Celebratio Mathematica

On peut sans ex­agérer dire que Marc Yor a été le spécial­iste des iden­tités en loi. À chaque nou­veau résul­tat, il n’avait de cesse de le réin­ter­préter à l’aide d’autres résul­tats con­nus, de croiser tout cela, dans le but d’en tirer le max­im­um, voulant tou­jours re­présenter les ex­pres­sions étudiées à l’aide de quant­ités liées au mouvement browni­en. Es­say­er de faire un pan­or­ama ex­haus­tif sur ce sujet est im­possible. Nous nous fo­cal­iser­ons donc sur quelques ex­emples, pris tout au long de la carrière de Marc.

Rap­pelons que la loi d’une vari­able aléatoire pos­it­ive \( X \)1 est ca­ra­ctérisée par sa trans­formée de Laplace \( \varphi_X \): \[\varphi_X(\lambda) = \mathbb{E}[ \exp(- \lambda X)], \quad \lambda \geq 0,\] autre­ment dit: \begin{equation} \label{lem} X \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} Y \quad\iff\quad \varphi_X = \varphi_Y. \tag{1.1} \end{equation}

Dans le cal­cul de la trans­formée de Laplace \( \varphi_Y \) d’une vari­able \( Y \), il ar­rive bi­en souvent qu’on trouve une trans­formée de Laplace “con­nue”, dis­ons \( \varphi_X \), d’où l’on déduit immédiate­ment que \begin{equation} \label{=loi} \tag{1.2} X \stackrel{(\mathrm{loi})}= Y. \end{equation} En général, Marc Yor ne se con­ten­tait pas de cette déduc­tion et voulait com­pren­dre plus pro­fondément cette égalité en loi, l’ex­pli­quer (sans pass­er par le cal­cul par­fois fas­ti­dieux des trans­formées de Laplace), voire l’en­richir par une égalité en loi bi(multi)di­men­sion­nelle, qui ouv­ri­rait la voie à d’autres pistes de recher­che… L’autre sens de l’équi­val­ence \eqref{lem} a aus­si été large­ment util­isé dans les travaux de Marc Yor. Si on sait montrer par de jol­is ar­gu­ments prob­ab­il­istes l’égalité en loi entre \( Y \) et \( X \) avec \( X \) de loi con­nue, on ob­tient al­ors la loi de \( Y \), dont le cal­cul dir­ect (par ex­emple via la trans­formée de Laplace) n’était pas forcément aisé.

Nous présen­tons un ex­emple très simple du prin­cipe énoncé en in­tro­duc­tion. Dans les années 1990, l’étude de la fonc­tion­nelle quad­ratique du mouvement browni­en \begin{equation} \label{gravite} \tag{2.3} V = \int_0^1 (B(t) - G)^2 \,dt,\quad \text{avec } G = \int_0^1 B(s) \,ds \end{equation} a reçu l’at­ten­tion de différents groupes de prob­ab­il­istes, en partie motivés par des ap­plic­a­tions à l’étude des polymères en physique (voir par ex­emple [e6]). Dans [3], les auteurs montrent l’égalité en loi suivante: \begin{equation} \label{Fub1} \tag{2.4} V \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} \int_0^1 p^2(s) \,ds \end{equation} où \( p \) est un pont browni­en. Or, la trans­formée de Laplace du membre de droite de \eqref{Fub1} est con­nue depuis les travaux de Lévy (1950): \[\mathbb{E}\biggl[ \exp\biggl( -\lambda \int_0^1 p^2(s) \,ds \biggr)\biggr] = \biggl( \frac{\sqrt{2\lambda}}{\sinh(\sqrt{2\lambda})} \biggr)^{\!1/2},\] d’où l’ob­ten­tion de la trans­formée de Laplace de la loi de \( V \) sans cal­culs.

L’iden­tité en loi \eqref{Fub1} est un cas par­ticuli­er d’une iden­tité en loi générale entre deux fonc­tion­nelles quad­ratiques du mouvement browni­en: pour toute fonc­tion \( f \) de \( L^2([0,1]^2) \), \begin{equation} \label{Fub2} \tag{2.5} \int_0^1 \biggl(\int_0^1 f(u,s) \, dB_s\biggr)^{\!2} \,du \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} \int_0^1 \biggl(\int_0^1 f(s,u) \,dB_s\biggr)^{\!2} \,du. \end{equation} L’iden­tité \eqref{Fub1} s’ob­tient à partir de \eqref{Fub2} pour \( f(u,s) = 1_{s \leq u} - (1-s) \) et l’iden­tité en loi \[ (p(s), s \leq 1) \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} (B_s - sB_1, s \leq 1) .\]

En­fin, ter­minons par la preuve de \eqref{Fub2}. Il suf­fit d’in­troduire un aléa sup­plémen­taire, un second mouvement browni­en \( C \) indépendant de \( B \), et une iden­tité de Fu­bini: p.s. \[ \int_0^1 \biggl(\int_0^1 f(u,s)\, dB_s\biggr) \,dC_u = \int_0^1 \biggl(\int_0^1 f(u,s) \,dC_u\biggr) \,dB_s.\] On iden­ti­fie al­ors les fonc­tions ca­ra­ctéristiques de chacun des deux membres à l’aide des trans­formées de Laplace des deux membres de \eqref{Fub2}.

L’in­tro­duc­tion d’un mouvement browni­en sup­plémen­taire pour ana­lys­er les fonc­tion­nelles quad­ratiques n’est pas sans rappel­er la ”de­vise” de K. Itô (préface de [e4]), que nous repren­ons du livre sur les pea­cocks ([13], p. xviii):

After some time, it be­came my habit, even for fi­nite di­men­sion­al prob­ab­il­ist­ic phe­nom­ena, to look at an in­fin­ite di­men­sion­al re­lated set up, the prop­er­ties of which may il­lu­min­ate/ex­plain those of the fi­nite di­men­sion­al set-up con­sidered pre­vi­ously.

Nous ren­voy­ons à l’art­icle de F. Hirsch et B. Roynette (Théorème 2.2) dans ce volume pour une autre ap­plic­a­tion de ce prin­cipe à l’étude des pea­cocks: l’in­tro­duc­tion d’un drap browni­en per­met de ret­rouver sans cal­culs un résul­tat (tech­nique­ment dif­fi­cile) de Carr et al. sur les op­tions asi­atiques.

Nous ter­minons ce para­graphe par une autre iden­tité en loi entre fonc­tion­nelles quad­ratiques ob­tenue par Shi et Yor [5]: \begin{equation} \label{eqSY} \tag{2.6} V_0 \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} \tfrac{1}{4} (V+ \tilde{V}), \end{equation} où \( V \) et \( \tilde{V} \) sont deux cop­ies indépendantes de loi \( V \) et \( V_0 \) est la fonc­tion­nelle définie en \eqref{gravite} où l’on re­m­place \( B \) par le pont browni­en \( p \). Là en­core, cette iden­tité en loi peut se déduire à partir de cal­culs de trans­formées de Laplace. Shi et Yor en pro­posent une démon­stra­tion simple à l’aide d’une trans­form­a­tion spa­tio-tem­porelle élémen­taire d’un mouvement browni­en plan.

Com­mençons par une petite his­toire. Peu de temps après son re­crute­ment comme pro­fes­seur au LPMA (UP­MC) en 2011, Math­ieu Rosen­baum ren­contre Marc Yor à la bib­lio­thèque du labor­atoire. Ils ne se con­nais­sent pas vraiment. Pour Math­ieu, qui s’intéresse à des problèmes de stat­istique is­sus de la fin­ance, Marc est le spécial­iste que l’on sait du mouvement browni­en, il est un peu in­tim­idé. Il se présente et Marc lui dit immédiate­ment qu’il a des ques­tions de stat­istique à lui poser. Ren­dez-vous est pris pour la se­maine suivante et Math­ieu se met al­ors à trav­ailler sur les problèmes is­sus de l’équa­tion de Tsirelson dont Marc lui a parlé [e9]. Un an plus tard, Math­ieu s’intéresse à une ques­tion de fin­ance où, si \( B \) désigne un mouvement browni­en stand­ard et \( T_{a,1} \) le premi­er temps d’at­teinte des barrières \( (-a,1) \), ap­paraît l’espérance de la vari­able \( T_{a,1}^{-1}\int_0^{T_{a,1}} B_s\, ds \). Cette quant­ité est liée à la valeur in­trinsèque moy­enne d’un ac­tif entre deux change­ments de prix. Les sim­u­la­tions qu’il fait lui font re­marquer qu’une vari­able proche de la précédente, \( X=T_{1}^{-3/2}\int_0^{T_{1}} B_s\, ds \), avec \( T_{1} \) le premi­er temps d’at­teinte de 1, semble centrée. Cepend­ant, il ne par­vi­ent pas à le montrer. Il décide d’en par­ler à Marc, qui ac­cepte évidem­ment de pass­er l’après-midi sur le problème avec lui et lui suggère plusieurs références. Entre-temps, Ro­mu­ald Élie s’est intéressé au problème, et, au début de l’été 2013, Math­ieu Rosen­baum et Ro­mu­ald Élie démontrent, en util­is­ant une ap­proche équa­tion aux dérivées parti­elles, que \( X \) est bi­en d’espérance nulle, en…15 pages très cal­cu­latoires. Math­ieu montre al­ors la démon­stra­tion à Marc. Deux jours plus tard, il a tout relu et tout an­noté: ”votre preuve me paraît juste, mais je ne com­prends pas le phénomène”. Deux se­maines pas­sent et Marc re­vi­ent voir Math­ieu avec une preuve courte et élégante, ac­com­pagnée de co­rol­laires éton­nants, à coup bi­en sûr de pro­ces­sus de Bessel re­tournés, de théorèmes de Ray–Knight, …, en util­is­ant not­am­ment le fait que \[\mathbb{E}\biggl[ T_1^{-3/2} \int_0^{T_1} B_s \, ds\biggr] = \mathbb{E}[T_1^{-1/2} B_{U T_1}], \] où \( U \) désigne une vari­able de loi uni­forme sur \( [0,1] \). Cela donne une pub­lic­a­tion sur le sujet [15], et une fructueuse col­lab­or­a­tion pour ex­pli­quer le résul­tat s’en­suit entre le jeune pro­fes­seur et l’académi­cien à la veille de la re­traite [17], [16], col­lab­or­a­tion bru­tale­ment in­ter­rompue le 9 jan­vi­er 2014.

L’un des résul­tats de ce trav­ail com­mun est le suivant.

Et sa conséquence ([16], Co­rol­lary 1.1), grâce au théorème de Lévy: \[\frac{B_{U T_1}}{\sqrt{T_1} } \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} \frac{L_{U \tau_1} - \vert B_{U \tau_1} \vert }{\sqrt{\tau_1}} \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} \Lambda L_1 - \tfrac{1}{2} \vert B_1 \vert.\] D’où il est immédiat de ret­rouver que \[\mathbb{E}\biggl[ \frac{1}{T_1^{3/2}} \int_0^{T_1} B_s \, ds \biggr] = \mathbb{E} \biggl[ \frac{B_{U T_1}}{\sqrt{T_1}} \biggr] = \mathbb{E} \bigl[ \Lambda L_1 - \tfrac{1}{2} \vert B_1 \vert\bigr] = \mathbb{E} \bigl[ \tfrac{1}{2} L_1 \bigr] - \tfrac{1}{2} \mathbb{E}[\vert B_1 \vert] = 0~!\]

Nous rap­pelons le problème de re­présen­t­a­tion de Skorok­hod.

Soit \( X \) une vari­able aléatoire réelle, intégrable et centrée. Trouver une re­présen­t­a­tion de Skorok­hod de \( X \) con­siste à con­stru­ire un temps d’arrêt \( T \) dans une fil­tra­tion \( {\mathcal F}_t \) dans laquelle \( B \) est un mouvement browni­en, véri­fi­ant

(S1) \( B_T \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} X \),

(S2) \( (B_{t \wedge T}, t \geq 0) \) est une mar­tin­gale uni­formément intégrable.

Cette ques­tion a été posée ini­tiale­ment par Skorok­hod en 1961 (tra­duc­tion anglaise en 1965 [e1]) sous une forme légère­ment différente, dans le but de prouver des prin­cipes d’in­vari­ance pour des marches aléatoires. Il ex­iste de nom­breuses façons de réal­iser un plonge­ment de Skorok­hod. Nous ren­voy­ons à l’art­icle de J. Ob­loj [e8] qui re­cense 21 méthodes dans la littérat­ure pour ce problème et ses ex­ten­sions. Ces méthodes peuvent se séparer en 2 catégor­ies:

• Skorok­hod em­bed­ding (SE): le temps \( T \) est un temps d’arrêt pour la tribu naturelle du mouvement browni­en \( B \) ;
• Ran­dom­ized Skorok­hod em­bed­ding (RSE): \( T \) est un temps d’arrêt par rap­port à une fil­tra­tion élar­gie.

La solu­tion ini­tiale pro­posée par Skorok­hod entre dans le second cas avec l’in­tro­duc­tion d’un aléa extérieur à \( B \).

La première con­tri­bu­tion de Marc Yor à l’étude de ce problème date de 1979 dans un art­icle com­mun avec Jacques Azéma [1], [2]. Par rap­port aux con­struc­tions précédentes, la solu­tion est ex­pli­cite, ad­aptée à la fil­tra­tion browni­enne et ne néces­site pas un pas­sage à la lim­ite à partir de lois dis­crètes. Elle re­pose sur la théorie des mar­tin­gales et peut se général­iser au plonge­ment d’une vari­able aléatoire dans une dif­fu­sion réelle, récur­rente.

Nous décrivons main­ten­ant l’al­gorithme d’Azéma–Yor et la con­struc­tion du temps d’arrêt dans la fil­tra­tion browni­enne.

Soit \( \mu \) une mesure de prob­ab­ilité sur \( \mathbb R \) véri­fi­ant: \[ \int |x| \,d\mu(x) < \infty \quad \text{et}\quad \int x \,d\mu(x) = 0.\] Nous défin­is­sons sa fonc­tion de Hardy–Lit­tle­wood (ou fonc­tion bary­centre) par: \begin{equation} \label{barycentre} \tag{3.7} \Psi_\mu (x) = \frac{1}{ \mu([x, +\infty[)} \int_{[x, +\infty[} y \,d\mu(y) \quad \mbox{pour }x\mbox{ tel que } \mu([x, +\infty[) > 0 \end{equation} et \( \Psi_\mu (x) = x \) si \( \mu([x, +\infty[)= 0 \).

Soit \( (B_t, t \geq 0) \) un mouvement browni­en issu de 0. Azéma et Yor in­troduis­ent le temps d’arrêt \begin{equation} \label{taAY} \tag{3.8} T_\mu:= \inf\{ t \geq 0, S_t \geq \psi_\mu(B_t) \}, \end{equation} où \( S_t = \sup_{s \leq t} B_s \) et montrent:

La preuve de ce théorème re­pose sur le résul­tat suivant: si \( F \) est une fonc­tion de classe \( C^1 \), al­ors le pro­ces­sus \[(F(S_t) - (S_t-B_t) F^{\prime}(S_t) ; t\geq 0)\] est une mar­tin­gale loc­ale.

Le problème de re­présen­t­a­tion de Skorok­hod ex­iste dans la littérat­ure depuis plus de 50 ans mais il reste un sujet ac­tif, en par­ticuli­er par son util­isa­tion dans de nom­breuses ap­plic­a­tions, par ex­emple en mathématiques fin­ancières (voir l’art­icle de synthèse de Ob­loj [e8]). Nous présen­tons dans le para­graphe suivant quelques travaux récents de Marc Yor et de ses col­lab­or­at­eurs sur l’ap­plic­a­tion du plonge­ment de Skorok­hod et la solu­tion d’Azéma–Yor.

Dans l’art­icle [9], D. Madan et M. Yor étud­i­ent des problèmes de con­struc­tion de mar­tin­gales, sous une nou­velle per­spect­ive motivée par des ques­tions de mathématiques fin­ancières. Nous ren­voy­ons à l’art­icle de Hirsch et Roynette dans ce volume qui réfère à l’in­tro­duc­tion de l’art­icle de Madan–Yor et la mo­tiv­a­tion des auteurs.

La ques­tion mathématique est la suivante:

com­ment con­stru­ire des mar­tin­gales markovi­ennes \( (M_t)_t \) de loi mar­ginale donnée \( g_t(x) \,dx \).

Nous sup­po­sons que la fa­mille de dens­ités \( g_t(x) \) in­dexée par le temps sat­is­fait aux hy­pothèses: \[\int_{\mathbb R} |x| \, g_t(x) \,dx < \infty, \quad \int_{\mathbb R} x \, g_t(x) \, dx = 0,\] hy­pothèses néces­saires pour être les mar­ginales d’une mar­tin­gale is­sue de 0. D’après l’inégalité de Jensen, une autre con­di­tion sur \( g_t \) ap­paraît égale­ment néces­saire: la fa­mille de prob­ab­ilités \( d\mu_t(x) = g_t(x) \,dx \) est crois­sante pour l’or­dre con­vexe, i.e. pour toute fonc­tion \( \varphi \) con­vexe \begin{equation} \label{convexorder} \tag{3.9} \forall s \leq t, \quad \int_{\mathbb R} \varphi(x) \, g_s(x) \,dx \leq \int_{\mathbb R} \varphi(x) \, g_t(x) \,dx. \end{equation}

Le plonge­ment de Skorok­hod, par l’al­gorithme de Azéma–Yor, per­met de con­stru­ire une mar­tin­gale markovi­enne \( (M_t) \) de loi mar­ginale \( g_t(x) \,dx \) de la façon suivante.

Considérons la fonc­tion bary­centre \( \Psi_t \ (:= \Psi_{\mu_t}) \) as­sociée à \( \mu_t \) par \eqref{barycentre}. Nous sup­po­sons que la fa­mille \( \Psi_t(x) \) est crois­sante en \( t \), pour tout \( x \). Cette con­di­tion, ap­pelée IM­RV (pour ”in­creas­ing mean re­sid­ual value”) est plus forte que la con­di­tion d’or­dre con­vexe. En par­ticuli­er, \eqref{convexorder} est véri­fiée.

Le temps d’arrêt \( T_t \) est défini par \eqref{taAY} as­socié à la fonc­tion bary­centre \( \Psi_t \). La con­di­tion IM­RV as­sure la crois­sance de la fa­mille \( (T_t)_t \) et donc la pro­priété de mar­tin­gale.

Nous sup­po­sons main­ten­ant que les dens­ités sat­is­font à la pro­priété de change­ment d’échelle browni­enne: \[g_t(x) = \frac{1}{\sqrt{t}} h\biggl(\frac{x}{\sqrt{t}}\biggr)\] ou de façon équi­val­ente, à \( t \) fixé, \( M_t \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} \sqrt{t} M_1 \). Dans ce cadre, la pro­priété IM­RV se ramène à une hy­pothèse sur la fonc­tion \( h \). Madan et Yor prouvent:

Ain­si, si \( h \) est log-con­cave, le théorème précédent per­met donc de con­stru­ire une mar­tin­gale markovi­enne de loi mar­ginale \( g_t(x) \,dx \).

La sec­tion précédente a mis en évid­ence la no­tion de fa­mille de prob­ab­ilités crois­sante pour l’or­dre con­vexe. Un Pro­ces­sus \( (X_t)_{t\geq 0} \) est Crois­sant pour l’Or­dre Con­vexe si ses lois mar­ginales for­ment une fa­mille crois­sante pour l’or­dre con­vexe, autre­ment dit, si pour toute fonc­tion \( \varphi \) con­vexe, \[ \forall s \leq t, \quad \mathbb{E}[\varphi(X_s)] \leq \mathbb{E}(\varphi(X_t)]. \] Dans les années 2010, Marc Yor, en col­lab­or­a­tion avec F. Hirsch et B. Roynette, a donné des méthodes de con­struc­tions ex­pli­cites de mar­tin­gales as­sociées (de même loi mar­ginale) à des PCOC (pro­non­cer à l’anglaise “pea­cock”), dont l’ex­ist­ence est as­surée par un théorème de Keller­er (1972), non con­struc­tif. Nous ren­voy­ons à l’art­icle ”Marc Yor et les pea­cocks” dans ce volume pour plus de détails.

Chemin fais­ant, une nou­velle méthode de plonge­ment de Skorok­hod est pro­posée par les auteurs [12], qui per­met en par­ticuli­er d’as­so­ci­er une mar­tin­gale au PCOC \( \sqrt{t} X \), pour \( X \) intégrable, centrée.

Re­marquons que le théorème 3.2 donne une con­struc­tion sous des hy­pothèses sup­plémen­taires sur \( X \) (par ex­emple, \( X \) à dens­ité log-con­cave).

Nous présen­tons ce nou­veau plonge­ment de Skorok­hod.

1. Le théorème précédent per­met al­ors de con­stru­ire une mar­tin­gale as­sociée à \( \sqrt{t} X \) pour \( X \) centrée, intégrable. En ef­fet, considérons la fa­mille crois­sante de temps d’arrêt \[T_t = \inf\{ t \geq 0, B_u = \sqrt{t} \ V \mbox{ ou } \ B_t = \sqrt{t} \, W \}, \] al­ors \( M_t := B(T_t) \) est une mar­tin­gale, véri­fi­ant la pro­priété de scal­ing browni­enne et pour tout \( t \) fixé, \( M_t \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} \sqrt{t} \, X \).
2. Cette con­struc­tion rentre dans la catégor­ie du plonge­ment aléatoire (SRE): le temps d’arrêt \( T \) n’est pas ad­apté à la fil­tra­tion naturelle de \( B \).

   Elle est dans l’es­prit de la con­struc­tion ini­tiale de Skorok­hod et de Hall (voir l’art­icle de re­view d’Ob­loj [e8]). Dans la con­struc­tion de Hall, le temps d’arrêt est défini comme dans \eqref{ta22} pour un couple de vari­ables aléatoires \( (V,W) \) indépendant de \( B \) dont la loi est ex­pli­cite (cepend­ant, \( V \) et \( W \) ne sont pas indépendantes). La loi de \( (V,W) \) dans le Théorème 3.3 n’est pas ex­pli­cite et re­pose sur un théorème de point fixe.

Un pro­ces­sus de Markov \( (X(t) ; t \geq 0) \) à valeurs dans \( \mathbb{R}_+ \) est dit semi-stable si, en désig­nant par \( P_x \) sa loi lor­squ’il est issu de \( x \), on a: \[\forall c > 0,\ \forall x > 0,\quad \biggl( \frac{1}{c}X(ct), t \geq 0 ; P_{cx} \biggr) \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} (X(t), t \geq 0 ; P_{x}).\] En 1972, motivé par cer­tains théorèmes lim­ites, J. W. Lamperti met en évid­ence le li­en entre les pro­ces­sus de Markov semi-stables et les pro­ces­sus de Lévy en util­is­ant un change­ment de temps [e2]. Plus précisément, il montre qu’à tout pro­ces­sus de Lévy réel \( \xi \), on peut as­so­ci­er un unique pro­ces­sus de Markov semi-stable à valeurs dans \( \mathbb{R}_+ \) tel que, si \( A_t(\xi) = \int_0^t \exp(\xi_s)\, ds \): \begin{equation}\label{Levy1} \tag{4.11} \begin{split} \forall t \geq 0, \quad &\exp(\xi_t) = X_{A_t(\xi)}, \quad\hbox{et}\quad \\ T_0(X) =A_{\infty}(\xi) , \quad&\hbox{où } T_0(X) \equiv \inf\{u; X_u = 0 \hbox{ ou } X_{u-} = 0\}. \end{split} \end{equation} Et réciproque­ment, à tout pro­ces­sus de Markov semi-stable à valeurs dans \( \mathbb{R}_+ \), il montre qu’on peut as­so­ci­er un pro­ces­sus de Lévy réel \( \xi \) tel que l’équa­tion \eqref{Levy1} soit véri­fiée, ce qui peut en­core s’écri­re: \begin{equation}\label{Levy2} \tag{4.12} \forall u < T_0(X), \quad X_u = \exp(\xi_{C_u}) , \quad\hbox{où } C_u = \inf\{s; A_s(\xi) > u\} = \int_0^{u} \frac{ds}{X_s}. \end{equation} Cet outil fut curieuse­ment peu déve­loppé pendant de nom­breuses années.

En 1990, dans [e5], Daniel Du­fresne déter­mine la loi d’une perpétu­ité, c’est-à-dire la valeur ac­tuelle \( A_{\infty} \) d’une rente perpétuelle à paiement con­tinu lor­sque le taux de cap­it­al­isa­tion est re­présenté par un mouvement browni­en géométrique: \[{A_{\infty}(\xi^{\sigma, \nu})= \int_{0}^{+\infty} \exp(\sigma B_s - \nu s) \, ds}, \quad \xi_s^{\sigma, \nu} = \sigma B_s - \nu s, \,\,\nu > 0.\] Cette vari­able joue un rôle im­port­ant dans de nom­breux do­maines (mathématiques fin­ancières, études en en­viron­nement aléatoire, physique, …).

Repren­ant al­ors les travaux de Lamperti, Marc Yor étud­ie entre autres les li­ens entre les générat­eurs in­fin­itésimaux des pro­ces­sus \( \xi \) et \( X \) as­sociés par la trans­form­a­tion de Lamperti: \[L^X f(x) = \frac{1}{x} L^{\xi}(f \circ \exp)(\ln x) \quad\hbox{et} \quad L^{\xi}f(z) = e^{z} \,L^X(f \circ \ln)(e^{z}).\] Ain­si, lor­sque \( \xi_t = 2(B_t - \nu t) \) est un mouvement browni­en avec drift (\( \nu > 0 \)), le générat­eur in­fin­itésim­al du pro­ces­sus semi-stable as­socié est \[L^X f(x) = 2(1-\nu) f^{\prime}(x) + 2x f^{\prime\prime}(x).\] On re­connaît le générat­eur in­fin­itésim­al du carré du pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion \( 2(1-\nu) \). Dans ce cas, la trans­form­a­tion de Lamperti s’écrit al­ors: \[\forall t \geq 0, \quad \exp[2(B_t - \nu t)] = R^{(2(1-\nu))}\biggl(\int_0^t \exp[2(B_s - \nu s)] \,ds\biggr),\] où \( R^{(\alpha)} \) est un carré de Bessel de di­men­sion \( \alpha \) issu de 1. Cela en­traîne: \[A_{\infty}(\xi^{2, 2\nu}) \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} T_0(R^{(2(1-\nu))})\stackrel{(\mathrm{loi})}{=} \frac{1}{2 \, G_{\nu}},\] ce qui per­met, grâce au résul­tat de Getoor sur le temps d’at­teinte de zéro par un pro­ces­sus de Bessel, de ret­rouver de façon élégante le résul­tat de Du­fresne ci-des­sus sur les perpétu­ités [4].

La trans­form­a­tion de Lamperti ap­pli­quée à d’autres ex­emples de pro­ces­sus semi-stables pos­i­tifs, comme la norme d’un pro­ces­sus de Cauchy, a per­mis d’ob­tenir d’autres jol­is résul­tats [8], et, en 2003, dans [10], M. Jac­ob­sen et M. Yor étendent cette fois les travaux de Lamperti aux pro­ces­sus de di­men­sion \( n \), et plus par­ticulière­ments aux cas où le pro­ces­sus de Lévy \( \xi \) est un mouvement browni­en avec drift ou un pro­ces­sus de Pois­son com­posé de di­men­sion \( n \).

Dans le cas par­ticuli­er où \( \xi_t = \lambda t \) et où \( \eta \) est un mouvement browni­en stand­ard, on re­connaît le pro­ces­sus d’Orn­stein–Uh­len­beck classique, d’où le nom de pro­ces­sus d’Orn­stein–Uh­len­beck général­isé donné au pro­ces­sus \( Y \).

En iden­ti­fi­ant al­ors la mesure in­vari­ante du pro­ces­sus d’Orn­stein–Uh­len­beck as­socié, on ret­rouve la loi de nom­breuses fonc­tion­nelles \( A_{\infty}(\xi, \eta) \), en par­ticuli­er lor­sque \( \eta_t =t \) (cas du mouvement browni­en avec drift ou du pro­ces­sus de Pois­son com­posé avec drift), mais aus­si lor­sque \( \xi \) et \( \eta \) sont des mouve­ments browni­ens avec drift, y com­pris en cas de dépendance [8]. Des tent­at­ives ont été faites pour étendre ces méthodes au cas mul­ti­di­men­sion­nel.

Depuis que Ph. Bouger­ol a énoncé en 1983 la célèbre iden­tité qui porte son nom, cette dernière n’a eu de cesse d’être étudiée et éten­due par de nom­breux auteurs, soit en rais­on d’un intérêt pure­ment mathématique, soit en rais­on de son rôle en mathématiques fin­ancières. L’ iden­tité de Bouger­ol s’énonce ain­si:

Cette iden­tité peut en­core se réécri­re sous la forme: \[\forall t > 0, \quad \int_0^t \exp(B_s) \, dW_s \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} \sinh (B_t).\] On re­connaît dans le membre de gauche un pro­ces­sus lié aux pro­ces­sus d’Orn­stein–Uh­len­beck général­isés lor­sque \( \xi = B \) et \( \eta = W \): \[\int_0^t \exp(B_{s^{-}}) \, dW_s \stackrel{(\mathrm{loi})}{=} \exp(B_t) \, \int_0^t \exp(-B_{s^{-}}) \, dW_s. \]

L’iden­tité de Bouger­ol en découle en montrant, grâce à la for­mule d’Itô, que les pro­ces­sus \( (Y_t \equiv \exp(B_t) \, \int_0^t \exp(-B_{s^{-}}) \, dW_s ; t \geq 0) \) et \( (\sinh(B_t) ; t \geq 0) \) ont même loi [6]. Dès lors, la littérat­ure a fleuri sur le sujet et les ex­ten­sions de ce résul­tat ont été nom­breuses. Citons-en quelques-unes:

• dans [6], L. Alili, D. Du­fresne et M. Yor étendent le résul­tat au cas où les mouve­ments browni­ens qui in­ter­vi­ennent possèdent un drift non nul ;
• dans [e7], L. Alili et J.C. Gruet, s’intéres­sent à des quant­ités ana­logues pour le mouvement browni­en hy­per­bol­ique ;
• parmi les ex­ten­sions multi-di­men­sion­nelles, citons celle de J. Ber­toin, D. Du­fresne et M. Yor qui con­cerne le couple \( (\sinh(B_t), \sinh(L_t)) \), où \( L \) désigne le temps loc­al en 0 du mouvement browni­en \( B \) [14].

Nous ren­voy­ons à [e10] pour un pan­or­ama très com­plet des résul­tats liés à l’iden­tité de Bouger­ol dans la littérat­ure.

Nous re­mer­cions tout par­ticulière­ment Math­ieu Rosen­baum qui a pris le temps de nous ra­conter sa ren­contre et son trav­ail avec Marc, et de com­pléter avec soin le para­graphe qui y est con­sacré.