Celebratio Mathematica

À Al­bert Camus (1913–1960) qui nous a ap­porté son espérance, con­di­tionnée de soleil.

Mal­gré le (ou peut être à cause du) rôle des précurseurs géni­aux al­lant de Blaise Pas­cal à Paul Lévy en France, les prob­ab­ilités ont mis quelque temps — euphémisme! — à y être re­con­nues comme sous-dis­cip­line mathématique à part entière.

Au cours du derni­er demi-siècle (1960–2010), il a fallu que des prob­ab­il­istes émin­ents, à la suite — in­dir­ecte­ment — de l’ax­io­mat­isa­tion de Kolmogorov montrent que les (ou: la théorie des) prob­ab­ilités sont in­ex­tric­able­ment liées à la théorie de l’intégra­tion (au sens le plus large du ter­me), à la théorie de po­ten­tiel, à l’ana­lyse de Four­i­er, à l’ana­lyse com­plexe, au cal­cul des vari­ations, à la théorie des nombres…pour qu’elles trouvent en­fin droit de cité dans l’Olympe mathématique. A titre d’ex­emple, au Con­grès In­ter­na­tion­al des Mathématiciens de 2006, à la fois les travaux de K. Itô, et de W. Wern­er, se trouvent récom­pensés au plus haut niveau. Cette tend­ance a en­core été con­firmée au CIM 2010 à Hy­dera­bad.

Quit­tons ce niveau pour re­venir “à la base”. Je voudrais montrer ici, en présent­ant une dizaine de mes thèmes de recher­che préférés, com­ment l’étude du mouvement browni­en est en­trelacée avec un cer­tain nombre d’autres ques­tions mathématiques. J’ai écrit cet art­icle de façon un peu in­habituelle (en Mathématiques), espérant ain­si rendre sa lec­ture plus at­tray­ante qu’une tra­di­tion­nelle No­tice de travaux…

(0.a) Pour­quoi un mathématicien trav­aille-t-il sur tel ou tel sujet, plutôt que sur d’autres? Chacun a sa (ou ses) réponse(s), et je voudrais don­ner ici les miennes.

\( (G_1) \) Pour­quoi ça marche? Etant donné un résul­tat \( (R) \), port­ant dis­ons sur le mouvement browni­en, je souhaite com­pren­dre “ce qui fait que ça marche”, autre­ment dit, isoler les pro­priétés du mouvement browni­en qui ser­vent dans la démon­stra­tion de \( (R) \).

Ceci va per­mettre de montrer, par ex­emple, que \( (R) \) est en­core val­able pour une cer­taine classe de mar­tin­gales con­tin­ues.

\( (G_2) \) Con­struc­tions génériques, ap­pli­quées à la tra­jectoire browni­enne. Un pro­ces­sus stochastique, pren­ons en­core le mouvement browni­en, n’est — après tout —  que la fonc­tion con­tin­ue générique \( (f(t),t\geq 0) \) considérée sous (ou: re­l­at­ive­ment à) la mesure de Wien­er \( W(df) \) sur \( \mathcal{C}(\mathbb {R}_+,\mathbb {R}^n) \). Cette mesure confère à \( f \), pr­esque sure­ment, des pro­priétés très par­ticulières, lesquelles per­mettent de considérer “générique­ment” cer­taines con­struc­tions d’ana­lyse ou de géométrie, val­ables pour une large classe de fonc­tions \( f \); on ob­tient ain­si une fonc­tion­nelle \( Q(f) \), définie \( W(df) \) p.s., et souvent — de façon générale en théorie des prob­ab­ilités — notée sim­ple­ment \( Q \). On peut al­ors naturelle­ment se poser la ques­tion: quelle est la loi de \( Q \) sous \( W \)? Par ex­emple: \( Q_1(f)=\int_0^1f^2(t)dt \), \( Q_2(f)=\sup_{t\leq1}|f(t)| \), etc…Quelle est la loi con­jointe de \( (Q_1,Q_2) \) sous \( W \)? Ceci nous amène très naturelle­ment à la généralité suivante.

\( (G_3) \) Cal­culs de lois. Le problème de la déter­min­a­tion de la loi d’une fonc­tion­nelle du mouvement browni­en m’est posé. As­sez rap­idement, ce problème me paraît voisin d’une ou plusieurs autres ques­tions que j’ai déjà traitées. Toute­fois, cela résiste…

Ceci va me fournir une mo­tiv­a­tion as­sez forte pour que je m’ac­croche… Peut-être, plusieurs mois, voire plusieurs années plus tard, ce problème sera-t-il résolu… C’est ain­si que je me suis intéressé au problème des op­tions asi­atiques.

(0.b) D’autres cher­ch­eurs prob­ab­il­istes, dont les travaux con­cernent égale­ment es­sen­ti­elle­ment le mouvement browni­en, sont motivés de façons différentes; citons par ex­emple:

\( (G_4) \) Le mouvement browni­en comme méthode de preuve. Don­ner une démon­stra­tion à l’aide du mouvement browni­en de théorèmes célèbres en ana­lyse et/ou géométrie. Ain­si, B. Dav­is [e21] a ob­tenu une belle démon­stra­tion du grand théorème de Pi­card à l’aide du mouvement browni­en plan; K. Carne [e28] a su ret­rouver les théorèmes fon­da­men­taux de la théorie de Nevan­linna sur les fonc­tions méro­morph­es à l’aide du mouvement browni­en plan, et de considéra­tions sur les mar­tin­gales con­formes.

Le succès de ces deux ap­proches peut s’ex­pli­quer “glob­ale­ment” par le fait que le mouvement browni­en plan \( (Z_t,t \geq 0) \) est tell­e­ment récur­rent que la con­nais­sance de \( \varphi \), fonc­tion méro­morphe donnée, “équivaut” à la con­nais­sance du pro­ces­sus \( (\varphi(Z_t), t\geq0) \).

De même, en géométrie, des résul­tats pure­ment géométriques sur cer­taines variétés \( M \) ont été ret­rouvés en considérant le mouvement browni­en à valeurs dans ces variétés \( M \); là en­core, on peut dire que, en général, le mouvement browni­en à valeurs dans \( M \) va vis­iter “tous les coins et re­coins” de cette variété, et di­vulguer ain­si cer­taines in­form­a­tions sur la géométrie de cette variété.

No­tons que ce point \( (G_4) \) fait partie d’une “philo­soph­ie” plus générale de démon­stra­tions de résul­tats mathématiques à l’aide d’une ap­proche prob­ab­il­iste. Voir l’art­icle de Bruss et Heyvaert [e61] ay­ant pour titre: La méthode prob­ab­il­iste; voir égale­ment le livre de Alon–Erdös–Spen­cer [e33].

\( (G_5) \) Prob­ab­ilités et Physique. Déve­lop­per les problématiques étudiées par cer­tains phys­i­ciens à l’aide des tech­niques d’in­vest­ig­a­tion des prob­ab­ilités, et en par­ticuli­er du mouvement browni­en. Citons, par ex­emple, le pro­gramme de Sy­man­zik (1969) [e9] de théorie con­struct­ive des champs qui suggérait la con­nais­sance et l’util­isa­tion des points mul­tiples du mouvement browni­en plan, pour con­stru­ire des champs avec in­ter­ac­tions non linéaires. Ce pro­gramme a, immédiate­ment (c’est-à-dire avec pub­lic­a­tion dans le livre de Jost–Sy­man­zik [e9]) amené S. Varadhan à prouver un pro­fond résul­tat de renor­m­al­isa­tion d’intégrales doubles du mouvement browni­en plan.

Plus récem­ment, l’étude des ex­posants de non-in­ter­sec­tion pour les “paquets” de tra­jectoires browni­ennes a été déve­loppée au départ par cer­tains phys­i­ciens (dont B. Du­planti­er à Saclay) à l’aide d’ar­gu­ments de grav­ité quantique (voir, par ex­emple, sur un sujet voisin, l’art­icle de Du­planti­er–Shef­field [e62]), puis ces études et résul­tats ont en­suite été re­pris par des prob­ab­il­istes (Lawl­er–Schramm–Wern­er) à l’aide de l’in­vari­ance con­forme du mouvement browni­en plan, men­ant à la découverte et à l’étude des SLE (\( = \) Stochast­ic (ou: Schramm) — Loewn­er — Evol­u­tion Pro­cesses); voir, de façon générale, G. Lawl­er [e53] pour une étude de ces pro­ces­sus.

(0.c) Dans cet art­icle, je présente suc­cincte­ment dix thèmes — cor­res­pond­ant chacun à une sec­tion de l’art­icle — sur lesquels j’ai trav­aillé, et qui il­lustrent les généralités \( (G_i)_{i=1,2,3} \).

A la fin de la dis­cus­sion de chaque thème, fig­urent les références “es­sen­ti­elles” cor­res­pond­antes.

Liste des thèmes:

• Thème \( \sharp \)1 \( (\to(G_1)) \). Re­présen­t­a­tion de mar­tin­gales comme intégrales stochastiques.
• Thème \( \sharp \)2 \( (\to(G_1)) \). Si on re­m­place un temps d’arrêt par un temps quel­conque, la pro­priété \( (P) \) reste-t-elle sat­is­faite?
• Thème \( \sharp \)3 \( (\to(G_1)) \). Jusqu’où un pro­ces­sus peut-il ressem­bler au mouvement browni­en, et néan­moins en être différent?
• Thème \( \sharp \)4 \( (\to(G_1)) \). Jusqu’où une fil­tra­tion peut-elle ressem­bler à la fil­tra­tion browni­enne, et néan­moins en être différente?
• Thème \( \sharp \)5 \( (\to(G_1)) \). De l’équa­tion de Tsirel’son au rôle in­com­plet du mécan­isme d’évo­lu­tion…
• Thème \( \sharp \)6 \( (\to(G_2)) \). Nombres de tours du mouvement browni­en plan.
• Thème \( \sharp \)7 \( (\to(G_2)) \). Mouvement browni­en et valeurs prin­cip­ales.
• Thème \( \sharp \)8 \( (\to(G_3)) \). Sur l’air(e) de Paul Lévy, des fonc­tion­nelles quad­ratiques du mouvement browni­en, et des iden­tités de Ciesiel­ski–Taylor.
• Thème \( \sharp \)9 \( (\to(G_2)) \). Fil­tra­tion des ponts browni­ens, et ef­feuil­lage (ou épluchage) du mouvement Browni­en.
• Thème \( \sharp \)10 \( (\to(G_3)) \). Moy­enne arithmétique du mouvement browni­en géométrique; op­tions asi­atiques; ex­ten­sions ex­po­nen­ti­elles des théorèmes de Lévy et Pit­man.

(Note: Re­marquons que, pour ces 10 thèmes, 5 relèvent de \( (G_1) \), 3 de \( (G_2) \), et 2 de \( (G_3) \).)

(1.a) C’est un résul­tat classique — et im­port­ant — dû à Itô que toute mar­tin­gale \( (M_t) \) par rap­port à la fil­tra­tion naturelle \( (\mathcal{F}_t) \) du mouvement browni­en \( (B_t) \) peut se re­présenter comme: \[ M_t=c+\int_0^tm_sdB_s, \] où \( (m_s,s\geq0) \) est un pro­ces­sus \( (\mathcal{F}_s) \) prévis­ible.

Une démon­stra­tion “stand­ard” de ce résul­tat con­siste à ob­tenir la re­présen­t­a­tion comme intégrale stochastique pour les mar­tin­gales ex­po­nen­ti­elles: \[ \mathcal{E}^f_t=\exp\biggl( \int_0^tf(s)dB_s-\frac{1}{2}\int_0^tf^2(s)\,ds \biggr), \] pour \( f\in L^2_\textrm{loc}(\mathbb R_+;ds) \). On ob­tient grâce à la for­mule d’Itô: \[\mathcal{E}_t^f=1+\int_0^t\mathcal{E}_s^ff(s)dB_s.\] En­suite, on util­ise un ar­gu­ment de dens­ité de l’es­pace vec­tor­i­el en­gendré par ces mar­tin­gales.

(1.b) C’est en­suite Del­lacher­ie [e14] qui re­marque que la loi \( W \) — la mesure de Wien­er — est ex­trêmale parmi les lois de mar­tin­gales, et que cette pro­priété per­met de démontrer la pro­priété de re­présen­t­a­tion des mar­tin­gales browni­ennes. Del­lacher­ie in­dique égale­ment que son ar­gu­ment vaut aus­si pour la loi du pro­ces­sus de Pois­son re­centré (on dit souvent: com­pensé).

(1.c) En­suite, Ch. Yoeurp, J. Jac­od ([e20], [e17]) et moi-même (Thèse; 1976) ap­por­tons chacun des résul­tats partiels à cette ques­tion, pour, fi­nale­ment, aboutir au résul­tat suivant.

L’ar­gu­ment clé est le fait que l’es­pace dual de \( H^1(P) \) soit \( \mathrm{BMO}(P) \), et que toute mar­tin­gale de \( \mathrm{BMO}(P) \) soit loc­ale­ment bornée.

(1.d) Une ap­proche sans fil­tra­tion.
Il me semble me souven­ir, qu’après avoir ra­conté le théorème 1.1 à G. Mokobodzki, il m’avait sig­nalé que le théorème suivant, qu’il at­tribuait à R. Douglas [e8] lui semblait ap­par­enté à ce théorème 1.1.

En fait, bi­en av­ant Douglas, ce théorème avait déjà été ob­tenu par Naïmark [e1]. Là en­core, le point clé est que le dual de \( L^1(P) \) est \( L^\infty(P) \).

On peut réduire la démon­stra­tion du théorème 1.1 à celle du théorème 1.2 en pren­ant pour \( f_i \) dans le cadre du théorème 1.1 les vari­ables: \[1_{\Gamma_s}(X_t-X_s)\] pour \( \Gamma_s\in\mathcal{F}_s \), et \( s < t \), et \( c_i=0 \).

G. Mokobodzki m’a en­suite aidé à montrer com­ment pass­er d’une con­ver­gence dans \( L^1 \) pour une suite à une con­ver­gence dans \( H^1 \) pour une sous-suite, ce qui m’a per­mis de don­ner en [2] une autre démon­stra­tion du théorème 1.1 ci-des­sus.

(2.a) Je donne tout d’abord deux ex­emples de pro­priété \( (P) \) pour lesquelles je me suis posé la ques­tion ci-des­sus:

\( (P1) \) D’après Burk­hold­er–Dav­is–Gundy, pour tout \( p > 0 \), il ex­iste deux con­stantes uni­versell­es \( 0 < c_p < C_p < \infty \) tell­es que: pour tout temps d’arrêt \( T \) de la fil­tra­tion naturelle de \( (B_t) \) (plus générale­ment, de toute fil­tra­tion \( (\mathcal{F}_t) \) pour laquelle \( (B_t) \) est un \( (\mathcal{F}_t) \) mouvement browni­en) on ait: \[c_pE[(T)^{p/2}]\leq E(\sup_{s\leq T}|B_s|^p)\leq C_pE[(T)^{p/2}].\]

\( (P2) \) Si l’on arrête le \( (\mathcal{F}_t) \)-mouvement browni­en \( (B_t) \) en un temps d’arrêt \( T \) de la fil­tra­tion \( (\mathcal{F}_t) \), al­ors \( (B_{t\wedge T})_{ t\geq0} \) reste une mar­tin­gale.

Re­marque im­port­ante: la re­présen­t­a­tion de Dub­bins–Schwarz de toute mar­tin­gale loc­ale con­tin­ue \( (M_t, t\geq~0) \) comme: \( (B_{\langle M\rangle_t}, t\geq0) \), avec \( B \) mouvement browni­en, per­met de for­muler \( (P1) \) de façon ap­par­em­ment plus générale, \( T \) étant main­ten­ant re­m­placée par \( \langle M\rangle_\infty \) et \( \sup_{t\leq T}|B_t| \) par \( \sup|M_t| \); de même pour \( (P2) \), re­m­pla­cer \( (B_{t\wedge T}) \) par \( (M_{t\wedge S}) \) pour tout temps d’arrêt \( S \).

(2.b) Que devi­ennent \( (P1) \) et \( (P2) \) lor­sque l’on re­m­place \( T \) par un temps quel­conque \( L \), c’est-à-dire une vari­able aléatoire pos­it­ive, mesur­able seule­ment par rap­port à \( \mathcal{F}_\infty \)?

(2.b.1) On peut montrer, en toute généralité, que \( (B_{t\wedge L})_{ t\geq0} \) reste une se­mi­martin­gale dans la plus petite fil­tra­tion, souvent notée \( (\mathcal{F}^L_t)_{ t\geq0} \), qui con­tienne \( (\mathcal{F}_t)_{ t\geq0} \), et fasse de \( L \) un temps d’arrêt.

Par contre, \( (B_t,t\geq0) \) n’est pas en général une \( (\mathcal{F}^L_t) \) se­mi­martin­gale. Pour qu’il en soit ain­si, il est suf­f­is­ant que \( L \) soit la fin d’un en­semble prévis­ible \( \Gamma \), i.e: \[L=\sup\{t\geq0:(t,\omega)\in\Gamma\}.\]

(2.b.2) On peut exprimer la décom­pos­i­tion can­o­nique de \( (B_{t\wedge L})_{ t\geq0} \) dans la fil­tra­tion \( (\mathcal{F}^L_t)_{ t\geq0} \) (cf. Réca­pit­u­latif de [11]).

Si \( Z_t^L\overset{\textrm{def}}{=} P(L > t\mid \mathcal{F}_t) \) (: ver­sion con­tin­ue à droite), et \( (M_t^L) \) désigne l’unique mar­tin­gale de \( \mathrm{BMO}((\mathcal{F}_t)) \) telle que: \[E[X_L]=E[X_\infty M_\infty^L],\] pour toute mar­tin­gale bornée \( X \), al­ors, si \( (Y_t, t\geq0) \) est une \( (\mathcal{F}_t) \) mar­tin­gale loc­ale, \[Y_{t\wedge L}-\int_0^{t\wedge L}\frac{d\langle Y,M^L\rangle_s}{Z^L_{s-}}\] est une \( (\mathcal{F}_t^L) \) mar­tin­gale loc­ale.

(2.b.3) Dans le cas par­ticuli­er où \( L \) est la fin d’un en­semble \( (\mathcal{F}_t) \) prévis­ible \( \Gamma \), on peut exprimer la décom­pos­i­tion de \( (B_t) \) comme se­mi­martin­gale dans \( (\mathcal{F}^L_t) \): précisément, si l’on pose (à nou­veau): \[Z_t\equiv Z_t^L=P(L > t\mid \mathcal{F}_t),\] on a: \[B_t=\beta_t+\int_0^{t\wedge L}\frac{d\langle B,Z\rangle_s}{Z_s}+\int_L^t\frac{d\langle B,1-Z\rangle_s}{1-Z_s},\] où \( (\beta_t, t\geq0) \) est un \( (\mathcal{F}_t^L) \) mouvement browni­en.

(2.b.4) A l’aide de la décom­pos­i­tion de \( (B_{t\wedge L}) \) présentée en (2.b.2), on peut main­ten­ant préciser com­ment \( (P1) \) peut être modi­fiée.

Si \( L \) est un temps aléatoire, on lui as­socie, comme ci-des­sus: \[Z_t\equiv Z_t^L=P(L > t\mid \mathcal{F}_t)\quad\textrm{(version continue à droite)}\] et la quant­ité \( I_L=\inf_{s < L}Z_s \), qui véri­fie: \begin{gather} \tag{2.1} \label{eq2.1} \textrm{pour tout }b\in]0,1[,\quad P(I_L < b)\leq P(U\leq b)\equiv b, \\ \textrm{avec égalité lorsque }P(L=T)=0,\quad \textrm{pour tout }(\mathcal{F}_t) \textrm{ temps d’arrêt }T,\nonumber\\ U\textrm{ désigne une variable uniforme sur }[0,1].\nonumber \end{gather}

Al­ors, les inégalités de BDG (que je considère ici seule­ment pour \( p=1 \), pour sim­pli­fi­er la présen­t­a­tion) peuvent être éten­dues comme suit: \begin{eqnarray*} E[\sup_{t\leq L}|B_t|] &\underset{(1)}{\leq}& \mathcal{C}E\biggl[\sqrt{L}\biggl( 1+\log\frac{1}{I_L}\biggr)^{\!\!1/2}\biggr] \\ &\underset{(2)}{\leq}& \mathcal{C}\|\sqrt{L}\|_\phi\biggl\|\biggl( 1+\log\frac{1}{U}\biggr)^{\!\!1/2}\biggr\|_\psi \\ \end{eqnarray*} et \begin{eqnarray*} E[\sqrt{L}] &\underset{(3)}{\leq}& \mathcal{C}E\biggl[(\sup_{t\leq L}|B_t|)\biggl( 1+\log\frac{1}{I_L}\biggr)^{\!\!1/2}\biggr] \\ &\underset{(4)}{\leq}& \mathcal{C}\|\sup_{t\leq L}|B_t|\|_\phi\biggl\|\biggl(1+\log\frac{1}{U}\biggr)^{1/2}\biggr\|_\psi. \end{eqnarray*}

Dans les inégalités ci-des­sus, \( \mathcal{C} \) désigne une con­stante uni­verselle, qui var­ie de ligne en ligne. Re­marquons que les inégalités (1) et (3), lor­sque \( L \) est un \( (\mathcal{F}_t) \) temps d’arrêt sont précisément les inégalités de BDG pour \( p=1 \), puisque al­ors: \( I_L\equiv 1 \), et donc: \( \log(1/I_L)=0 \).

Les inégalités (2) et (4), dans lesquelles fig­urent un couple de fonc­tions de Young con­juguées \( (\phi,\psi) \) sont ob­tenues, à partir de (1) et (3) par ap­plic­a­tion de l’inégalité de Hölder général­isée, et de la dom­in­a­tion stochastique de \( (1/I_L) \) par \( 1/U \), énoncée ci-des­sus en \eqref{eq2.1}.

(2.b.5) Soulignons quelques conséquences des résul­tats précédents:

• On peut re­m­pla­cer le mouvement browni­en \( (B_t, t\geq0) \) par toute mar­tin­gale loc­ale \( (M_t, t\geq0) \), et \( \sqrt{t} \) par \( \sqrt{\langle M\rangle_t} \) grâce à la re­présen­t­a­tion de Du­bins–Schwarz: \( M_t=B_{\langle M\rangle_t}, t\geq0 \).
• Bi­en que les inégalités de BDG, val­ables pour toute mar­tin­gale loc­ale con­tin­ue arrêtée en un temps d’arrêt \( T \), ne s’étendent pas (tout au moins, de façon “immédiate”) lor­sque \( T \) est re­m­placé par un temps quel­conque \( L \), une telle ex­ten­sion est “pr­esque” val­able, au sens où, pour tout \( p > 0 \), et tout \( \varepsilon > 0 \), il ex­iste une con­stante \( C_{p,\varepsilon} \) telle que: \begin{equation}\label{eq2.2} \tag{2.2} \bigl\|\sup_{t\leq L}|M_t|\bigr\|_p\leq C_{p,\varepsilon}\bigl\|\sqrt{\langle M\rangle_L}\bigr\|_{p+\varepsilon} \end{equation} ain­si que: \begin{equation}\label{eq2.3} \tag{2.3} \bigl\|\sqrt{\langle M\rangle_L}\bigr\|_p\leq C_{p,\varepsilon}\bigl\|\sup_{t\leq L}|M_t|\bigr\|_{p+\varepsilon}. \end{equation}

Ces inégalités décou­lent aisément des (vari­antes des) inégalités (2) et (4) présentées en (2.b.4), et ap­pli­quées avec des fonc­tions puis­sance \( \psi \).

En [8], et [12], Bis­mut et Yor, puis Bar­low, Jacka et Yor, montrent qu’il n’est pas néces­saire d’util­iser des ar­gu­ments de grossisse­ment de fil­tra­tion pour ob­tenir \eqref{eq2.2} et \eqref{eq2.3}, mais, que l’on peut, peut être de façon plus dir­ecte, ap­pli­quer le critère de Kolmogorov “bi­en com­pris”, ou de façon plus raffinée, les inégalités de Gar­sia–Ro­demich–Rum­sey. Voir Stroock–Varadhan [e19] pour l’ex­posé de ces inégalités, et de cer­taines de leurs conséquences.

(3.a) De façon as­sez éton­nante (?), on peut al­ler très loin dans la con­struc­tion d’avatars du mouvement browni­en, qui lui soi­ent néan­moins différents. Je vais en don­ner plusieurs ex­emples.

(3.b) H. Föllmer, C.T. Wu et moi-même avons mon­tré en [34] que, pour n’im­porte quel en­ti­er \( k\in\mathbb{N} \), il ex­iste une loi (en fait, une in­fin­ité de lois) de prob­ab­ilité \( \widetilde{W} \) sur \( C([0,1];\mathbb R) \), équi­val­ente à la mesure de Wien­er \( W \) telle que sous \( \widetilde{W} \), le pro­ces­sus can­o­nique \( (X_t,t\leq1) \) ait mêmes mar­ginales de rang \( k \) que sous \( W \); c’est-à-dire, pour tous \( 0\leq t_1\leq t_2\leq\dots\leq t_k\leq1 \), la loi de \( (X_{t_1},\dots,X_{t_k}) \) sous \( \widetilde{W} \) est la même que celle du vec­teur \( (B_{t_1},\dots,B_{t_k}) \) re­latif au mouvement browni­en \( B \). Le trav­ail [34] répondait à la ques­tion de Stoy­an­ov [e47] (p. 316), qui po­sa­it la ques­tion pour \( k=4 \).

(3.c) Puisque \( \widetilde{W} \) est équi­val­ente à \( W \), le pro­ces­sus \( (X_t,t\leq1) \) n’est pas une mar­tin­gale sous \( \widetilde{W} \). On peut néan­moins se poser la ques­tion suivante: ex­iste-t-il une mar­tin­gale con­tin­ue qui ad­mette les mar­ginales de rang 1 du mouvement browni­en? La réponse est: Oui, ain­si que cela a été démon­tré par Al­bin [e56] récem­ment, en s’ap­puyant sur la for­mule de du­plic­a­tion de la fonc­tion \( \Gamma \), qui mène à cer­taines fac­tor­isa­tions d’une vari­able gaussi­enne, i.e: \[ N\overset{\textrm{(loi)}}{=}X_1X_2Y,\] avec \( X_1,X_2 \) iid, et \( Y \) indépendante de \( (X_1,X_2) \).

Voir égale­ment Baker, Donati–Mar­tin, Yor [47] qui utilis­ent la for­mule de mul­ti­plic­a­tion de la fonc­tion \( \Gamma \), et déve­lop­pent ain­si la méthode de Al­bin en ex­ploit­ant: \[ N\overset{\textrm{(loi)}}{=}X_1\dots X_{n+1}Y_n,\] avec \( X_1,\dots,X_{n+1} \), iid, indépendantes de \( Y_n \).

Il ex­iste aus­si des mar­tin­gales dis­con­tin­ues qui ad­mettent les mar­ginales de rang 1 du mouvement browni­en. Voir, par ex­emple, Madan–Yor [37].

(3.d) Plus générale­ment (que dans la dernière phrase ci-des­sus), si un pro­ces­sus \( (\pi_t, t\geq0) \) ad­met les mêmes mar­ginales de rang 1 qu’une mar­tin­gale, al­ors: \( (\pi_t, t\geq0) \) est crois­sant pour l’or­dre con­vexe. La réciproque est égale­ment vraie et est due à H. Keller­er [e11], à la suite des travaux de Strassen, Doob, Mey­er…

Une étude systématique de ces pro­ces­sus \( (\pi_t, t\geq0) \), et des mar­tin­gales as­sociées est faite en [48]; cette étude montre — es­sen­ti­elle­ment à l’aide d’ex­emples — com­bi­en la con­nais­sance des mar­ginales de rang 1 d’un pro­ces­sus ren­sei­gne peu sur la loi “com­plète” de ce pro­ces­sus.

(4.a) L’école prob­ab­il­iste de Stras­bourg a mis l’ac­cent, de façon ex­trêmement ap­puyée, sur les pro­priétés de la fil­tra­tion, ou des fil­tra­tions, de référence, avec lesquelles on trav­aille dans un con­texte donné. Ain­si, à un pro­ces­sus \( (Y_s,s\geq0) \) donné (par sa loi, par ex­emple), on as­socie sa fil­tra­tion naturelle \( (\mathcal{Y}_s,s\geq0) \); il s’agit là d’un in­vari­ant as­sez simple: deux pro­ces­sus \( (Y_s,s\geq0) \) et \( (Z_s,s\geq0) \) peuvent être as­sez différents et néan­moins avoir même fil­tra­tion naturelle…

(4.b) Pour un cher­ch­eur en Prob­ab­ilités qui trav­aille es­sen­ti­elle­ment sur le mouvement browni­en, la ques­tion suivante se pose al­ors, de façon naturelle: si \( (\mathcal{F}_s,s\geq0) \) est une fil­tra­tion donnée sur un es­pace de prob­ab­ilité, est-elle la fil­tra­tion naturelle d’un mouvement browni­en? On dira al­ors que cette fil­tra­tion est une fil­tra­tion browni­enne forte (FBF).

(4.c) Fil­tra­tion browni­enne faible (FBf).
On dira qu’une fil­tra­tion \( (\mathcal{F}_t) \) sur un es­pace de prob­ab­ilité est une FBf s’il ex­iste un \( (\mathcal{F}_t) \) mouvement browni­en \( (\beta_t, t\geq0) \) tel que toute \( (\mathcal{F}_t) \) mar­tin­gale \( (M_t,t\geq0) \) puisse s’écri­re comme: \[M_t=c+\int_0^tm_sd\beta_s,\quad t\geq0,\] où \( (m_s,s\geq0) \) est un cer­tain pro­ces­sus (\( \mathcal{F}_s \)) prévis­ible.

Bi­en sûr, on ne de­mande pas que la fil­tra­tion naturelle de \( \beta \) soit égale à \( (\mathcal{F}_t) \), auquel cas \( (\mathcal{F}_t) \) serait une FBF.

(4.d) Quelques ex­emples de (FBf).

(4.d.1) La fil­tra­tion naturelle du pro­ces­sus des co­or­données sur l’es­pace can­o­nique \( \mathcal{C}(\mathbb R_+,\mathbb R) \), sous toute prob­ab­ilité \( Q \) (loc­ale­ment) équi­val­ente à la mesure de Wien­er \( W \). Pour la preuve détaillée de ce résul­tat, voir [51].

(4.d.2) La fil­tra­tion \( (\mathcal{B}_{\tau_t})_{ t\geq0} \), ob­tenue par change­ment de temps \( (\tau_t, t\geq0) \), con­tinu, stricte­ment crois­sant, bijec­tif de \( \mathbb R_+ \) sur lui-même, à partir de la fil­tra­tion browni­enne \( (\mathcal{B}_u,u\geq0) \).

(4.d.3) La fil­tra­tion naturelle de l’araignée browni­enne \( (\mathcal{A}_t, t\geq0) \) à \( N \) branches, c’est-à-dire un pro­ces­sus qui évolue sur l’uni­on de \( N \) 1/2-droites con­cour­antes en un point 0, qui se com­porte comme un mouvement browni­en sur chaque branche hors de 0, et qui chois­it sa branche avec, dis­ons, prob­ab­ilité \( (1/N) \) lor­squ’elle ar­rive en 0 (plus générale­ment, ce choix des branches peut être fait avec la prob­ab­ilité \( (p_1,\dots,p_N) \) sur \( \{1,2,\dots,N\} \)). Cette de­scrip­tion, dûe à J. Walsh [e18], est très in­formelle, mais peut-être ren­due tout à fait rigoureuse (cf. Bar­low–Pit­man–Yor [18]).

(4.e) B. Tsirel’son [e45] a établi que pour tout \( N\geq3 \), la fil­tra­tion \( (\mathcal{A}_t, t\geq0) \) de l’araignée browni­enne à \( N \) branches est faible, et n’est pas forte. Ce résul­tat avait été con­jec­turé — mais pas établi! — en [18].

(4.f) On peut — a pos­teri­ori — com­pren­dre as­sez sim­ple­ment pour­quoi, pour \( N\geq3 \), cette fil­tra­tion \( (\mathcal{A}_t)_{ t\geq0} \) est faible, et pas forte: en ef­fet, une con­jec­ture de M. Bar­low rap­pelée en [18], bi­en av­ant la pub­lic­a­tion [e45] de Tsirel’son, était que si \( (\mathcal{F}_t) \) est une \( FBF \), et si \( L \) est la fin d’un en­semble \( (\mathcal{F}_t) \) prévis­ible, al­ors \( \mathcal{F}_{L^+} \) le fu­tur immédiat jusqu’en (ou juste après) \( L \), ne peut différer du passé strict \( \mathcal{F}_{L^-} \), av­ant \( L \), que par l’ad­jonc­tion d’un en­semble, au plus. Or, pour \( (\mathcal{A}^N_t) \), avec \( N\geq3 \), et \( L\equiv g=\sup\{s\leq1;A_s=0\} \), il faut ad­joindre à \( (\mathcal{A}^N_{g-}) \) les en­sembles: \( \{A_1\in I_1\} \), \( \{A_1\in I_2\} \), \( \{A_1\in I_{n-1}\} \) pour ob­tenir \( (\mathcal{A}^N_{g+}) \). D’autre part, les ar­gu­ments déve­loppés par Tsirel’son en [e45], con­ven­able­ment sim­pli­fiés et général­isés en [30] étab­lis­sent la valid­ité de la con­jec­ture de Bar­low. En conséquence, pour \( N\geq3 \), \( (\mathcal{A}^N_t) \) est une \( FBf \).

Par ail­leurs, les auteurs de [e41] ont mon­tré qu’il ex­iste une in­fin­ité de lois de prob­ab­ilité \( Q \), équi­val­entes à \( W \), tell­es que sous \( Q \), la fil­tra­tion naturelle du pro­ces­sus des co­or­données est faible, et pas forte.

De même, il a été mon­tré en [e49] qu’il ex­iste une in­fin­ité de change­ments de temps \( (\tau_t) \) tels que ceux décrits en (4.d.2) pour lesquels \( (\mathcal{B}_{\tau_t}) \) est faible, et pas forte.

(4.g) D’autres ex­emples de fil­tra­tions browni­ennes faibles, et pas for­tes. Voir [e41].

(On pour­rait ajouter comme sous-titre — à ne pas pren­dre trop au sérieux! — à ce thème: Du pro­ces­sus “bang bang” au Big Bang…)

Parmi les thèmes sur lesquels j’ai trav­aillé, c’est — avec l’étude des nombres de tours du mouvement browni­en plan — ce­lui qui me fas­cine le plus. A chaque fois que j’y réfléchis à nou­veau, je trouve tou­jours les résul­tats clés aus­si para­doxaux, et ouv­rant la voie à des réflex­ions philo­sophiques. En ef­fet, ce thème révèle des pro­priétés ex­trêmement sur­pren­antes (“mind-bog­gling” a écrit D. Wil­li­ams!) Voici ce dont il s’agit.

(5.a) L’équa­tion de Tsirel’son.
L’un des ob­jec­tifs d’Itô, en con­stru­is­ant l’intégrale stochastique, dis­ons, pour sim­pli­fi­er, d’un pro­ces­sus prévis­ible \( (H_s) \) par rap­port à un mouvement Browni­en \( (B_s) \): \[\int_0^tH_sdB_s,t\geq0,\quad \textrm{lorsque: pour tout }t < \infty\quad \int_0^tH^2_s\,ds < \infty,Pp.s.,\] était de déve­lop­per l’étude des équa­tions différen­ti­elles stochastiques: \begin{equation}\label{eq22.1} \tag{5.1} X_t=x+\int_0^t\sigma(X_s)dB_s+\int_0^tb(X_s)\,ds. \end{equation}

En ef­fet, Itô a mon­tré:

• d’une part, que l’ar­gu­ment du point fixe de Pi­card pour les équa­tions différen­ti­elles or­din­aires à coef­fi­cients lipschit­zi­ens s’ap­plique, mu­tatis mutandis lor­sque \( \sigma \) et \( b \) sont lipschit­zi­ens;
• d’autre part, et en conséquence, que \eqref{eq22.1} per­met de con­stru­ire un pro­ces­sus de dif­fu­sion de coef­fi­cients \( \sigma \) et \( b \), sous cette con­di­tion de Lipschitz.

  Il a fallu at­tendre les années 70 pour s’aper­ce­voir que la présence du mouvement browni­en en \eqref{eq22.1} per­mettait d’ob­tenir ex­ist­ence et uni­cité des solu­tions, lor­sque, par ex­emple, \( \sigma\equiv1 \), et \( b \) est seule­ment boréli­enne bornée. Ce résul­tat est dû à Zvonkin (1974); par ex­emple, lor­sque \( b(x)=-\lambda\operatorname{sgn}(x) \), avec \( \lambda > 0 \), on ob­tient ain­si le pro­ces­sus dit “bang-bang” de paramètre \( \lambda \), rap­pelé vers l’ori­gine dès qu’il s’en éloigne.

De plus, même dans cette situ­ation “irrégulière”, le pro­ces­sus solu­tion de: \begin{equation}\label{eq22.2} \tag{5.2} X_t=x+B_t+\int_0^tb(X_s)\,ds \end{equation} est ob­tenu de façon mesur­able et ad­aptée comme fonc­tion de \( B \), (on dit que \( (X_t) \) est solu­tion forte) au sens où: \[X_t=F_x(B_s;s\leq t),\quad t\geq0,\] avec \( (F_x) \) fa­mille mesur­able en \( x \) de fonc­tion­nelles définies sur \( C([0,t];\mathbb R) \).

La ques­tion a en­suite été posée, par A. Shiry­aev, de sa­voir si cette pro­priété de solu­tion forte de­meurait vraie lor­sque en \eqref{eq22.2}, la fonc­tion \( b(x) \), ou plutôt le pro­ces­sus \( b(X_s) \), est re­m­placé, en toute généralité, par une fonc­tion­nelle bornée \[\beta(X_u;u\leq s).\]

Très rap­idement, B. Tsirel’son a ap­porté un contre-ex­emple avec la fonc­tion­nelle: \begin{eqnarray} \beta(X_u;u\leq s) &=& T(X_u;u\leq s)\nonumber \\ \tag{5.3} &=& \sum_{k\in-\mathbb{N}}\biggl\{\frac{X_{t_k}-X_{t_{k-1}}}{t_k-t_{k-1}}\biggr\}1_{]t_k,t_{k+1}]}(s), \label{eq22.3} \end{eqnarray} où \( {x} \) désigne la partie frac­tion­naire de \( x \) et \( t_k\downarrow0 \) lor­sque \( k\downarrow-\infty \).

Le théorème 5.1 ci-des­sous exprime précisément que \( X \) ne peut être con­stru­it en fonc­tion de \( B \) seule­ment.

Ce résul­tat m’ay­ant ex­trêmement in­trigué, j’ai cherché à com­pren­dre quelles pro­priétés du mouvement browni­en étaient réelle­ment en jeu. En fait, re­l­at­ive­ment peu! On se rend vite compte que pour com­pren­dre l’équa­tion de Tsirel’son: \begin{equation} \label{eq22.4} \tag{5.4} X_t=B_t+\int_0^tT(X_u;u\leq s)\,ds \end{equation} il suf­fit d’en com­pren­dre son sque­lette dis­cret: \begin{equation}\label{eq22.5} \tag{5.5} \frac{X_{t_{k+1}}-X_{t_k}}{t_{k+1}-t_k}=\frac{B_{t_{k+1}}-B_{t_k}}{(t_{k+1}-t_k)}+\biggl\{\frac{X_{t_k}-X_{t_{k-1}}}{t_k-t_{k-1}}\biggr\}, \end{equation} et il est donc naturel d’étud­i­er les pro­priétés de l’équa­tion: \begin{equation}\label{eq22.6} \tag{5.6} \eta_{k+1}=\xi_{k+1}+\{\eta_k\},\quad k\in-\mathbb{N}, \end{equation} où les vari­ables \( {(\xi_k)}_{k\in-\mathbb{N}} \) sont indépendantes, et de loi donnée pour tout \( k \) (pas néces­saire­ment la même loi). Les pro­priétés de cette équa­tion, in­dexée par \( -\mathbb{N} \), sont décrites dans le théorème 5.2.

(5.b) Énoncés des théorèmes 5.1 et 5.2.

Pour présenter les différents cas pos­sibles con­cernant l’équa­tion \eqref{eq22.6}, il nous faut in­troduire les nota­tions et prélim­in­aires suivants.

No­tons \( \mu_k \) la loi de \( \xi_k \), pour \( k\in -\mathbb{N} \), et \( \mu=(\mu_k)_{k\in -\mathbb{N}} \). In­troduis­ons le sous en­semble de \( \mathbb{Z} \): \[\mathbb{Z}_\mu=\biggl\{p\in\mathbb{Z}\textrm{; il existe }k \textrm{ tel que: }\Pi_{j\leq k}\biggl|\int\exp(2i\pi px)\mu_j(dx)\biggr| > 0\biggr\}.\] D’après [24], \( \mathbb{Z}_\mu \) est un sous groupe de \( \mathbb{Z} \), et il ex­iste donc un unique en­ti­er \( p_\mu\geq0 \) tel que: \( \mathbb{Z}_\mu=p_\mu\mathbb{Z} \).

(5.c) Déve­lop­pe­ments du thème, re­la­tions avec le thème 4.
D’après le théorème 5.1 l’équa­tion \eqref{eq22.4} jouit de l’uni­cité en loi, mais la fil­tra­tion naturelle de \( B \) est stricte­ment con­tenue dans celle de \( X \). En util­is­ant la ter­min­o­lo­gie du Thème 4, la fil­tra­tion de \( X \) est une fil­tra­tion browni­enne faible (\( FBf \)).

Toute­fois, Emery et Schach­er­may­er [e50] ont mon­tré que c’est une \( FBF \): il ex­iste un mouvement browni­en \( \widetilde{B} \) qui en­gendre précisément la fil­tra­tion de \( X \).

(5.d) Résolu­tion et dis­cus­sion des équa­tions \eqref{eq22.4} et \eqref{eq22.6}.

(5.d.1) Résolvons tout d’abord l’équa­tion \eqref{eq22.4}, en com­mençant par \eqref{eq22.5}. Po­sons: \[\mathcal{N}_k=\biggl\{\frac{X_{t_k}-X_{t_{k-1}}}{t_k-t_{k-1}}\biggr\}\quad\text{et}\quad\xi_k=\frac{B_{t_k}-B_{t_{k-1}}}{t_k-t_{k-1}}.\] On voit, d’après \eqref{eq22.5}, que l’on a: \begin{equation}\label{eq5.7} \tag{5.7} \exp(2i\pi\mathcal{N}_{k+1})=\exp(2i\pi\xi_{k+1})\exp(2i\pi\mathcal{N}_k) \end{equation} qui est une équa­tion (de récur­rence) sur le tore.

Il n’est pas dif­fi­cile de montrer que: pour tout \( p\in\mathbb{Z} \setminus \{0\} \), \[E[\exp(2i\pi p\mathcal{N}_k)]=0,\] puis de ren­for­cer ce résul­tat en: \begin{equation}\label{eq5.8} \tag{5.8} E[\exp(2i\pi p\mathcal{N}_k)|\mathcal{B}]=0, \end{equation} où \( \mathcal{B} \) désigne la tribu (glob­ale) en­gendrée par le mouvement browni­en. Ain­si, d’après \eqref{eq5.8}, \( \mathcal{N}_k \) est uni­formément dis­tribuée sur \( [0,1] \), et indépendante de \( \mathcal{B} \).

(5.d.2) Dis­cutons main­ten­ant de l’équa­tion \eqref{eq22.6}, ce qui re­vi­ent à démontrer le théorème 5.1. Pour cela (voir [24] pour les détails), on reprend avec soin l’équa­tion de récur­rence \eqref{eq22.5}, puis selon les valeurs de \( p_\mu \), on par­vi­ent sans trop de dif­fi­cultés à la dis­cus­sion en 3 points (\( = \) tri­cho­tomie) du théorème 5.2.

(5.e) Et­ude sur un groupe com­pact.
En un sens, l’équa­tion \eqref{eq22.6} — qui re­présente la “sque­lette” de l’équa­tion de Tsirel’son \eqref{eq22.4} — est une équa­tion “hy­bride”, avec des vari­ables pren­ant leurs valeurs sur \( \mathbb R \) ou sur le tore… On s’est ra­mené en \eqref{eq5.7} à une équa­tion sur le tore, ce qui a per­mis fi­nale­ment de résoudre l’équa­tion hy­bride \eqref{eq22.6}.

Cette re­marque a amené à considérer de façon générale l’équa­tion: \begin{equation}\label{eq5.9} \tag{5.9} \eta_{k+1}=\xi_{k+1}\eta_k,\quad k\in -\mathbb{N}, \end{equation} sur un groupe com­pact \( G \), où la suite \( (\xi_k)_{k\in -\mathbb{N}} \) re­présent­ant l’évo­lu­tion est con­stituée de vari­ables indépendantes de lois \( \mu_k \) données.

Une dis­cus­sion com­plète de \eqref{eq5.9} a été faite en [e50] et [e55]; in­diquons par ex­emple que toute solu­tion de \eqref{eq5.9} peut être ob­tenue à partir d’une solu­tion ex­trêmale \( (\eta_k^{(0)})_{k\in -\mathbb{N}} \) (parmi l’en­semble des solu­tions — en loi — de \eqref{eq5.9} de la façon suivante: \[(\eta_k)_k\overset{\textrm{(loi)}}{=}(\eta_k^0V)_k,\] où \( V \) est une vari­able à valeurs dans \( G \), indépendante de \( (\eta_k^0) \).

(5.f) Quelques réflex­ions mathématico-philo­sophiques…
Le mouvement browni­en (et son ac­tion), plus générale­ment le bruit blanc \( (\xi_k)_{k\in -\mathbb{N}} \) re­présen­tent l’ac­tion de l’Être suprème (ou de l’évo­lu­tion…util­isez le ter­me que vous préférez…). Pour connaître l’état du monde au­jourd’hui, en l’in­stant \( k \), j’ai accès à l’état du monde dans le passé, c’est-à-dire jusqu’en: \( k-n_k \), \( n_k \) aug­ment­ant avec \( k \), au fur et à mesure des tech­niques mo­d­ernes d’in­vest­ig­a­tion, et aus­si com­ment l’évo­lu­tion a trans­formé cet état, en les in­stants \( k-n_k+1 \), \( k-n_k+2,\dots, k-1 \), pour par­venir jusqu’à l’in­stant \( k \) au­jourd’hui.

Nous avons pu déter­miner tous les cas pos­sibles — c’est l’ob­jet du théorème 5.2 — selon des critères port­ant sur le bruit blanc \( (\xi_k)_{k\in -\mathbb{N}} \). Néan­moins, cette dis­cus­sion ex­haust­ive me laisse tou­jours dans l’ex­pect­at­ive, car je ne sais pas le­quel de ces critères est véri­fié…Dit d’une autre façon: les règles de l’évo­lu­tion au­jourd’hui, en l’in­stant \( k \), ne me sont con­nues qu’entre les in­stants \( (k-n_k) \) et \( k \). Je ne puis donc inférer (au mieux!) que les lois de \( \xi_{k-n_k} \), \( \xi_{k-n_{k+1}}, \dots, \xi_k \), et je ne sais donc pas le­quel des critères sur la suite \( (\xi_j) \) est sat­is­fait.

Cette dis­cus­sion mathématique dans laquelle on es­saie de modéliser “toute l’his­toire” (à pren­dre avec une pincée de mod­estie!) me semble em­blématique: les mathématiques per­mettent de décri­re tous les pos­sibles, mais le mystère des ori­gines reste en­ti­er!

(6.a) Le mouvement browni­en plan \( (Z_t,t\geq0) \), issu de \( z_0\neq0 \), ne vis­ite pr­esque sûre­ment pas le point 0. (On peut bi­en sûr changer le couple \( (z_0,0) \) en \( (a,b) \), avec \( a\neq b \)). Ce résul­tat (de po­lar­ité des points pour \( Z \)) est dû à Paul Lévy, qui, plus générale­ment, a établi l’in­vari­ance con­forme du mouvement browni­en plan (vers 1943); de façon précise, si \( f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} \) est holo­morphe, et non con­stante, il ex­iste al­ors un second mouvement browni­en plan \( (\widehat{Z}_s,s\geq0) \) tel que: \begin{equation}\label{eq6.1} \tag{6.1} f(Z_t)=\widehat{Z}_{\int_0^tdu\,|f^{\prime}(Z_u)|^2},\qquad t\geq0. \end{equation}

Pren­ons par ex­emple \( f(z)=\exp(z) \); al­ors, la for­mule \eqref{eq6.1} devi­ent, en écrivant \( X_t=\mathrm{Re}(Z_t) \): \begin{equation}\label{eq6.2} \tag{6.2} \exp(Z_t)=\widehat{Z}_{\int_0^tdu\,\exp(2X_u)}. \end{equation} Ain­si, le mouvement browni­en plan \( (\widehat{Z}_h,h\geq0) \), issu de \( \widehat{z}=\exp(z_0) \) ne vis­ite pr­esque sûre­ment pas le point 0, puisque \( \widehat{Z} \) peut s’écri­re, à un change­ment de temps près sous forme ex­po­nen­ti­elle: le membre de gauche de \eqref{eq6.2}.

Cette démon­stra­tion lu­mineuse de la po­lar­ité des points pour le mouvement browni­en plan a été donnée par B. Dav­is [e21], qui, dans le même art­icle donne une démon­stra­tion à l’aide du mouvement browni­en plan du “grand théorème de Pi­card”: \( f(\mathbb{C}) \), l’im­age de \( \mathbb{C} \) par \( f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} \), fonc­tion entière, est \( \mathbb{C} \) tout en­ti­er, privé d’un point au plus.

Depuis lors, on ne compte plus les ap­plic­a­tions de la pro­priété d’in­vari­ance con­forme du mouvement browni­en plan, soit pour étab­lir des pro­priétés du mouvement browni­en plan lui-même, ou de pro­ces­sus qui s’y rat­tachent (par ex­emple: les célèbres pro­ces­sus SLE), soit pour don­ner des démon­stra­tions browni­ennes de théorèmes port­ant sur les fonc­tions méro­morph­es (ex­emple: les théorèmes de Nevan­linna, re­vis­ités par K. Carne [e28], et d’autres auteurs: At­suji [e39], [e43], Gruet [e52]).

(6.b) Ven­ons-en main­ten­ant plus précisément au sujet de ce thème: l’étude (en fait asymp­totique, lor­sque \( t\to\infty \)) des nombres de tours de \( (Z_u,u\leq t) \) lor­sque \( Z_0=z_0 \) au­tour d’un nombre fini de points \( (z_1,\dots,z_n) \) avec \( z_i\neq z_j,0\leq i < j\leq n \). On note \( (\theta_t^{z_i}, t\geq0) \) une déter­min­a­tion con­tin­ue du nombre de tours de \( (Z_u,u\leq t) \) lor­sque \( t \) var­ie, au­tour de \( z_i(1\leq i\leq n) \).

Cette étude com­mence en 1958 avec 2 résul­tats ap­par­em­ment très différents.

1. F. Spitzer [e5] montre que: \[ \frac{2}{\log t}\theta_t^{z_i}\underset{t\to\infty}{\overset{\textrm{loi}}{\longrightarrow}}\mathcal{C}_i, \] où \( \mathcal{C}_i \) est une vari­able de Cauchy stand­ard.
2. Har­ris et Rob­bins [e4] montrent que, si \( f:\mathbb{C}\to\mathbb R \) est bornée, à sup­port com­pact (pour sim­pli­fi­er), al­ors: \[ \frac{1}{\log t}\int_0^tds\,f(Z_s)\underset{t\to\infty}{\overset{\textrm{loi}}{\longrightarrow}}\biggl(\frac{\overline{f}}{2\pi}\biggr) \mathcal{E}, \] où \( \mathcal{E} \) désigne une vari­able ex­po­nen­ti­elle, d’espérance 1, et \( \overline{f}=\int dx\,dy\,f(z) \). En fait, ces 2 résul­tats peuvent être présentés con­jointe­ment, ain­si que la con­ver­gence en loi de \[\frac{2}{\log t}(\theta_t^{z_1},\dots,\theta_t^{z_n})\] lor­sque \( t\to\infty \).

Pour ne pas présenter trop rap­idement un résul­tat très glob­al, com­mençons par une étude asymp­totique avec “un point de base”; cf. Mes­su­lan–Yor [7].

(6.c) Ce théorème 6.1 est très loin de présenter une vis­ion glob­ale des résul­tats asymp­totiques port­ant sur les fonc­tion­nelles du mouvement browni­en plan. Il présente, “au con­traire”, en ce qui con­cerne tout au moins l’asymp­totique des nombres de tours, le “début” de l’his­toire dans les années 80; cf. l’art­icle de présen­t­a­tion à mi-course de Pit­man–Yor [9]. Le pan­or­ama plus glob­al, à la fin des années 80, fig­ure dans Pit­man–Yor [17].

No­tons, pour il­lustrer ce derni­er résul­tat que, si tous les \( (\lambda_j) \) sont de même signe, al­ors la fonc­tion ca­ra­ctéristique con­jointe ci-des­sus est égale à: \[\exp\biggl(-\sum^n_{j=1}|\lambda_j|\biggr)\] ce qui pour­rait don­ner l’il­lu­sion que les \( W_j \) sont indépendantes. Il n’en est pas ain­si tou­jours par in­spec­tion de la même fonc­tion ca­ra­ctéristique, cette fois-ci avec un point générique \( (\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb R^n \).

(6.d) Le théorème 6.2 ci-des­sus donne une idée de l’uni­fic­a­tion des théorèmes lim­ites de fonc­tion­nelles du mouvement browni­en plan, i.e: uni­fic­a­tion des théorèmes de Spitzer et Har­ris–Rob­bins (cf. (6.a) ci-des­sus). On trouvera dans Hu–Yor [32] une présen­t­a­tion systématique de cet ef­fort d’uni­fic­a­tion.

(6.e) Le théorème 6.2 ne tient compte que de l’as­pect ho­mo­lo­gique des nombres de tours, c’est-à-dire qu’il ne tient pas compte de la façon dont le “mot” des tours suc­ces­sifs au­tour des différents points s’est formé, c’est-à-dire l’as­pect ho­mo­to­pique. Plusieurs études, pro­fondes et dif­fi­ciles, de cet as­pect ho­mo­to­pique ont été menées (cf. [e26], [e36]).

(6.f) Ces études ap­pro­fon­dies des nombres de tours du mouvement Browni­an plan m’ont per­mis d’abor­der — de façon éton­nante — les études de fonc­tion­nelles ex­po­nen­ti­elles du mouvement browni­en.

(7.a) J’ai dû ap­pren­dre la no­tion de valeur prin­cip­ale au détour d’un ou de plusieurs problèmes en Ter­minale. La pos­sib­ilité de don­ner un sens, pour les intégrales, à: \( (+\infty)-(+\infty) \) m’a vraiment im­pres­sionné, d’autant plus que les quant­ités ain­si con­stru­ites avaient souvent une im­port­ance très par­ticulière (cf. la trans­form­a­tion de Hil­bert sur \( L^2(\mathbb R) \), ap­prise quelques années plus tard).

(7.b) Il n’est donc pas très éton­nant que je me sois en­suite intéressé aux ver­sions browni­ennes de ces valeurs prin­cip­ales; ain­si:

• \( \displaystyle H_t\overset{\textrm{def}}{=}\lim_{\varepsilon\to0}\int_0^t\frac{ds}{B_s}1_{(|B_s|\geq\varepsilon)}, \) où \( (B_s) \) est le mouvement browni­en réel;
• \( \displaystyle\gamma_t\overset{\textrm{def}}{=}\lim_{n\to\infty}\biggl\{\int_0^tds\int_0^sdu\,f_n(B_u-B_s)-\int_0^tds\int_0^sdu\,E[f_n(B_u-B_s)]\biggr\}, \)
  où \( f_n(x) \) \( \equiv n^2f(nx) \), \( n\in\mathbb{N} \), est une ap­prox­im­a­tion de l’iden­tité dans \( \mathbb R^2 \), et \( (B_t,t\geq0) \) désigne ici un mouvement browni­en 2-di­men­sion­nel.

(7.b.1) L’ex­ist­ence de \( (H_t,t\geq0) \) résulte de la régu­lar­ité höldéri­enne des temps lo­c­aux browni­ens; en ef­fet, on a: \begin{equation}\label{eq7.1} \tag{7.1} \int_0^t\frac{ds}{B_s}1_{(|B_s|\geq\varepsilon)}=\int_\varepsilon^\infty\frac{da}{a}(\ell_t^a-\ell_t^{-a}), \end{equation} où \( (\ell_t^a; t\geq0) \) désigne le temps loc­al de \( B \) au niveau \( a \). Il est bi­en con­nu que l’on a, par ex­emple: \begin{equation}\label{eq7.1b} \tag{7.2} \sup_{s\leq t}|\ell_s^a-\ell_s^b|\leq\mathcal{C}_{t,\omega}|a-b|^{\frac{1}{2}-\eta} \end{equation} pour tout \( \eta\in\bigl(0,\frac{1}{2}\bigr) \).

Ain­si, le membre de droite de \eqref{eq7.1} con­verge ab­so­lu­ment, i.e: \[ \int_0^\infty\frac{da}{a}|\ell_t^a-\ell_t^{-a}| < \infty\quad\textrm{Pp.s.} \]

Mon intérêt pour ce “pro­ces­sus de Hil­bert” \( (H_t,t\geq0) \) est la re­marque suivante: considérons \( (\tau_u,u\geq0) \) l’in­verse de \( (\ell_t^0, t\geq0) \), le temps loc­al en 0, c’est-à-dire: \[\tau_u=\inf\{t:\ell_t^0 > u\}.\] Il n’est pas dif­fi­cile de montrer que \( (H_{\tau_u},u\geq0) \) est un pro­ces­sus de Cauchy symétrique.

En­core un peu de trav­ail, et on ob­tient (à l’aide de la théorie des ex­cur­sions par ex­emple), que \( \bigl(\frac{1}{\pi}H_{\tau_u},u\geq0\bigr) \) est un pro­ces­sus de Cauchy stand­ard.

On ne peut al­ors s’empêcher de rap­procher ce résul­tat d’une re­présen­t­a­tion de Spitzer du pro­ces­sus de Cauchy stand­ard, comme \( (\beta_{\tau_u},u\geq0) \) où \( (\beta_s,s\geq0) \) désigne un mouvement browni­en réel indépendant de \( (\tau_u,u\geq0) \). Autre­ment dit, le pro­ces­sus de Hil­bert \( \bigl(\frac{1}{\pi}H_t, t\geq0\bigr) \) a même “trace” sur l’en­semble des zéros du mouvement browni­en \( B \) à partir duquel il est défini qu’un mouvement browni­en \( (\beta_t, t\geq0) \) sup­posé indépendant de \( B \)!

La ques­tion naturelle qui se pose al­ors est: quelle est la loi du pro­ces­sus de Lévy 2-di­men­sion­nel: \begin{equation}\label{eq7.2} \tag{7.3} \biggl(\!\biggl(\frac{1}{\pi}H_{\tau_\ell},\tau_\ell\biggr);\ell\geq0\biggr) \end{equation} dont la première com­posante est un pro­ces­sus de Cauchy, et la seconde un sub­or­din­ateur stable d’in­dice \( (1/2) \)?

Une con­jec­ture naïve, qui per­mettrait d’ex­pli­quer la loi de la première com­posante de \eqref{eq7.2} serait que, con­di­tion­nelle­ment à \( \tau(\ell)=\theta \), \( \frac{1}{\pi}H(\tau(\ell))\equiv\frac{1}{\pi}H(\theta) \) serait une vari­able Gaussi­enne centrée, de vari­ance \( \theta \).

Il n’en est pas du tout ain­si, comme le théorème suivant, ex­trait de [15], le montre.

A l’aide de la théorie des ex­cur­sions d’Itô, on peut pass­er as­sez aisément du résul­tat du théorème \eqref{eq7.1} à une com­préhen­sion de la loi de \( \frac{1}{\pi}H(T_\lambda) \), et même plus générale­ment: \[\biggl(\frac{1}{\pi}H(g_T),\frac{1}{\pi}( H(T)-H(g_T))\!\biggr),\] où \( T_\lambda \), resp: \( T \) est une vari­able ex­po­nen­ti­elle de paramètre \( \lambda \), resp: \( 1/2 \) (pour un paramètre \( \lambda \) quel­conque, util­iser la pro­priété de scal­ing pour se ra­men­er à la valeur \( 1/2 \)), indépendante du mouvement browni­en \( B \), \( g_t=\sup\{s < t:B_s=0\} \).

(7.b.2) Le second résul­tat (ex­ist­ence de \( \gamma_t \)) men­tionné au début de (7.b) est dû à S. Varadhan [e10], qui répondait ain­si, par la négat­ive, à une sug­ges­tion de Sy­man­zik [e10] de con­stru­ire des champs quantiques avec in­ter­ac­tion en “effaçant les points doubles du mouvement browni­en plan”.

(7.c) Ex­ten­sion à cer­tains pro­ces­sus de Lévy.
A la suite de Fitz­sim­mons–Getoor [e34] qui ont étendu les précédents résul­tats de Bi­ane–Yor [15] aux pro­ces­sus de Lévy symétriques, J. Ber­toin ([e42], Chap. 5) supprime même l’hy­pothèse de symétrie, et montre que le théorème 7.1 s’étend, quitte à re­m­pla­cer \( \sqrt{2q} \) dans le membre de droite par \( K(q) \), où \( 1/K(q) \) est l’ex­posant de Laplace de \( (\tau_\ell,\ell\geq0) \). Plus récem­ment, dans sa thèse, F. Cor­d­ero [e58] reprend les cal­culs de Ber­toin dans le cadre des pro­ces­sus de Lévy symétriques stables.

(7.d) Cal­cul stochastique et valeurs prin­cip­ales des temps lo­c­aux browni­ens.
Cet as­pect a été déve­loppé par T. Ya­mada [e44]; (voir aus­si R. Man­suy–M. Yor [28], Chap. 10). La for­mule de Itô–Tana­ka montre que, pour \( \alpha\geq0 \), le pro­ces­sus \( |B_t|^{1+\alpha} \), \( t\geq0 \), est une se­mi­martin­gale, et la même for­mule en exprime la décom­pos­i­tion can­o­nique. Par contre, pour \( \frac{1}{2} < \beta < 1 \), le pro­ces­sus \( |B_t|^\beta \) est seule­ment un pro­ces­sus de Di­rich­let, c’est-à-dire la somme d’une mar­tin­gale loc­ale, et d’un pro­ces­sus à vari­ation quad­ratique nulle. Plus précisément, pour \( \beta=1-\alpha \), avec: \( 0 < \alpha < \frac{1}{2} \), on a: \[ |B_t|^{1-\alpha}=(1-\alpha)\int_0^t|B_s|^{-\alpha}\operatorname{sgn}(B_s)dB_s+\frac{(1-\alpha)(-\alpha)}{2}\textrm{p.v.}\int_0^t\frac{ds}{|B_s|^{1+\alpha}},\] où l’on a noté: \[ \textrm{p.v.}\int_0^t\frac{ds}{|B_s|^{1+\alpha}} \] pour: \[\int_{-\infty}^\infty\frac{db}{|b|^{1+\alpha}}(\ell_t^b-\ell_t^0). \]

Ces valeurs prin­cip­ales ap­par­ais­sent égale­ment naturelle­ment dans l’ex­pres­sion de cer­tains théorèmes lim­ites de fonc­tion­nelles du mouvement browni­en linéaire; voir l’art­icle de Ya­mada [22] pour leur for­mu­la­tion et le détail des preuves.

(8.a) Paul Lévy a défini le pro­ces­sus de l’aire stochastique du mouvement browni­en plan: \( (Z_t= X_t+iY_t, t\geq0) \) comme \[ \mathcal{A}_t= \frac{1}{2}\int_0^t(X_sdY_s-Y_sdX_s) \] et en a donné la loi, au tra­vers de sa fonc­tion ca­ra­ctéristique (tout au moins, pour \( t \) fixé). Plus précisément, on a: \begin{eqnarray} E[\exp(i\lambda\mathcal{A}_t)|Z_t=z]&=& E\biggl[\exp\biggl(-\frac{\lambda^2}{8}\int_0^tds\,|Z_s|^2\biggr)|Z_t|=|z|\biggr] \nonumber\\ &=& \biggl(\frac{\lambda t/2}{\textrm{sh}(\lambda t/2)}\biggr)\exp\biggl(-\frac{|z|^2}{2t}\biggl(\frac{\lambda t}{2}\coth\biggl(\frac{\lambda t}{2}\biggr)-1\biggr)\!\biggr) \label{eq8.1} \tag{8.1} \end{eqnarray} la première égalité découlant de l’in­vari­ance de la loi de \( (Z_u,u\geq0) \) par ro­ta­tion, et la seconde iden­tité pouv­ant être ob­tenue par change­ment de prob­ab­ilité (à la Girsan­ov), et ra­men­ant le cal­cul à ce­lui de la loi au temps \( t \) d’un pro­ces­sus d’Orn­stein–Uh­len­beck com­plexe, ce qui est bi­en sûr élémen­taire, celle-ci étant une loi gaussi­enne centrée, dont il suf­fit de cal­culer la vari­ance. Bi­en en­tendu, cette méthode, pour ob­tenir \eqref{eq8.1} diffère de celle d’ori­gine de Paul Lévy [e3] qui util­isait la décom­pos­i­tion en série de \( \int_0^tds\,|Z_s|^2 \) à l’aide d’un ar­gu­ment / déve­lop­pe­ment de Kar­hun­en–Loève.

(8.b) Grâce à la pro­priété d’ad­dit­iv­ité des carrés de pro­ces­sus de Bessel, la for­mule de Paul Lévy \eqref{eq8.1} peut être éten­due comme suit: no­tons \( Q_x^\delta \) (pour \( \delta, x\geq0 \)) la loi d’un carré, issu de \( x \), de pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion \( \delta \), loi considérée sur \( C(\mathbb R_+,\mathbb R_+) \), où \( (X_t) \) est le pro­ces­sus des co­or­données. Al­ors, la pro­priété d’ad­dit­iv­ité, re­marquée par Shiga–Watanabe [e12], s’écrit: \begin{equation}\label{eq8.2} \tag{8.2} Q_x^\delta\ast Q_{x^{\prime}}^{\delta^{\prime}}=Q_{\delta+\delta^{\prime}}^{x+x^{\prime}},(x,x^{\prime},\delta,\delta^{\prime}\geq0) \end{equation} et, pour toute mesure \( \mu(dt) \) sur \( \mathbb R_+ \), telle que: \( \int_0^\infty\mu (dt)(t\vee 1) < \infty \) on a l’iden­tité: \begin{equation}\label{eq8.3} \tag{8.3} Q_x^\delta\biggl(\exp\biggl(-\frac{1}{2}\int\mu(dt)X_t\biggr)\!\biggr)=(\phi_\mu(\infty))^{\delta/2}\exp\biggl(\frac{x}{2}{\phi^{\prime}}_\mu(0+)\!\biggr), \end{equation} où \( \phi_\mu:\mathbb R_+\to\mathbb R_+ \) est l’unique solu­tion décrois­sante de l’équa­tion de Sturm–Li­ouville: \( \phi^{\prime\prime}=\mu\phi \), avec \( \phi(0)=1 \). L’iden­tité \eqref{eq8.3}, pour toute mesure \( \mu(dt)\geq0 \), finie (pour sim­pli­fi­er), et à sup­port com­pact, ca­ra­ctérise la loi \( Q_x^\delta \).

De \eqref{eq8.2}, on déduit que, pour tout \( \delta,x\geq0 \) fixés, \( Q_x^\delta \) est indéfini­ment di­vis­ible; cette fa­mille de prob­ab­ilités ad­met une re­présen­t­a­tion de Lévy–Kh­intchine: \[ Q_x^\delta\biggl(\exp\biggl(-\frac{1}{2}I_\mu(X)\biggr)\!\biggr)=\exp-\int_{C(\mathbb R_+,\mathbb R_+)}(xM(d\omega)+\delta N(d\omega))(1-e^{-\frac{1}{2}I_\mu(\omega)}), \] où, pour sim­pli­fi­er l’écrit­ure, on a noté: \( I_\mu(X)=\int\mu(dt)X_t \); \( I_\mu(\omega)=\int\mu(dt)\omega(t) \). Les théorèmes de Ray–Knight, pour le mouvement browni­en, d’une part, et pour le pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 3 d’autre part, per­mettent d’exprimer \( M \) et \( N \) en ter­mes des temps lo­c­aux browni­ens. Voir Pit­man–Yor [5], qui étud­i­ent, plus générale­ment les prob­ab­ilités \( Q^{\delta,t}_{x\to y} \) des carrés de ponts de Bessel de durée \( t \), is­sus de \( x \) et fin­is­sant en \( y \).

(8.c) Les iden­tités de Ciesiel­ski–Taylor [e6] sont les suivantes: \begin{equation}\label{eq8.4} \tag{8.4} \int_0^\infty ds\,1_{(R_{\delta+2}(s)\leq1)}\overset{\textrm{(loi)}}{=}T_1(R_\delta), \end{equation} où \( (R_\gamma(s),s\geq0) \) désigne un pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion \( \gamma \) issu de 0, et \( T_1(R_\delta)=\inf\{t:R_t=1\} \). Hormis le cas \( \delta=1 \), pour le­quel D. Wil­li­ams a mon­tré que l’on pouv­ait ob­tenir \eqref{eq8.4} comme conséquence du résul­tat de re­tourne­ment li­ant mouvement browni­en, et pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 3, il n’y a pas de démon­stra­tion vraiment lu­mineuse, c’est-à-dire au moy­en d’une trans­form­a­tion tra­ject­or­i­elle ad hoc, qui per­mette d’ob­tenir \eqref{eq8.4} pour \( \delta\neq1 \).

Toute­fois, le désir de com­pren­dre \eqref{eq8.4} avec un min­im­um de cal­culs a per­mis de mettre en évid­ence une “for­mule d’intégra­tion par parties” qui, à son tour, per­met d’ex­pli­quer d’autres “coïncid­ences” du type de celles de \eqref{eq8.4}.

En ef­fet, réécrivons chacun des deux membres de \eqref{eq8.4} comme intégrale des temps lo­c­aux du pro­ces­sus de Bessel cor­res­pond­ant. L’iden­tité \eqref{eq8.4} devi­ent: \begin{equation}\label{eq8.5} \tag{8.5} \int_0^1daL_\infty^a(R_{(\delta+2)}\overset{\textrm{(loi)}}{=}\int_0^1daL^a_{T_1}(R_{(\delta)}). \end{equation}

On se con­vainc immédiate­ment qu’il ne saur­ait y avoir d’iden­tité en loi entre les deux pro­ces­sus \( (L_\infty^a(R_{(\delta+2)}),0\leq a\leq1) \) et \( (L^a_{T_1}(R_{(\delta)}),0\leq a\leq1) \), puisque ce second pro­ces­sus est nul en \( a=1 \), et pas le premi­er.

Par contre, il n’est pas dif­fi­cile d’ob­tenir des théorèmes de Ray–Knight pour les pro­ces­sus \( (L_\infty^a(R_{(\delta+2)}) \), \( a\geq0) \) et \( (L^a_{T_1}(R_{(\delta)}),0\leq a\leq1) \), à l’aide des théorèmes de Ray–Knight pour le mouvement browni­en et le pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 3. Voir [5], [22], pour l’énoncé de ces théorèmes de Ray–Knight pour toutes les di­men­sions \( \delta \). Je ne don­nerai ici les énoncés que pour \( \delta=2 \): \begin{eqnarray*} (L_\infty^a(R^{(2+2)}_\bullet), a\geq0)&\overset{\textrm{(loi)}}{=}&\biggl(\frac{1}{a}|\widetilde{B}_{a^2}|^2,a\geq0\biggr) \end{eqnarray*} et \begin{eqnarray*} (L^a_{T_1}(R_\bullet^{(2)}),0\leq a\leq1)&\overset{\textrm{(loi)}}{=}&\biggl( a|\widetilde{B}_{\log(1/a)}|^2,0\leq a\leq1\biggr) , \end{eqnarray*} où \( (\widetilde{B}_u,u\geq0) \) désigne ici un mouvement browni­en 2-di­men­sion­nel issu de 0. Dans ce cas, l’iden­tité en loi \eqref{eq8.5} est ra­menée à: \begin{equation}\label{eq8.6} \tag{8.6} \int_0^1\frac{da}{a}B^2_{a^2}\overset{\textrm{(loi)}}{=}\int_0^12aB^2_{\log(1/a)}da, \end{equation} où \( (B_u,u\geq0) \) désigne main­ten­ant sim­ple­ment un mouvement browni­en réel.

Com­ment com­pren­dre \eqref{eq8.6}? En fait, c’est un cas par­ticuli­er de l’iden­tité en loi suivante, que l’on peut qual­i­fi­er de “for­mule d’intégra­tion par parties”: \begin{equation}\label{eq8.7} \tag{8.7} \int_c^d-df(x)B^2_{g(x)}+f(d)B^2_{g(d)}\overset{\textrm{(loi)}}{=} g(c)B^2_{f(c)}+\int_c^ddg(x)B^2_{f(x)}, \end{equation} où \( f,g:[c,d]\to\mathbb R_+ \) sont deux fonc­tions con­tin­ues, \( f \) étant sup­posée décrois­sante, et \( g \) crois­sante.

\eqref{eq8.6} est bi­en sûr un cas par­ticuli­er de \eqref{eq8.7}, où l’on a pris: \( c=0,d=1 \),  \( f(x)=\log(1/x) \),  \( g(x)=x^2 \).

Fais­ons quelques re­marques à pro­pos de \eqref{eq8.7}: si l’on prend l’espérance de chacun des deux membres de \eqref{eq8.7}, on ob­tient: \[\int_c^d-df(x)g(x)+f(d)g(d)=g(c)f(c)+\int_c^ddg(x)f(x)\] qui est bi­en sûr l’ex­pres­sion de la “for­mule d’intégra­tion par partie” classique c’est-à-dire déter­min­iste. Mais, il est plus re­marquable (et moins évident) que, “derrière l’iden­tité \eqref{eq8.7}”, sont cachées une in­fin­ité d’iden­tités met­tant en jeu les fonc­tions \( f \) et \( g \), ob­tenues en pren­ant les mo­ments d’or­dre \( n \), pour tout \( n\in\mathbb{N} \),  \( n\geq2 \). Ces iden­tités se ramènent égale­ment à des for­mules d’intégra­tion par parties déter­min­istes. Voir Yen–Yor [44].

(9.a) On doit à Paul Lévy (une fois de plus!) la no­tion de mouvement browni­en non-can­o­nique; je pren­drai ici pour défi­ni­tion de cette no­tion, tout mouvement browni­en re­présen­t­able sous la forme: \[ \biggl(\gamma_t=\int_0^th(t,u)d\beta_u, t\geq0\biggr), \] où \( (\beta_s,s\geq0) \) est un mouvement browni­en réel, et \( h:(u < t)\to\mathbb R \) une fonc­tion de deux vari­ables telle que: \( \int_0^th^2(t,u)\,du < \infty \), pour tout \( t \). On de­mande de plus — c’est le ca­ra­ctère “non-can­o­nique” — que la fil­tra­tion naturelle de \( \gamma \) soit stricte­ment con­tenue dans celle de \( \beta \). Une con­di­tion équi­val­ente est, bi­en sûr, que, pour cer­tains \( t \), l’es­pace gaussi­en \( G_t^\gamma \), en­gendré par les vari­ables \( (\gamma_s,s\leq t) \) soit stricte­ment con­tenu dans \( G_t^\beta \), ou en­core, qu’il ex­iste un élément de \( G_t^\beta \), dis­ons: \( \int_0^t\theta(u)d\beta_u \), qui soit or­tho­gon­al à toutes les vari­ables \( (\gamma_s,s\leq t) \).

Le cas par­ticuli­er où \( h(t,u)=\varphi (u/t) \) pour \( \varphi:[0,1]\to\mathbb R \) est spéciale­ment intéress­ant. Il n’est pas dif­fi­cile de montrer que \( \gamma_t^{(\varphi)}\equiv\int_0^t\varphi(u/t) d\beta_u \),  \( t\geq0 \), est un mouvement browni­en si, et seule­ment si \( \int_0^1dv\varphi(xv)\varphi(v)=1(0 < x < 1) \).

(9.b) L’ex­emple de mouvement browni­en non can­o­nique qui m’a le plus intéressé est: \begin{equation}\label{eq9.1} \tag{9.1} \gamma_t=\beta_t-\int_0^t\frac{ds}{s}\beta_s\equiv\int_0^t\biggl( 1-\log\biggl(\frac{t}{s}\biggr)\!\biggr) d\beta_s. \end{equation}

Cet ex­emple ap­par­ait naturelle­ment lors de considéra­tions liées aux ponts du mouvement browni­en \( \beta \).

Plus précisément, considérons la décom­pos­i­tion comme se­mi­martin­gale de \( (\beta_u,u\leq t) \) dans la fil­tra­tion \( \mathcal{F}_u^{(t)}\equiv\mathcal{F}_u^\beta\vee\sigma(\beta_t) \) (: à \( t \) fixé). Il est classique que l’on a: \begin{equation}\label{eq9.2} \tag{9.2} \beta_u=\beta_u^{(t)}+\int_0^uds\frac{\beta_t-\beta_s}{t-s},\quad u\leq t, \end{equation} avec \( (\beta_u^{(t)},u\leq t) \) un \( (\mathcal{F}_u^{(t)}) \) mouvement browni­en.

Si l’on re­tourne \( \beta \) en l’in­stant \( t \), on ob­tient, d’après \eqref{eq9.2}: \[\beta_t-\beta_{(t-u)}=(\beta_t^{(t)}-\beta_{(t-u)}^{(t)})+\int_0^u\frac{dh}{h}(\beta_t-\beta_{(t-h)}).\] Ain­si, on a: \[\widetilde{\beta}_u^{(t)}=\widehat{\beta_u^{(t)}}-\int_0^u\frac{dh}{h}\widetilde{\beta^{(t)}_h},\] où l’on a noté: \( \widetilde{\beta_u^{(t)}}=\beta_t-\beta_{(t-u)} \) et \( \widehat{\beta}_u^{(t)}=\beta_t^{(t)}-\beta_{(t-u)}^{(t)} \). On a donc ain­si “com­pris” pour­quoi la for­mule \eqref{eq9.1} produit un mouvement browni­en \( \gamma \) à partir de \( \beta \). Bi­en sûr, on peut aus­si véri­fi­er “méca­nique­ment” que \( (\gamma_t, t\geq0) \) défini en \eqref{eq9.1} ad­met pour co­v­ari­ance \( t\wedge s \). Mais, l’ex­plic­a­tion ci-des­sus de “l’ap­par­i­tion” de \( \gamma \) me semble bi­en plus intéress­ante!

(9.c) D’autres auteurs (Chitashvili [e29], De­heuvels [e24]) sont aus­si “tombés” sur l’ex­emple \eqref{eq9.1} de mouvement browni­en non-can­o­nique, à la suite de différentes mo­tiv­a­tions. La dis­cus­sion faite en (9.b) ci-des­sus est le point de départ de l’art­icle de Jeulin–Yor [19] lui-même déve­loppé en [25].

(9.d) L’ef­feuil­lage (ou épluchage) dont il est ques­tion dans le titre de ce thème a le sens suivant: in­troduis­ons la trans­form­a­tion \( T \) qui est bi­en définie sur les fonc­tions con­tin­ues \( f:\mathbb R_+\to\mathbb R \) telle que: \[\int_0\frac{ds}{s}|f(s)| < \infty,\] par: \[Tf(t)=f(t)-\int_0^t\frac{ds}{s}f(s).\]

Nous ven­ons de voir que \( T \) préserve la mesure de Wien­er, i.e \( T(W)=W \). Itérons \( T \); on ob­tient al­ors aisément: \[T^n(\beta)_t=\int_0^tP_n\biggl(\log\frac{t}{u}\biggr) d\beta_u,\] où \( P_n \) est le n-ième poly­nome de Laguerre. (Cette re­présen­t­a­tion ex­plique pour­quoi j’ai classé ce thème dans la rub­rique \( (G_2) \): \( T \) en­tre­tient des li­ens étroits avec la b.o.n des poly­nomes de Laguerre \( (P_n) \) dans \( L^2(\mathbb R_+;e^{-x}dx) \)). Si \( \mathcal{T}^{(n)}_t \) désigne l’es­pace gaussi­en en­gendré par \( (T^n(\beta)_s,s\leq t) \), al­ors: \( \mathcal{T}^{(0)}_t \) est la somme dir­ecte de l’es­pace \( \mathcal{T}^{(n)}_t \) et de l’es­pace or­tho­gon­al en­gendré par les vari­ables: \( T^k(\beta)_t;k=0,1,\dots,n-1 \).

La suite des poly­nomes de Laguerre \( (P_n(x),n=0,1,\dots) \) con­stitu­ant une b.o.n. de \( L^2(\mathbb R_+,e^{-x}dx) \), les vari­ables gaussi­ennes \( \{T^k(\beta)_t;k=0,1,\dots\} \) con­stitu­ent une b.o.n. de \( \mathcal{T}^{(0)}_t \). Cet ar­gu­ment montre que \( T \) est un \( K \)-auto­morph­isme…, et a for­tiori, \( T \) est une trans­form­a­tion er­godique de l’es­pace de Wien­er.

(9.e) Re­la­tions avec un théorème de Wid­der.
Un théorème de Wid­der (cf. [e16], Chap IV) af­firme que si une fonc­tion: \( h:\mathbb R_+\times\mathbb R^{d^{\prime}}\to\mathbb R_+ \) est une fonc­tion har­mo­nique es­pace-temps, c’est-à-dire qu’elle sat­is­fait (au moins au sens des dis­tri­bu­tions): \[ \frac{\partial h}{\partial t}+\frac{1}{2}\Delta_xh=0, \] al­ors il ex­iste une mesure finie \( \mu(d\lambda) \) sur \( \mathbb R^d \) telle que: \begin{equation}\label{eq9.2b} \tag{9.3} h(x,t)=\int d\mu(\lambda)\exp\biggl(\lambda\bullet x-\frac{1}{2}|\lambda|^2t\biggr). \end{equation}

Une démon­stra­tion prob­ab­il­iste de ce résul­tat a été, pour l’es­sen­tiel, donnée en ([43], Chap. 1, Theo. 1.3), où le mouvement browni­en \( (T(B)_t, t\geq0) \) joue un rôle aux­ili­aire, mais es­sen­tiel…Voici cet ar­gu­ment.

\( h \) étant har­mo­nique es­pace-temps, le pro­ces­sus \( (h(t,B_t), t\geq0) \) est une mar­tin­gale loc­ale. Ad­mettons que ce soit une mar­tin­gale (il faudrait sa­voir supprimer cette hy­pothèse…). On peut al­ors con­stru­ire une prob­ab­ilité \( W^h \) sur l’es­pace can­o­nique qui sat­is­fasse: \begin{equation}\label{eq9.3} \tag{9.4} W^h_{|\mathcal{F}_t}=h(t,X_t)\bullet W_{|\mathcal{F}_t}, \end{equation} \( W \) désig­nant comme tou­jours la mesure de Wien­er, \( (X_t,t\geq0) \) le pro­ces­sus des co­or­données, et \( \mathcal{F}_t=\sigma\{X_s,s\leq t\} \).

Le pro­ces­sus \( (T(X)_u,u\leq t) \) étant indépendant de \( X_t \), sous \( W \), l’est en­core sous \( W^h \), d’après \eqref{eq9.3}. En conséquence, \( (T(X)_u,u\geq 0) \), sous \( W^h \), est un mouvement browni­en, et sat­is­fait en outre la pro­priété d’indépendance que nous ven­ons de men­tion­ner. Po­sons: \( \beta_t=T(X)_t \), et cher­chons à résoudre: \begin{equation}\label{eq9.4} \tag{9.5} X_t=\beta_t+\int_0^t\frac{ds}{s}X_s,\quad \textrm{sous }W^h. \end{equation}

Re­marquons que, pour \( 0 < s < t \), d’après \eqref{eq9.4}: \begin{equation}\label{eq9.5} \tag{9.6} \frac{X_t}{t}=\frac{X_s}{s}+\int_s^t\frac{d\beta_u}{u}. \end{equation} En conséquence, puisque \( \int^\infty du/u^2 < \infty \), le membre de droite de \eqref{eq9.5} con­verge lor­sque \( t\to\infty \); ain­si, à gauche, on a: \[ Y:=\lim_{t\to\infty}\frac{X_t}{t} \] et on déduit de \eqref{eq9.5} \( X_s=sY+\widehat{\beta}_s \), \( s\geq0 \), où \[ \widehat{\beta}_s=s\int^\infty_s\frac{d\beta_u}{u} \] est en­core un mouvement browni­en.

Ain­si, \( W^h \) est la loi du mouvement browni­en avec drift indépendant \( Y \), dont on note main­ten­ant la loi \( \mu(d\lambda) \) (sur \( \mathbb R^n \)). En conséquence de la re­la­tion d’ab­solue con­tinu­ité de Camer­on–Mar­tin, on a donc: \[W^h_{|\mathcal{F}_t}=\int\mu(d\lambda)\exp\biggl(\lambda\bullet X_t-\frac{|\lambda|^2}{2}t\biggr)\bullet W_{|\mathcal{F}_t}\] et la re­présen­t­a­tion \eqref{eq9.3} s’en­suit.

(9.f) Une autre décom­pos­i­tion du mouvement browni­en, le long des poly­nomes de Le­gendre.
En Décembre 2009, D. Stroock a posé la ques­tion de sa­voir s’il ex­iste un groupe \( (T^u)_{u\in\mathbb R} \) de trans­form­a­tions bi­en définies sur l’es­pace de Wien­er, qui in­ter­pole les puis­sances entières \( (T^n,n\in\mathbb{Z}) \). La réponse à cette ques­tion est pos­it­ive (cf. [50]). Il ne m’est mal­heureuse­ment pas pos­sible de don­ner les détails de la con­struc­tion; hormis le fait que l’on procède ici par trans­form­a­tion de Four­i­er, et que ce trav­ail a quelque par­enté avec ce­lui de Jeulin–Yor [25].

(10.a) Rap­pelons les énoncés classiques des théorèmes de Lévy et Pit­man, qui per­mettent de re­présenter (en loi), re­spect­ive­ment, le mouvement browni­en réfléchi \( (|B_t|, t\geq0) \) et le pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 3 \( (R_t,t\geq0) \) comme com­binais­ons linéaires du mouvement browni­en réel \( (B_t,t\geq0) \) et de son su­prem­um \( (S_t= \sup_{s\leq t}B_s, t\geq0) \).
Précisément:

1. \( (S_t-B_t,S_t; t\geq0)\overset{\textrm{(loi)}}{=}(|B_t|,L_t; t\geq0) \), où \( (L_t,t\geq0) \) désigne le temps loc­al en 0 de \( B \);
2. \( (2S_t-B_t,S_t; t\geq0)\overset{\textrm{(loi)}}{=}(R_t,\mathcal{I}_t\equiv\inf_{s\geq t}R_s; t\geq0) \).

Ces deux théorèmes ad­mettent des ex­ten­sions con­ven­ables lor­sque l’on re­m­place dans les membres de gauche, \( (B_t) \) par \( B_t^\mu\equiv B_t+\mu t \), le mouvement browni­en avec dérive \( \mu \), et \( S_t \) par \( S_t^\mu=\sup_{s\leq t} B_s^\mu \). Voir, par ex­emple, [27].

(10.b) Ces deux théorèmes ad­mettent les vari­antes ex­po­nen­ti­elles suivantes: pour tout \( \lambda\in\mathbb R \), et \( \mu\in\mathbb R \), les pro­ces­sus \begin{equation}\label{eq10.1} \tag{10.1} X^{\lambda,\mu}_t=\exp(-\lambda B_t^\mu)\int_0^t\exp(\lambda B_s^\mu)\,ds,\quad t\geq0, \end{equation} et \begin{equation}\label{eq10.2} \tag{10.2} Z^{\lambda,\mu}_t=\exp(-\lambda B_t^\mu)\int_0^t\exp(2\lambda B_s^\mu)\,ds,\quad t\geq0, \end{equation} sont deux dif­fu­sions réelles, de générat­eurs in­fin­itésimaux re­spec­tifs \( ~^{(1)}\mathcal{L}^{\lambda,\mu} \) et \( ~^{(2)}\mathcal{L}^{\lambda,\mu} \) décrits dans le théorème suivant

A titre d’ex­er­cice, on pourra véri­fi­er d’une part que \( ~^{(2)}\mathcal{L}^{\mu}=~^{(2)}\mathcal{L}^{-\mu} \), à partir des pro­priétés des fonc­tions \( K_\nu \) et d’autre part on pourra cal­culer \( ~^{(2)}\mathcal{L}^{\lambda,\mu} \).

Un résumé as­sez synthétique des ar­gu­ments de démon­stra­tion du théorème 10.1 fig­ure en [38], Sec­tions 5 et 6. Voir égale­ment [40] et [41].

(10.c) Les vari­antes ex­po­nen­ti­elles des théorèmes de Lévy et Pit­man énoncées en (10.b) peuvent en fait être considérées comme des ex­ten­sions de ces théorèmes. En ef­fet, si l’on prend la puis­sance d’or­dre \( 1/\lambda \) des ex­pres­sions fig­ur­ant en \eqref{eq10.1} et \eqref{eq10.2}, et que l’on fait tendre \( \lambda \) vers \( +\infty \), on ob­tient, par ap­plic­a­tion de la méthode de Laplace, que les pro­ces­sus: \( (\exp(S_t^\mu-B_t^\mu); t\geq0) \) d’une part, et \( (\exp(2S_t^\mu-B_t^\mu); t\geq0) \) d’autre part, sont Markovi­ens, et on peut cal­culer leurs générat­eurs in­fin­itésimaux à partir de \( ~^{(1)}\mathcal{L}^{\lambda,\mu} \) et \( ~^{(2)}\mathcal{L}^{\lambda,\mu} \), ret­rouv­ant ain­si les résul­tats énoncés en (10.a).

(10.d) A leur tour, les résul­tats de (10.b) ad­mettent des ex­ten­sions mul­ti­di­men­sion­nelles, qui ont été ob­tenues récem­ment par F. Baudouin et N. O’Con­nell [e63], puis en­core plus pro­fondément par N. O’Con­nell [e65]. (A déve­lop­per).

(11.a) J’aurais voulu présenter un plus grand nombre de mes thèmes de recherches fa­vor­is, mais le temps et mes ca­pa­cités m’en ont empéché. J’espère pouvoir con­tin­uer dans un prochain avenir… Voir [46] pour une première ébauche, qui com­mence avec le thème \( \sharp11 \): Fonc­tion­nelles ex­po­nen­ti­elles de pro­ces­sus de Lévy, con­tinu­ation, dans une autre dir­ec­tion, du thème \( \sharp10 \) ci-des­sus.

(11.b) Les thèmes ex­posés ci-des­sus ne re­présen­tent qu’une in­fime partie des recherches prob­ab­il­istes, même con­centrées sur le mouvement browni­en. Je ren­voie le lec­teur aux mag­ni­fiques art­icles et mono­graph­ies, par ex­emple, de J. Ber­toin, Ph. Bi­ane, J.F. Le Gall et W. Wern­er. Ces 4 auteurs ont d’ail­leurs il­lus­tré la manière propre à chacun d’eux d’ex­ploiter la théorie des ex­cur­sions d’Itô et du cal­cul stochastique d’Itô pour leurs in­vest­ig­a­tions re­spect­ives. Voir [45].

(11.c) Je ter­minerai en­fin par un petit clin d’œil, montrant que l’aura des prob­ab­il­istes peut en­core faire quelques pro­grès dans l’opin­ion pub­lique1 (j’en doute fort au­jourd’hui, avec le déve­lop­pe­ment très pro­fond de la crise fin­ancière). V. Tanase [e59] écrit en ef­fet en page 2 de sa bio­graph­ie de A. Camus: “Quelle faute de goût que de par­ler de vérité et de justice à ceux qui se con­ten­tent d’une mar­tin­gale!”

Lais­sons Camus répon­dre lui-même (cf. [e25], p. 27): “…Car moi aus­si, j’at­tends, je cher­che, j’espère et ne veux point trouver. N’ay­ant pas de vérité, je n’aime pas les grandes allées. Mais j’aime les routes ar­ides, ar­rosées d’espérance.” Cette déclar­a­tion ne re­flète-t-elle pas par­faite­ment notre “con­di­tion de prob­ab­il­iste”?