 0:{\hat{W}}_t=a\}$, al­ors pour tout $0<a<1$, $({\lambda }_{{\hat{T}}_1}^{a-x},0\le x\le a)$ est un pro­ces­sus de Jac­obi re­streint à l’in­ter­valle de temps $[0,a]$.

War­ren et Yor dénom­ment $\hat{W}$ le “Browni­an burg­lar” en util­is­ant la méta­phore suivante: la po­lice est sur les traces d’un cam­bri­o­leur, et ne dis­pose pour le ret­rouver que de l’in­form­a­tion de ses différents temps de séjours dans les hôtels de la ville, sans connaître ni l’or­dre, ni les dates. Elle doit s’ef­for­cer de re­con­stit­uer l’itinéraire du cam­bri­o­leur le plus prob­able.

Lor­squ’un pro­ces­sus de Markov en temps dis­cret ad­met un point récur­rent, dis­ons 0 pour fix­er les idées, dans le sens où partant de 0 le pro­ces­sus re­tourne pr­esque-sûre­ment en 0, il est naturel — et souvent très utile — de décom­poser sa tra­jectoire sur les in­ter­valles de temps lors de­squels elle ef­fec­tue une ex­cur­sion hors de 0. On peut énumérer ces ex­cur­sions: la première depuis le temps ini­tial jusqu’au premi­er re­tour en 0, la seconde, etc., et par la pro­priété de Markov forte, ces ex­cur­sions sont indépendantes les unes des autres et ont toutes la même loi.

Dans le cas du mouvement browni­en réel, 0 est certes un point récur­rent que la tra­jectoire vis­ite pr­esque-sûre­ment en des temps ar­bit­raire­ment grands; cepend­ant, cette tra­jectoire re­vi­ent immédiate­ment en 0, c’est-à-dire que $inf\{t>0:B_t=0\}=0$ p.s., et l’en­semble des zéros du browni­en, $$\mathcal{Z}=\{t\ge 0:B_t=0\},$$ est p.s. un fermé par­fait. On ne peut donc ni par­ler du premi­er temps de re­tour en 0, ni énumérer les ex­cur­sions hors de 0. Néan­moins, K. Itô [e2] a mon­tré que le temps loc­al per­mettait de con­tourn­er cette dif­fi­culté in­trinsèque, comme nous al­lons main­ten­ant l’es­quis­s­er.

Le temps loc­al browni­en au niveau 0, $L:t\mapsto L_t$, est un pro­ces­sus con­tinu, crois­sant, et qui ne croît que lor­sque $B$ s’an­nule, dans le sens où, pr­esque sûre­ment, le sup­port de la mesure de Stieltjes3 $\mathrm{d}{L}_t$ coïncide avec l’en­semble $\mathcal{Z}$ des zéros du mouvement browni­en. Le temps loc­al est ain­si un outil fon­da­ment­al pour l’étude de $\mathcal{Z}$ et des ex­cur­sions que le mouvement browni­en réal­ise hors de 0. Pour se faire, il est com­mode d’in­troduire l’in­verse du temps loc­al $${\tau }_t:=inf\{s\ge 0:L_s>t\},t\ge 0.$$ Le pro­ces­sus $\tau =({\tau }_t,t\ge 0)$ est crois­sant et con­tinu à droite, et véri­fie l’iden­tité $L_{{\tau }_t}=t$ (autre­ment dit, $\tau$ est un in­verse à droite de $L$, i.e. $L\circ \tau =\mathrm{Id}$). D’autre part, en not­ant ${\tau }_{t-}=\underset{s\to t-}{lim}{\tau }_s$ la lim­ite à gauche de $\tau$ en $t$, on a égale­ment $${\tau }_{L_t}=inf\{s>t:B_s=0\}\text{et}{\tau }_{L_t-}=sup\{s<t:B_s=0\},$$ de sorte que si $B_t\ne 0$, al­ors ${\tau }_{L_t-}$ et ${\tau }_{L_t}$ sont re­spect­ive­ment les ex­trémités gauche et droite de l’in­ter­valle de temps con­ten­ant $t$ et dur­ant le­quel $B$ ef­fec­tue une ex­cur­sion hors de 0. En­fin, on montre fa­cile­ment que l’im­age fermée de $\tau$ coïncide avec l’en­semble des zéros du browni­en, $$\mathcal{Z}=\{{\tau }_t,t\ge 0{\}}^{\mathrm{cl}}=\{{\tau }_t,t\ge 0\}\cup \{{\tau }_{t-}:{\tau }_t\ne {\tau }_{t-}\}\text{p.s.}$$ Autre­ment dit, la re­présen­t­a­tion can­o­nique de l’ouvert aléatoire ${\mathcal{Z}}^c={\mathbb{R}}_{+}\mathrm{\setminus }\mathcal{Z}$ comme réuni­on d’in­ter­valles ouverts deux à deux dis­joints est donnée par $${\mathcal{Z}}^c=\bigcup ]{\tau }_{t-},{\tau }_t[$$ où l’uni­on est prise sur l’en­semble (aléatoire) des temps $t$ en lesquels $\tau$ est dis­con­tinu. Les in­ter­valles $]{\tau }_{t-},{\tau }_t[$ s’ap­pel­lent les in­ter­valles d’ex­cur­sion, et à tout $t\ge 0$ tel que ${\tau }_{t-}<{\tau }_t$, on as­socie l’ex­cur­sion de la tra­jectoire browni­enne hors de 0: $$\begin{array}{}\text{(12)}& e_t(s)=B_{s+{\tau }_{t-}},0\le s\le {\tau }_t-{\tau }_{t-}.\end{array}$$

K. Itô a mon­tré que le pro­ces­sus des ex­cur­sions, $t\mapsto e_t$, est un pro­ces­sus de Pois­son ponc­tuel à valeurs dans un es­pace de tra­jectoires. Ceci donne un form­al­isme rigoureux à l’in­tu­ition selon laquelle, de façon très in­formelle, les ex­cur­sions browni­ennes doivent être indépendantes et toutes de même loi, qui a per­mis de déve­lop­per une théorie re­marquable­ment riche et utile.

Marc Yor avait une ad­mir­a­tion pro­fonde pour K. Itô, non seule­ment pour la découverte du cal­cul stochastique, mais égale­ment pour la théorie des ex­cur­sions que Marc a util­isée dans un grand nombre de ses travaux. Marc s’est not­am­ment intéressé aux fonc­tion­nelles ad­dit­ives du browni­en sub­or­données par l’in­verse du temps loc­al. Pour rest­er simple, considérons une fonc­tion­nelle intégrale du type $$A_t={\int }_0^{t}f(B_s)\mathrm{d}s\text{pour }t\ge 0,$$ avec $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonc­tion mesur­able loc­ale­ment intégrable, et com­po­sons-la avec l’in­verse du temps loc­al. Par ad­dit­iv­ité (c’est-à-dire, dans ce cas, la simple re­la­tion de Chasles), on a $$A_{{\tau }_{t+u}}={\int }_0^{{\tau }_{t+u}}f(B_s)\mathrm{d}s={\int }_0^{{\tau }_t}f(B_s)\mathrm{d}s+{\int }_{{\tau }_t}^{{\tau }_{t+u}}f(B_s)\mathrm{d}s=A_{{\tau }_t}+A_{{\tau }_u^{\prime }}^{\prime },$$ avec $$A_{{\tau }_u^{\prime }}^{\prime }={\int }_{{\tau }_t}^{{\tau }_{t+u}}f(B_s)\mathrm{d}s={\int }_0^{{\tau }_{t+u}-{\tau }_t}f(B_{s+{\tau }_t})\mathrm{d}s.$$ Le point clef est que le mouvement browni­en se régénère au temps ${\tau }_t$, dans le sens où le pro­ces­sus $B^{\prime }=(B_{s+{\tau }_t},s\ge 0)$ ob­tenu par trans­la­tion de la tra­jectoire au temps aléatoire ${\tau }_t$, est un nou­veau mouvement browni­en, qui de plus est indépendant de la partie de la tra­jectoire av­ant ${\tau }_t$. Cette pro­priété de régénéra­tion découle de la pro­priété de Markov forte du mouvement browni­en, et du fait que ${\tau }_t$ est un temps d’arrêt en le­quel $B$ s’an­nule.

On peut al­ors ré-écri­re $$A_{{\tau }_u^{\prime }}^{\prime }={\int }_0^{{\tau }_u^{\prime }}f(B_s^{\prime })\mathrm{d}s,$$ avec ${\tau }_u^{\prime }={\tau }_{t+u}-{\tau }_t$, et on véri­fie sans peine que le pro­ces­sus ${\tau }^{\prime }=({\tau }_u^{\prime },u\ge 0)$ n’est autre que l’in­verse du temps loc­al du mouvement browni­en $B^{\prime }$. La re­la­tion $$A_{{\tau }_{t+u}}=A_{{\tau }_t}+A_{{\tau }_u^{\prime }}^{\prime }$$ montre ain­si que le pro­ces­sus $t\mapsto A_{{\tau }_t}$ a des ac­croisse­ments indépendants et sta­tion­naires; on dit que c’est un pro­ces­sus de Lévy. En conséquence, sa loi, en tant que pro­ces­sus aléatoire, est entière­ment déter­minée par une mar­ginale uni­di­men­sion­nelle, c’est à dire par ex­emple par la loi de sa valeur prise au temps $t=1$, $A_{{\tau }_1}$, dont nous avons vu à la sec­tion précédente com­ment cal­culer la trans­formée de Laplace.

Rap­pelons par ail­leurs que la struc­ture d’un pro­ces­sus de Lévy $\xi =({\xi }_t,t\ge 0)$ est pour l’es­sen­tiel décrite par ses sauts $\mathrm{\Delta }{\xi }_t:={\xi }_t-{\xi }_{t-}$, et que ces derniers for­ment un pro­ces­sus de Pois­son ponc­tuel (il s’agit de la célèbre décom­pos­i­tion de Lévy–Itô). Dans la situ­ation précédente où ${\xi }_t=A_{{\tau }_t}$, on a $$\mathrm{\Delta }{\xi }_t=A_{{\tau }_t}-A_{{\tau }_{t-}}={\int }_{{\tau }_{t-}}^{{\tau }_t}f(B_s)\mathrm{d}s,$$ et on peut exprimer cette dernière quant­ité en ter­mes de l’ex­cur­sion $e_t$ définie par (12): $${\int }_{{\tau }_{t-}}^{{\tau }_t}f(B_s)\mathrm{d}s=\int f(e_t(s))\mathrm{d}s,$$ où l’intégrale dans le membre de droite est prise sur le temps de vie de l’ex­cur­sion $e_t$. Ain­si la théorie des ex­cur­sions d’Itô per­met de déter­miner le pro­ces­sus des sauts de $t\mapsto A_{{\tau }_t}$.

Dans un su­perbe art­icle [◊] en col­lab­or­a­tion avec Phil­ippe Bi­ane, les idées es­quissées ci-des­sus ont été déve­loppées dans le cas où $f(x)=1/x$, et plus générale­ment $f(x)=\mathrm{sgn}(x)|x{|}^{\gamma }$ avec $\gamma >-3/2$. Plus précisément, pour $-3/2<\gamma \le -1$, la fonc­tion $f$ n’étant pas loc­ale­ment intégrable au voisin­age de 0, il con­vi­ent de définir la fonc­tion­nelle $A_t$ au sens des valeurs prin­cip­ales de Cauchy, c’est-à-dire comme $$\underset{\epsilon \to 0+}{lim}{\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{|B_s|>\epsilon \}}\mathrm{sgn}(B_s)|B_s{|}^{\gamma }\mathrm{d}s=\underset{\epsilon \to 0+}{lim}{\int }_{\epsilon }^{\mathrm{\infty }}{x}^{\gamma }(L_t^x-L_t^{-x})\mathrm{d}x,$$ où l’ex­ist­ence de la lim­ite découle de la régu­lar­ité de Hölder (d’or­dre $1/2-\epsilon$ pour tout $\epsilon >0$) des temps lo­c­aux browni­ens. La pro­priété d’in­vari­ance par change­ment d’échelle du mouvement browni­en en­traîne aisément que le pro­ces­sus de Lévy $\xi =A\circ \tau$ est plus précisément un pro­ces­sus stable symétrique d’ex­posant $1/(2+\gamma )$. En s’ap­puyant en grande partie sur la théorie des ex­cur­sions, Bi­ane et Yor étab­lis­sent un très grand nombre d’iden­tités en loi et de for­mules ex­pli­cites. Par ex­emple, pour $\gamma =-1$, la fonc­tion­nelle $A$ peut être vue comme la trans­formée de Hil­bert des temps lo­c­aux, $$A_t:=H_t={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{-1}(L_t^x-L_t^{-x})\mathrm{d}x,$$ et ils ob­tiennent la for­mule re­marquable suivante $$\mathbb{E}(\exp (i\frac{a}{\pi }{H}_{{\tau }_t}-\frac{b^2}{2}{\tau }_t))=\exp (-ta\coth (a/b)),$$ avec $a,b\in \mathbb{R}$, $b\ne 0$. Pour $b=0$, on a $$\mathbb{E}(\exp (i\frac{a}{\pi }{H}_{{\tau }_t}))=\exp (-t|a|),$$ c’est-à-dire que $({\pi }^{-1}{H}_{{\tau }_t},t\ge 0)$ est un pro­ces­sus de Cauchy stand­ard.

Dans une dir­ec­tion différente, la théorie des ex­cur­sions d’Itô joue un rôle es­sen­tiel dans plusieurs travaux que Marc Yor et Jim Pit­man ont con­sacrés aux lon­gueurs des ex­cur­sions, à leurs hauteurs, ou plus générale­ment à di­verses fonc­tion­nelles des ex­cur­sions. Ces travaux cul­min­er­ont avec l’étude de la fa­mille à deux paramètres des dis­tri­bu­tions de Pois­son–Di­rich­let; nous ren­voy­ons le lec­teur au texte de Jim Pit­man dans ce volume pour une présen­t­a­tion détaillée de ce sujet.

À partir des années 1950, Dvoret­sky, Erdös et Kak­utani ont étudié les points mul­tiples de la tra­jectoire browni­enne. Ils ont mon­tré l’ab­sence de points doubles en di­men­sion $n\ge 4$, c’est-à-dire que la prob­ab­ilité qu’il ex­iste des in­stants dis­tincts en lesquelles la courbe browni­enne passe par le même point, $$\mathbb{R}(\mathrm{\exists }s,t:s\ne t\text{ et }{B}_s=B_t),$$ est nulle. En re­vanche, cette prob­ab­ilité vaut 1 en di­men­sion $n=2$ ou 3; plus précisément en di­men­sion $n=2$, on peut pr­esque-sûre­ment trouver des points de mul­ti­pli­cité ar­bit­raire, al­ors qu’en di­men­sion $n=3$, il n’ex­iste pr­esque-sûre­ment pas de point triple. Ces résul­tats très frap­pants ont été la source d’un grand nombre de travaux en théorie des prob­ab­ilités bi­en sûr, mais aus­si en ana­lyse har­mo­nique et en physique mathématique (où l’intérêt pour les tra­jectoires aléatoires sans auto-in­ter­sec­tions est par­ticulière­ment mar­qué).

Motivé par des travaux de phys­i­ciens (S. Ed­wards, K. Sy­man­zik, J. West­water, …), Jay Rosen s’est penché dès le début des années 1980 sur les mesur­es aléatoires ${\nu }_A$, avec $A$ partie mesur­able bornée de ${\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}_{+}$, qui sont définies par $${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x){\nu }_A(\mathrm{d}x)={\int }_{(u,v)\in A}f(B_u-B_v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v.$$ Il a mon­tré qu’elles étaient pr­esque-sûre­ment ab­so­lu­ment con­tin­ues par rap­port à la mesure de Le­besgue en di­men­sions $n=2$ et $n=3$ (en di­men­sion supérieure, l’ab­sence de point double de la tra­jectoire browni­enne en­traine que ${\nu }_A$ est sin­gulière, par un ar­gu­ment proche du précédent). On peut al­ors définir des temps lo­c­aux d’in­ter­sec­tion $(\alpha (x,A),x\in {\mathbb{R}}^n)$ comme dens­ités de ${\nu }_A$, i.e. $${\int }_{(u,v)\in A}f(B_u-B_v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\alpha (x,A)\lambda (\mathrm{d}x).$$

Jay Rosen [◊] établit que ces temps lo­c­aux d’in­ter­sec­tions dépendaient con­tinûment de la vari­able d’es­pace $x$, pour­vu que le boréli­en $A$ reste éloigné de la di­ag­onale $D=\{(u,u),u\in {\mathbb{R}}_{+}\}$. En re­vanche, un phénomène d’ex­plo­sion se produit pour $\alpha (0,A)$ lor­sque $A$ s’ap­proche de $D$; ceci a été quan­ti­fié précisément en di­men­sion $n=2$ par S. R. Varadhan. J. Rosen a en­suite ob­tenu une première for­mule du type de celle de Tana­ka (2) qui per­met de re­présenter $\alpha (x,A)$ pour $A=[a,b]\times [c,d]$ avec $b<c$ en ter­mes d’une intégrale stochastique.

Marc Yor [◊] a dérivé des for­mules plus simples pour re­présenter ces temps lo­c­aux d’in­ter­sec­tion. En pren­ant pour $A=\{(s,u):0\le s<u\le t\}$, il ob­tient en di­men­sion $n=2$, pour $x\ne 0$ $${\int }_0^t(\ln |B_t-B_s-x|-\ln |x|)\mathrm{d}s={\int }_0^t(\mathrm{d}{B}_u;{\int }_0^u\mathrm{d}s\frac{B_u-B_s-x}{|B_u-B_s-x{|}^2})+\pi \alpha (x,A),$$ et en di­men­sion $n=3$ $${\int }_0^t(|B_u-B_s-x{|}^{-1}-|x{|}^{-1})\mathrm{d}s=-{\int }_0^t(\mathrm{d}{B}_u;{\int }_0^u\mathrm{d}s\frac{B_u-B_s-x}{|B_u-B_s-x{|}^3})-2\pi \alpha (x,A).$$

Ces for­mules, auxquelles Marc don­nera le nom de Tana­ka–Rosen, sont par­ticulière­ment utiles pour étud­i­er le com­porte­ment de $\alpha (x,A)$ lor­sque $x\to 0$. Elles per­mettent not­am­ment d’étab­lir as­sez sim­ple­ment le résul­tat de renor­m­al­isa­tion de Varadhan en di­men­sion $n=2$, et son pendant en di­men­sion $n=3$. Toute­fois, et Marc le re­con­nais­sait lui-même, ce sont d’autres cher­ch­eurs que lui, not­am­ment R. Bass, X. Chen, J.-F. Le Gall et J. Rosen, qui sont allés le plus loin dans l’étude des temps lo­c­aux d’in­ter­sec­tion browni­ens et de leurs ap­plic­a­tions aux points mul­tiples.

Je voudrais con­clure par une an­ec­dote per­son­nelle, qui re­flète as­sez bi­en je crois une des façons que Marc avait de trav­ailler. Notre dernière col­lab­or­a­tion, pendant l’été 2013, por­tait égale­ment sur les temps lo­c­aux, et plus précisément pour les pro­ces­sus à vari­ation finie. Tout avait com­mencé avec un sujet d’ex­a­men qu’il avait rédigé pour un de ses cours (Marc pro­po­sa­it souvent des sujets ori­gin­aux liés à ses recherches récen­tes) et qu’il m’avait en­voyé. Marc pen­sait qu’il y avait peut-être là matière à des déve­lop­pe­ments et m’avait pro­posé d’y réfléchir avec lui. Après quelques mois d’échanges par fax et cour­ri­er élec­tro­nique, quand notre trav­ail m’a semblé abouti et avoir pris une forme pr­esque défi­nit­ive, j’ai rédigé un court art­icle et l’ai en­voyé à Marc pour re­lec­ture. Outre quelques cor­rec­tions de fautes de frappes et d’im­précisions, Marc com­mente la preuve du résul­tat prin­cip­al: “tiens, on ap­plique ici en­core le théorème de Fu­bini…”. Sur le coup, je n’ai pas com­pris; bi­en sûr le théorème de Fu­bini est un outil de base en ana­lyse, on l’ap­plique très souvent. Puis j’ai réfléchi à sa re­marque et ai fini par réal­iser qu’il fal­lait com­plètement changer de point de vue. En se con­centrant sur le théorème de Fu­bini, on par­venait à don­ner à notre résul­tat une forme plus générale, et sur­tout la démon­stra­tion de­venait limp­ide. Ain­si, partant d’une re­marque très simple, en l’oc­cur­rence un banal sujet d’ex­a­men, en démont­ant le mécan­isme afin d’en mieux com­pren­dre tous les ressorts, en cher­chant à général­iser, et en se lais­sant guider par une petite mu­sique intérieure, on abou­tis­sait à un joli résul­tat nou­veau.

Marc avait une in­sa­ti­able curi­os­ité mathématique, doublée d’une ca­pa­cité de trav­ail hors du com­mun, et pour lui, la petite mu­sique intérieure était une sym­phonie.