Celebratio Mathematica

On peut sans ex­agérer dire que Marc Yor a été le spécial­iste des iden­tités en loi. À chaque nou­veau résul­tat, il n’avait de cesse de le réin­ter­préter à l’aide d’autres résul­tats con­nus, de croiser tout cela, dans le but d’en tirer le max­im­um, voulant tou­jours re­présenter les ex­pres­sions étudiées à l’aide de quant­ités liées au mouvement browni­en. Es­say­er de faire un pan­or­ama ex­haus­tif sur ce sujet est im­possible. Nous nous fo­cal­iser­ons donc sur quelques ex­emples, pris tout au long de la carrière de Marc.

Rap­pelons que la loi d’une vari­able aléatoire pos­it­ive $X$1 est ca­ra­ctérisée par sa trans­formée de Laplace ${\phi }_X$: $${\phi }_X(\lambda )=\mathbb{E}[\exp (-\lambda X)],\lambda \ge 0,$$ autre­ment dit: $$\begin{array}{}\text{(1.1)}& X\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}Y⟺{\phi }_X={\phi }_Y.\end{array}$$

Dans le cal­cul de la trans­formée de Laplace ${\phi }_Y$ d’une vari­able $Y$, il ar­rive bi­en souvent qu’on trouve une trans­formée de Laplace “con­nue”, dis­ons ${\phi }_X$, d’où l’on déduit immédiate­ment que $$\begin{array}{}\text{(1.2)}& X\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}Y.\end{array}$$ En général, Marc Yor ne se con­ten­tait pas de cette déduc­tion et voulait com­pren­dre plus pro­fondément cette égalité en loi, l’ex­pli­quer (sans pass­er par le cal­cul par­fois fas­ti­dieux des trans­formées de Laplace), voire l’en­richir par une égalité en loi bi(multi)di­men­sion­nelle, qui ouv­ri­rait la voie à d’autres pistes de recher­che… L’autre sens de l’équi­val­ence $\text{(1.1)}$ a aus­si été large­ment util­isé dans les travaux de Marc Yor. Si on sait montrer par de jol­is ar­gu­ments prob­ab­il­istes l’égalité en loi entre $Y$ et $X$ avec $X$ de loi con­nue, on ob­tient al­ors la loi de $Y$, dont le cal­cul dir­ect (par ex­emple via la trans­formée de Laplace) n’était pas forcément aisé.

Nous présen­tons un ex­emple très simple du prin­cipe énoncé en in­tro­duc­tion. Dans les années 1990, l’étude de la fonc­tion­nelle quad­ratique du mouvement browni­en $$\begin{array}{}\text{(2.3)}& V={\int }_0^1(B(t)-G{)}^{2}dt,\text{avec }G={\int }_0^{1}B(s)ds\end{array}$$ a reçu l’at­ten­tion de différents groupes de prob­ab­il­istes, en partie motivés par des ap­plic­a­tions à l’étude des polymères en physique (voir par ex­emple [e6]). Dans [3], les auteurs montrent l’égalité en loi suivante: $$\begin{array}{}\text{(2.4)}& V\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}{\int }_0^1{p}^2(s)ds\end{array}$$ où $p$ est un pont browni­en. Or, la trans­formée de Laplace du membre de droite de $\text{(2.4)}$ est con­nue depuis les travaux de Lévy (1950): $$\mathbb{E}[\exp (-\lambda {\int }_0^1{p}^2(s)ds)]=(\frac{\sqrt{2\lambda }}{\sinh (\sqrt{2\lambda })}{)}^{1/2},$$ d’où l’ob­ten­tion de la trans­formée de Laplace de la loi de $V$ sans cal­culs.

L’iden­tité en loi $\text{(2.4)}$ est un cas par­ticuli­er d’une iden­tité en loi générale entre deux fonc­tion­nelles quad­ratiques du mouvement browni­en: pour toute fonc­tion $f$ de $L^2([0,1{]}^2)$, $$\begin{array}{}\text{(2.5)}& {\int }_0^1({\int }_0^{1}f(u,s)d{B}_s{)}^{2}du\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}{\int }_0^1({\int }_0^{1}f(s,u)d{B}_s{)}^{2}du.\end{array}$$ L’iden­tité $\text{(2.4)}$ s’ob­tient à partir de $\text{(2.5)}$ pour $f(u,s)=1_{s\le u}-(1-s)$ et l’iden­tité en loi $$(p(s),s\le 1)\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}(B_s-s{B}_1,s\le 1).$$

En­fin, ter­minons par la preuve de $\text{(2.5)}$. Il suf­fit d’in­troduire un aléa sup­plémen­taire, un second mouvement browni­en $C$ indépendant de $B$, et une iden­tité de Fu­bini: p.s. $${\int }_0^1({\int }_0^{1}f(u,s)d{B}_s)d{C}_u={\int }_0^1({\int }_0^{1}f(u,s)d{C}_u)d{B}_s.$$ On iden­ti­fie al­ors les fonc­tions ca­ra­ctéristiques de chacun des deux membres à l’aide des trans­formées de Laplace des deux membres de $\text{(2.5)}$.

L’in­tro­duc­tion d’un mouvement browni­en sup­plémen­taire pour ana­lys­er les fonc­tion­nelles quad­ratiques n’est pas sans rappel­er la ”de­vise” de K. Itô (préface de [e4]), que nous repren­ons du livre sur les pea­cocks ([13], p. xviii):

After some time, it be­came my habit, even for fi­nite di­men­sion­al prob­ab­il­ist­ic phe­nom­ena, to look at an in­fin­ite di­men­sion­al re­lated set up, the prop­er­ties of which may il­lu­min­ate/ex­plain those of the fi­nite di­men­sion­al set-up con­sidered pre­vi­ously.

Nous ren­voy­ons à l’art­icle de F. Hirsch et B. Roynette (Théorème 2.2) dans ce volume pour une autre ap­plic­a­tion de ce prin­cipe à l’étude des pea­cocks: l’in­tro­duc­tion d’un drap browni­en per­met de ret­rouver sans cal­culs un résul­tat (tech­nique­ment dif­fi­cile) de Carr et al. sur les op­tions asi­atiques.

Nous ter­minons ce para­graphe par une autre iden­tité en loi entre fonc­tion­nelles quad­ratiques ob­tenue par Shi et Yor [5]: $$\begin{array}{}\text{(2.6)}& V_0\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}\frac{1}{4}(V+\tilde{V}),\end{array}$$ où $V$ et $\tilde{V}$ sont deux cop­ies indépendantes de loi $V$ et $V_0$ est la fonc­tion­nelle définie en $\text{(2.3)}$ où l’on re­m­place $B$ par le pont browni­en $p$. Là en­core, cette iden­tité en loi peut se déduire à partir de cal­culs de trans­formées de Laplace. Shi et Yor en pro­posent une démon­stra­tion simple à l’aide d’une trans­form­a­tion spa­tio-tem­porelle élémen­taire d’un mouvement browni­en plan.

Com­mençons par une petite his­toire. Peu de temps après son re­crute­ment comme pro­fes­seur au LPMA (UP­MC) en 2011, Math­ieu Rosen­baum ren­contre Marc Yor à la bib­lio­thèque du labor­atoire. Ils ne se con­nais­sent pas vraiment. Pour Math­ieu, qui s’intéresse à des problèmes de stat­istique is­sus de la fin­ance, Marc est le spécial­iste que l’on sait du mouvement browni­en, il est un peu in­tim­idé. Il se présente et Marc lui dit immédiate­ment qu’il a des ques­tions de stat­istique à lui poser. Ren­dez-vous est pris pour la se­maine suivante et Math­ieu se met al­ors à trav­ailler sur les problèmes is­sus de l’équa­tion de Tsirelson dont Marc lui a parlé [e9]. Un an plus tard, Math­ieu s’intéresse à une ques­tion de fin­ance où, si $B$ désigne un mouvement browni­en stand­ard et $T_{a,1}$ le premi­er temps d’at­teinte des barrières $(-a,1)$, ap­paraît l’espérance de la vari­able $T_{a,1}^{-1}{\int }_0^{T_{a,1}}{B}_{s}ds$. Cette quant­ité est liée à la valeur in­trinsèque moy­enne d’un ac­tif entre deux change­ments de prix. Les sim­u­la­tions qu’il fait lui font re­marquer qu’une vari­able proche de la précédente, $X=T_1^{-3/2}{\int }_0^{T_1}{B}_{s}ds$, avec $T_1$ le premi­er temps d’at­teinte de 1, semble centrée. Cepend­ant, il ne par­vi­ent pas à le montrer. Il décide d’en par­ler à Marc, qui ac­cepte évidem­ment de pass­er l’après-midi sur le problème avec lui et lui suggère plusieurs références. Entre-temps, Ro­mu­ald Élie s’est intéressé au problème, et, au début de l’été 2013, Math­ieu Rosen­baum et Ro­mu­ald Élie démontrent, en util­is­ant une ap­proche équa­tion aux dérivées parti­elles, que $X$ est bi­en d’espérance nulle, en…15 pages très cal­cu­latoires. Math­ieu montre al­ors la démon­stra­tion à Marc. Deux jours plus tard, il a tout relu et tout an­noté: ”votre preuve me paraît juste, mais je ne com­prends pas le phénomène”. Deux se­maines pas­sent et Marc re­vi­ent voir Math­ieu avec une preuve courte et élégante, ac­com­pagnée de co­rol­laires éton­nants, à coup bi­en sûr de pro­ces­sus de Bessel re­tournés, de théorèmes de Ray–Knight, …, en util­is­ant not­am­ment le fait que $$\mathbb{E}[T_1^{-3/2}{\int }_0^{T_1}{B}_{s}ds]=\mathbb{E}[T_1^{-1/2}{B}_{U{T}_1}],$$ où $U$ désigne une vari­able de loi uni­forme sur $[0,1]$. Cela donne une pub­lic­a­tion sur le sujet [15], et une fructueuse col­lab­or­a­tion pour ex­pli­quer le résul­tat s’en­suit entre le jeune pro­fes­seur et l’académi­cien à la veille de la re­traite [17], [16], col­lab­or­a­tion bru­tale­ment in­ter­rompue le 9 jan­vi­er 2014.

L’un des résul­tats de ce trav­ail com­mun est le suivant.

Et sa conséquence ([16], Co­rol­lary 1.1), grâce au théorème de Lévy: $$\frac{B_{U{T}_1}}{\sqrt{T_1}}\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}\frac{L_{U{\tau }_1}-|B_{U{\tau }_1}|}{\sqrt{{\tau }_1}}\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}\mathrm{\Lambda }{L}_1-\frac{1}{2}|B_1|.$$ D’où il est immédiat de ret­rouver que $$\mathbb{E}[\frac{1}{T_1^{3/2}}{\int }_0^{T_1}{B}_{s}ds]=\mathbb{E}[\frac{B_{U{T}_1}}{\sqrt{T_1}}]=\mathbb{E}[\mathrm{\Lambda }{L}_1-\frac{1}{2}|B_1|]=\mathbb{E}[\frac{1}{2}{L}_1]-\frac{1}{2}\mathbb{E}[|B_1|]=0!$$

Nous rap­pelons le problème de re­présen­t­a­tion de Skorok­hod.

Soit $X$ une vari­able aléatoire réelle, intégrable et centrée. Trouver une re­présen­t­a­tion de Skorok­hod de $X$ con­siste à con­stru­ire un temps d’arrêt $T$ dans une fil­tra­tion ${\mathcal{F}}_t$ dans laquelle $B$ est un mouvement browni­en, véri­fi­ant

(S1) $B_T\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}X$,

(S2) $(B_{t\wedge T},t\ge 0)$ est une mar­tin­gale uni­formément intégrable.

Cette ques­tion a été posée ini­tiale­ment par Skorok­hod en 1961 (tra­duc­tion anglaise en 1965 [e1]) sous une forme légère­ment différente, dans le but de prouver des prin­cipes d’in­vari­ance pour des marches aléatoires. Il ex­iste de nom­breuses façons de réal­iser un plonge­ment de Skorok­hod. Nous ren­voy­ons à l’art­icle de J. Ob­loj [e8] qui re­cense 21 méthodes dans la littérat­ure pour ce problème et ses ex­ten­sions. Ces méthodes peuvent se séparer en 2 catégor­ies:

• Skorok­hod em­bed­ding (SE): le temps $T$ est un temps d’arrêt pour la tribu naturelle du mouvement browni­en $B$ ;
• Ran­dom­ized Skorok­hod em­bed­ding (RSE): $T$ est un temps d’arrêt par rap­port à une fil­tra­tion élar­gie.

La solu­tion ini­tiale pro­posée par Skorok­hod entre dans le second cas avec l’in­tro­duc­tion d’un aléa extérieur à $B$.

La première con­tri­bu­tion de Marc Yor à l’étude de ce problème date de 1979 dans un art­icle com­mun avec Jacques Azéma [1], [2]. Par rap­port aux con­struc­tions précédentes, la solu­tion est ex­pli­cite, ad­aptée à la fil­tra­tion browni­enne et ne néces­site pas un pas­sage à la lim­ite à partir de lois dis­crètes. Elle re­pose sur la théorie des mar­tin­gales et peut se général­iser au plonge­ment d’une vari­able aléatoire dans une dif­fu­sion réelle, récur­rente.

Nous décrivons main­ten­ant l’al­gorithme d’Azéma–Yor et la con­struc­tion du temps d’arrêt dans la fil­tra­tion browni­enne.

Soit $\mu$ une mesure de prob­ab­ilité sur $\mathbb{R}$ véri­fi­ant: $$\int |x|d\mu (x)<\mathrm{\infty }\text{et}\int xd\mu (x)=0.$$ Nous défin­is­sons sa fonc­tion de Hardy–Lit­tle­wood (ou fonc­tion bary­centre) par: $$\begin{array}{}\text{(3.7)}& {\mathrm{\Psi }}_{\mu }(x)=\frac{1}{\mu ([x,+\mathrm{\infty }[)}{\int }_{[x,+\mathrm{\infty }[}yd\mu (y)\text{pour }x\text{ tel que }\mu ([x,+\mathrm{\infty }[)>0\end{array}$$ et ${\mathrm{\Psi }}_{\mu }(x)=x$ si $\mu ([x,+\mathrm{\infty }[)=0$.

Soit $(B_t,t\ge 0)$ un mouvement browni­en issu de 0. Azéma et Yor in­troduis­ent le temps d’arrêt $$\begin{array}{}\text{(3.8)}& T_{\mu }:=inf\{t\ge 0,S_t\ge {\psi }_{\mu }(B_t)\},\end{array}$$ où $S_t=\underset{s\le t}{sup}{B}_s$ et montrent:

La preuve de ce théorème re­pose sur le résul­tat suivant: si $F$ est une fonc­tion de classe $C^1$, al­ors le pro­ces­sus $$(F(S_t)-(S_t-B_t)F^{\prime }(S_t);t\ge 0)$$ est une mar­tin­gale loc­ale.

Le problème de re­présen­t­a­tion de Skorok­hod ex­iste dans la littérat­ure depuis plus de 50 ans mais il reste un sujet ac­tif, en par­ticuli­er par son util­isa­tion dans de nom­breuses ap­plic­a­tions, par ex­emple en mathématiques fin­ancières (voir l’art­icle de synthèse de Ob­loj [e8]). Nous présen­tons dans le para­graphe suivant quelques travaux récents de Marc Yor et de ses col­lab­or­at­eurs sur l’ap­plic­a­tion du plonge­ment de Skorok­hod et la solu­tion d’Azéma–Yor.

Dans l’art­icle [9], D. Madan et M. Yor étud­i­ent des problèmes de con­struc­tion de mar­tin­gales, sous une nou­velle per­spect­ive motivée par des ques­tions de mathématiques fin­ancières. Nous ren­voy­ons à l’art­icle de Hirsch et Roynette dans ce volume qui réfère à l’in­tro­duc­tion de l’art­icle de Madan–Yor et la mo­tiv­a­tion des auteurs.

La ques­tion mathématique est la suivante:

com­ment con­stru­ire des mar­tin­gales markovi­ennes $(M_t{)}_t$ de loi mar­ginale donnée $g_t(x)dx$.

Nous sup­po­sons que la fa­mille de dens­ités $g_t(x)$ in­dexée par le temps sat­is­fait aux hy­pothèses: $${\int }_{\mathbb{R}}|x|g_t(x)dx<\mathrm{\infty },{\int }_{\mathbb{R}}x{g}_t(x)dx=0,$$ hy­pothèses néces­saires pour être les mar­ginales d’une mar­tin­gale is­sue de 0. D’après l’inégalité de Jensen, une autre con­di­tion sur $g_t$ ap­paraît égale­ment néces­saire: la fa­mille de prob­ab­ilités $d{\mu }_t(x)=g_t(x)dx$ est crois­sante pour l’or­dre con­vexe, i.e. pour toute fonc­tion $\phi$ con­vexe $$\begin{array}{}\text{(3.9)}& \mathrm{\forall }s\le t,{\int }_{\mathbb{R}}\phi (x)g_s(x)dx\le {\int }_{\mathbb{R}}\phi (x)g_t(x)dx.\end{array}$$

Le plonge­ment de Skorok­hod, par l’al­gorithme de Azéma–Yor, per­met de con­stru­ire une mar­tin­gale markovi­enne $(M_t)$ de loi mar­ginale $g_t(x)dx$ de la façon suivante.

Considérons la fonc­tion bary­centre ${\mathrm{\Psi }}_t(:={\mathrm{\Psi }}_{{\mu }_t})$ as­sociée à ${\mu }_t$ par $\text{(3.7)}$. Nous sup­po­sons que la fa­mille ${\mathrm{\Psi }}_t(x)$ est crois­sante en $t$, pour tout $x$. Cette con­di­tion, ap­pelée IM­RV (pour ”in­creas­ing mean re­sid­ual value”) est plus forte que la con­di­tion d’or­dre con­vexe. En par­ticuli­er, $\text{(3.9)}$ est véri­fiée.

Le temps d’arrêt $T_t$ est défini par $\text{(3.8)}$ as­socié à la fonc­tion bary­centre ${\mathrm{\Psi }}_t$. La con­di­tion IM­RV as­sure la crois­sance de la fa­mille $(T_t{)}_t$ et donc la pro­priété de mar­tin­gale.

Nous sup­po­sons main­ten­ant que les dens­ités sat­is­font à la pro­priété de change­ment d’échelle browni­enne: $$g_t(x)=\frac{1}{\sqrt{t}}h(\frac{x}{\sqrt{t}})$$ ou de façon équi­val­ente, à $t$ fixé, $M_t\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}\sqrt{t}{M}_1$. Dans ce cadre, la pro­priété IM­RV se ramène à une hy­pothèse sur la fonc­tion $h$. Madan et Yor prouvent:

Ain­si, si $h$ est log-con­cave, le théorème précédent per­met donc de con­stru­ire une mar­tin­gale markovi­enne de loi mar­ginale $g_t(x)dx$.

La sec­tion précédente a mis en évid­ence la no­tion de fa­mille de prob­ab­ilités crois­sante pour l’or­dre con­vexe. Un Pro­ces­sus $(X_t{)}_{t\ge 0}$ est Crois­sant pour l’Or­dre Con­vexe si ses lois mar­ginales for­ment une fa­mille crois­sante pour l’or­dre con­vexe, autre­ment dit, si pour toute fonc­tion $\phi$ con­vexe, $$\mathrm{\forall }s\le t,\mathbb{E}[\phi (X_s)]\le \mathbb{E}(\phi (X_t)].$$ Dans les années 2010, Marc Yor, en col­lab­or­a­tion avec F. Hirsch et B. Roynette, a donné des méthodes de con­struc­tions ex­pli­cites de mar­tin­gales as­sociées (de même loi mar­ginale) à des PCOC (pro­non­cer à l’anglaise “pea­cock”), dont l’ex­ist­ence est as­surée par un théorème de Keller­er (1972), non con­struc­tif. Nous ren­voy­ons à l’art­icle ”Marc Yor et les pea­cocks” dans ce volume pour plus de détails.

Chemin fais­ant, une nou­velle méthode de plonge­ment de Skorok­hod est pro­posée par les auteurs [12], qui per­met en par­ticuli­er d’as­so­ci­er une mar­tin­gale au PCOC $\sqrt{t}X$, pour $X$ intégrable, centrée.

Re­marquons que le théorème 3.2 donne une con­struc­tion sous des hy­pothèses sup­plémen­taires sur $X$ (par ex­emple, $X$ à dens­ité log-con­cave).

Nous présen­tons ce nou­veau plonge­ment de Skorok­hod.

1. Le théorème précédent per­met al­ors de con­stru­ire une mar­tin­gale as­sociée à $\sqrt{t}X$ pour $X$ centrée, intégrable. En ef­fet, considérons la fa­mille crois­sante de temps d’arrêt $$T_t=inf\{t\ge 0,B_u=\sqrt{t}V\text{ ou }{B}_t=\sqrt{t}W\},$$ al­ors $M_t:=B(T_t)$ est une mar­tin­gale, véri­fi­ant la pro­priété de scal­ing browni­enne et pour tout $t$ fixé, $M_t\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}\sqrt{t}X$.
2. Cette con­struc­tion rentre dans la catégor­ie du plonge­ment aléatoire (SRE): le temps d’arrêt $T$ n’est pas ad­apté à la fil­tra­tion naturelle de $B$.

   Elle est dans l’es­prit de la con­struc­tion ini­tiale de Skorok­hod et de Hall (voir l’art­icle de re­view d’Ob­loj [e8]). Dans la con­struc­tion de Hall, le temps d’arrêt est défini comme dans $\text{(3.10)}$ pour un couple de vari­ables aléatoires $(V,W)$ indépendant de $B$ dont la loi est ex­pli­cite (cepend­ant, $V$ et $W$ ne sont pas indépendantes). La loi de $(V,W)$ dans le Théorème 3.3 n’est pas ex­pli­cite et re­pose sur un théorème de point fixe.

Un pro­ces­sus de Markov $(X(t);t\ge 0)$ à valeurs dans ${\mathbb{R}}_{+}$ est dit semi-stable si, en désig­nant par $P_x$ sa loi lor­squ’il est issu de $x$, on a: $$\mathrm{\forall }c>0,\mathrm{\forall }x>0,(\frac{1}{c}X(ct),t\ge 0;P_{cx})\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}(X(t),t\ge 0;P_x).$$ En 1972, motivé par cer­tains théorèmes lim­ites, J. W. Lamperti met en évid­ence le li­en entre les pro­ces­sus de Markov semi-stables et les pro­ces­sus de Lévy en util­is­ant un change­ment de temps [e2]. Plus précisément, il montre qu’à tout pro­ces­sus de Lévy réel $\xi$, on peut as­so­ci­er un unique pro­ces­sus de Markov semi-stable à valeurs dans ${\mathbb{R}}_{+}$ tel que, si $A_t(\xi )={\int }_0^t\exp ({\xi }_s)ds$: $$\begin{array}{}\text{(4.11)}& \begin{array}{rl}\mathrm{\forall }t\ge 0,& \exp ({\xi }_t)=X_{A_t(\xi )},\text{et}\\ T_0(X)=A_{\mathrm{\infty }}(\xi ),& \text{où }{T}_0(X)\equiv inf\{u;X_u=0\text{ ou }{X}_{u-}=0\}.\end{array}\end{array}$$ Et réciproque­ment, à tout pro­ces­sus de Markov semi-stable à valeurs dans ${\mathbb{R}}_{+}$, il montre qu’on peut as­so­ci­er un pro­ces­sus de Lévy réel $\xi$ tel que l’équa­tion $\text{(4.11)}$ soit véri­fiée, ce qui peut en­core s’écri­re: $$\begin{array}{}\text{(4.12)}& \mathrm{\forall }u<T_0(X),X_u=\exp ({\xi }_{C_u}),\text{où }{C}_u=inf\{s;A_s(\xi )>u\}={\int }_0^u\frac{ds}{X_s}.\end{array}$$ Cet outil fut curieuse­ment peu déve­loppé pendant de nom­breuses années.

En 1990, dans [e5], Daniel Du­fresne déter­mine la loi d’une perpétu­ité, c’est-à-dire la valeur ac­tuelle $A_{\mathrm{\infty }}$ d’une rente perpétuelle à paiement con­tinu lor­sque le taux de cap­it­al­isa­tion est re­présenté par un mouvement browni­en géométrique: $$A_{\mathrm{\infty }}({\xi }^{\sigma ,\nu })={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\exp (\sigma B_s-\nu s)ds,{\xi }_s^{\sigma ,\nu }=\sigma B_s-\nu s,\nu >0.$$ Cette vari­able joue un rôle im­port­ant dans de nom­breux do­maines (mathématiques fin­ancières, études en en­viron­nement aléatoire, physique, …).

Repren­ant al­ors les travaux de Lamperti, Marc Yor étud­ie entre autres les li­ens entre les générat­eurs in­fin­itésimaux des pro­ces­sus $\xi$ et $X$ as­sociés par la trans­form­a­tion de Lamperti: $$L^{X}f(x)=\frac{1}{x}{L}^{\xi }(f\circ \exp )(\ln x)\text{et}{L}^{\xi }f(z)=e^z{L}^X(f\circ \ln )(e^z).$$ Ain­si, lor­sque ${\xi }_t=2(B_t-\nu t)$ est un mouvement browni­en avec drift ($\nu >0$), le générat­eur in­fin­itésim­al du pro­ces­sus semi-stable as­socié est $$L^{X}f(x)=2(1-\nu )f^{\prime }(x)+2x{f}^{\prime \prime }(x).$$ On re­connaît le générat­eur in­fin­itésim­al du carré du pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion $2(1-\nu )$. Dans ce cas, la trans­form­a­tion de Lamperti s’écrit al­ors: $$\mathrm{\forall }t\ge 0,\exp [2(B_t-\nu t)]=R^{(2(1-\nu ))}({\int }_0^t\exp [2(B_s-\nu s)]ds),$$ où $R^{(\alpha )}$ est un carré de Bessel de di­men­sion $\alpha$ issu de 1. Cela en­traîne: $$A_{\mathrm{\infty }}({\xi }^{2,2\nu })\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}{T}_0(R^{(2(1-\nu ))})\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}\frac{1}{2G_{\nu }},$$ ce qui per­met, grâce au résul­tat de Getoor sur le temps d’at­teinte de zéro par un pro­ces­sus de Bessel, de ret­rouver de façon élégante le résul­tat de Du­fresne ci-des­sus sur les perpétu­ités [4].

La trans­form­a­tion de Lamperti ap­pli­quée à d’autres ex­emples de pro­ces­sus semi-stables pos­i­tifs, comme la norme d’un pro­ces­sus de Cauchy, a per­mis d’ob­tenir d’autres jol­is résul­tats [8], et, en 2003, dans [10], M. Jac­ob­sen et M. Yor étendent cette fois les travaux de Lamperti aux pro­ces­sus de di­men­sion $n$, et plus par­ticulière­ments aux cas où le pro­ces­sus de Lévy $\xi$ est un mouvement browni­en avec drift ou un pro­ces­sus de Pois­son com­posé de di­men­sion $n$.

Dans le cas par­ticuli­er où ${\xi }_t=\lambda t$ et où $\eta$ est un mouvement browni­en stand­ard, on re­connaît le pro­ces­sus d’Orn­stein–Uh­len­beck classique, d’où le nom de pro­ces­sus d’Orn­stein–Uh­len­beck général­isé donné au pro­ces­sus $Y$.

En iden­ti­fi­ant al­ors la mesure in­vari­ante du pro­ces­sus d’Orn­stein–Uh­len­beck as­socié, on ret­rouve la loi de nom­breuses fonc­tion­nelles $A_{\mathrm{\infty }}(\xi ,\eta )$, en par­ticuli­er lor­sque ${\eta }_t=t$ (cas du mouvement browni­en avec drift ou du pro­ces­sus de Pois­son com­posé avec drift), mais aus­si lor­sque $\xi$ et $\eta$ sont des mouve­ments browni­ens avec drift, y com­pris en cas de dépendance [8]. Des tent­at­ives ont été faites pour étendre ces méthodes au cas mul­ti­di­men­sion­nel.

Depuis que Ph. Bouger­ol a énoncé en 1983 la célèbre iden­tité qui porte son nom, cette dernière n’a eu de cesse d’être étudiée et éten­due par de nom­breux auteurs, soit en rais­on d’un intérêt pure­ment mathématique, soit en rais­on de son rôle en mathématiques fin­ancières. L’ iden­tité de Bouger­ol s’énonce ain­si:

Cette iden­tité peut en­core se réécri­re sous la forme: $$\mathrm{\forall }t>0,{\int }_0^t\exp (B_s)d{W}_s\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}\sinh (B_t).$$ On re­connaît dans le membre de gauche un pro­ces­sus lié aux pro­ces­sus d’Orn­stein–Uh­len­beck général­isés lor­sque $\xi =B$ et $\eta =W$: $${\int }_0^t\exp (B_{s^{-}})d{W}_s\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}\exp (B_t){\int }_0^t\exp (-B_{s^{-}})d{W}_s.$$

L’iden­tité de Bouger­ol en découle en montrant, grâce à la for­mule d’Itô, que les pro­ces­sus $(Y_t\equiv \exp (B_t){\int }_0^t\exp (-B_{s^{-}})d{W}_s;t\ge 0)$ et $(\sinh (B_t);t\ge 0)$ ont même loi [6]. Dès lors, la littérat­ure a fleuri sur le sujet et les ex­ten­sions de ce résul­tat ont été nom­breuses. Citons-en quelques-unes:

• dans [6], L. Alili, D. Du­fresne et M. Yor étendent le résul­tat au cas où les mouve­ments browni­ens qui in­ter­vi­ennent possèdent un drift non nul ;
• dans [e7], L. Alili et J.C. Gruet, s’intéres­sent à des quant­ités ana­logues pour le mouvement browni­en hy­per­bol­ique ;
• parmi les ex­ten­sions multi-di­men­sion­nelles, citons celle de J. Ber­toin, D. Du­fresne et M. Yor qui con­cerne le couple $(\sinh (B_t),\sinh (L_t))$, où $L$ désigne le temps loc­al en 0 du mouvement browni­en $B$ [14].

Nous ren­voy­ons à [e10] pour un pan­or­ama très com­plet des résul­tats liés à l’iden­tité de Bouger­ol dans la littérat­ure.

Nous re­mer­cions tout par­ticulière­ment Math­ieu Rosen­baum qui a pris le temps de nous ra­conter sa ren­contre et son trav­ail avec Marc, et de com­pléter avec soin le para­graphe qui y est con­sacré.