Celebratio Mathematica

À Al­bert Camus (1913–1960) qui nous a ap­porté son espérance, con­di­tionnée de soleil.

Mal­gré le (ou peut être à cause du) rôle des précurseurs géni­aux al­lant de Blaise Pas­cal à Paul Lévy en France, les prob­ab­ilités ont mis quelque temps — euphémisme! — à y être re­con­nues comme sous-dis­cip­line mathématique à part entière.

Au cours du derni­er demi-siècle (1960–2010), il a fallu que des prob­ab­il­istes émin­ents, à la suite — in­dir­ecte­ment — de l’ax­io­mat­isa­tion de Kolmogorov montrent que les (ou: la théorie des) prob­ab­ilités sont in­ex­tric­able­ment liées à la théorie de l’intégra­tion (au sens le plus large du ter­me), à la théorie de po­ten­tiel, à l’ana­lyse de Four­i­er, à l’ana­lyse com­plexe, au cal­cul des vari­ations, à la théorie des nombres…pour qu’elles trouvent en­fin droit de cité dans l’Olympe mathématique. A titre d’ex­emple, au Con­grès In­ter­na­tion­al des Mathématiciens de 2006, à la fois les travaux de K. Itô, et de W. Wern­er, se trouvent récom­pensés au plus haut niveau. Cette tend­ance a en­core été con­firmée au CIM 2010 à Hy­dera­bad.

Quit­tons ce niveau pour re­venir “à la base”. Je voudrais montrer ici, en présent­ant une dizaine de mes thèmes de recher­che préférés, com­ment l’étude du mouvement browni­en est en­trelacée avec un cer­tain nombre d’autres ques­tions mathématiques. J’ai écrit cet art­icle de façon un peu in­habituelle (en Mathématiques), espérant ain­si rendre sa lec­ture plus at­tray­ante qu’une tra­di­tion­nelle No­tice de travaux…

(0.a) Pour­quoi un mathématicien trav­aille-t-il sur tel ou tel sujet, plutôt que sur d’autres? Chacun a sa (ou ses) réponse(s), et je voudrais don­ner ici les miennes.

$(G_1)$ Pour­quoi ça marche? Etant donné un résul­tat $(R)$, port­ant dis­ons sur le mouvement browni­en, je souhaite com­pren­dre “ce qui fait que ça marche”, autre­ment dit, isoler les pro­priétés du mouvement browni­en qui ser­vent dans la démon­stra­tion de $(R)$.

Ceci va per­mettre de montrer, par ex­emple, que $(R)$ est en­core val­able pour une cer­taine classe de mar­tin­gales con­tin­ues.

$(G_2)$ Con­struc­tions génériques, ap­pli­quées à la tra­jectoire browni­enne. Un pro­ces­sus stochastique, pren­ons en­core le mouvement browni­en, n’est — après tout —  que la fonc­tion con­tin­ue générique $(f(t),t\ge 0)$ considérée sous (ou: re­l­at­ive­ment à) la mesure de Wien­er $W(df)$ sur $\mathcal{C}({\mathbb{R}}_{+},{\mathbb{R}}^n)$. Cette mesure confère à $f$, pr­esque sure­ment, des pro­priétés très par­ticulières, lesquelles per­mettent de considérer “générique­ment” cer­taines con­struc­tions d’ana­lyse ou de géométrie, val­ables pour une large classe de fonc­tions $f$; on ob­tient ain­si une fonc­tion­nelle $Q(f)$, définie $W(df)$ p.s., et souvent — de façon générale en théorie des prob­ab­ilités — notée sim­ple­ment $Q$. On peut al­ors naturelle­ment se poser la ques­tion: quelle est la loi de $Q$ sous $W$? Par ex­emple: $Q_1(f)={\int }_0^1{f}^2(t)dt$, $Q_2(f)=\underset{t\le 1}{sup}|f(t)|$, etc…Quelle est la loi con­jointe de $(Q_1,Q_2)$ sous $W$? Ceci nous amène très naturelle­ment à la généralité suivante.

$(G_3)$ Cal­culs de lois. Le problème de la déter­min­a­tion de la loi d’une fonc­tion­nelle du mouvement browni­en m’est posé. As­sez rap­idement, ce problème me paraît voisin d’une ou plusieurs autres ques­tions que j’ai déjà traitées. Toute­fois, cela résiste…

Ceci va me fournir une mo­tiv­a­tion as­sez forte pour que je m’ac­croche… Peut-être, plusieurs mois, voire plusieurs années plus tard, ce problème sera-t-il résolu… C’est ain­si que je me suis intéressé au problème des op­tions asi­atiques.

(0.b) D’autres cher­ch­eurs prob­ab­il­istes, dont les travaux con­cernent égale­ment es­sen­ti­elle­ment le mouvement browni­en, sont motivés de façons différentes; citons par ex­emple:

$(G_4)$ Le mouvement browni­en comme méthode de preuve. Don­ner une démon­stra­tion à l’aide du mouvement browni­en de théorèmes célèbres en ana­lyse et/ou géométrie. Ain­si, B. Dav­is [e21] a ob­tenu une belle démon­stra­tion du grand théorème de Pi­card à l’aide du mouvement browni­en plan; K. Carne [e28] a su ret­rouver les théorèmes fon­da­men­taux de la théorie de Nevan­linna sur les fonc­tions méro­morph­es à l’aide du mouvement browni­en plan, et de considéra­tions sur les mar­tin­gales con­formes.

Le succès de ces deux ap­proches peut s’ex­pli­quer “glob­ale­ment” par le fait que le mouvement browni­en plan $(Z_t,t\ge 0)$ est tell­e­ment récur­rent que la con­nais­sance de $\phi$, fonc­tion méro­morphe donnée, “équivaut” à la con­nais­sance du pro­ces­sus $(\phi (Z_t),t\ge 0)$.

De même, en géométrie, des résul­tats pure­ment géométriques sur cer­taines variétés $M$ ont été ret­rouvés en considérant le mouvement browni­en à valeurs dans ces variétés $M$; là en­core, on peut dire que, en général, le mouvement browni­en à valeurs dans $M$ va vis­iter “tous les coins et re­coins” de cette variété, et di­vulguer ain­si cer­taines in­form­a­tions sur la géométrie de cette variété.

No­tons que ce point $(G_4)$ fait partie d’une “philo­soph­ie” plus générale de démon­stra­tions de résul­tats mathématiques à l’aide d’une ap­proche prob­ab­il­iste. Voir l’art­icle de Bruss et Heyvaert [e61] ay­ant pour titre: La méthode prob­ab­il­iste; voir égale­ment le livre de Alon–Erdös–Spen­cer [e33].

$(G_5)$ Prob­ab­ilités et Physique. Déve­lop­per les problématiques étudiées par cer­tains phys­i­ciens à l’aide des tech­niques d’in­vest­ig­a­tion des prob­ab­ilités, et en par­ticuli­er du mouvement browni­en. Citons, par ex­emple, le pro­gramme de Sy­man­zik (1969) [e9] de théorie con­struct­ive des champs qui suggérait la con­nais­sance et l’util­isa­tion des points mul­tiples du mouvement browni­en plan, pour con­stru­ire des champs avec in­ter­ac­tions non linéaires. Ce pro­gramme a, immédiate­ment (c’est-à-dire avec pub­lic­a­tion dans le livre de Jost–Sy­man­zik [e9]) amené S. Varadhan à prouver un pro­fond résul­tat de renor­m­al­isa­tion d’intégrales doubles du mouvement browni­en plan.

Plus récem­ment, l’étude des ex­posants de non-in­ter­sec­tion pour les “paquets” de tra­jectoires browni­ennes a été déve­loppée au départ par cer­tains phys­i­ciens (dont B. Du­planti­er à Saclay) à l’aide d’ar­gu­ments de grav­ité quantique (voir, par ex­emple, sur un sujet voisin, l’art­icle de Du­planti­er–Shef­field [e62]), puis ces études et résul­tats ont en­suite été re­pris par des prob­ab­il­istes (Lawl­er–Schramm–Wern­er) à l’aide de l’in­vari­ance con­forme du mouvement browni­en plan, men­ant à la découverte et à l’étude des SLE ($=$ Stochast­ic (ou: Schramm) — Loewn­er — Evol­u­tion Pro­cesses); voir, de façon générale, G. Lawl­er [e53] pour une étude de ces pro­ces­sus.

(0.c) Dans cet art­icle, je présente suc­cincte­ment dix thèmes — cor­res­pond­ant chacun à une sec­tion de l’art­icle — sur lesquels j’ai trav­aillé, et qui il­lustrent les généralités $(G_i{)}_{i=1,2,3}$.

A la fin de la dis­cus­sion de chaque thème, fig­urent les références “es­sen­ti­elles” cor­res­pond­antes.

Liste des thèmes:

• Thème $\mathrm{♯}$1 $(\to (G_1))$. Re­présen­t­a­tion de mar­tin­gales comme intégrales stochastiques.
• Thème $\mathrm{♯}$2 $(\to (G_1))$. Si on re­m­place un temps d’arrêt par un temps quel­conque, la pro­priété $(P)$ reste-t-elle sat­is­faite?
• Thème $\mathrm{♯}$3 $(\to (G_1))$. Jusqu’où un pro­ces­sus peut-il ressem­bler au mouvement browni­en, et néan­moins en être différent?
• Thème $\mathrm{♯}$4 $(\to (G_1))$. Jusqu’où une fil­tra­tion peut-elle ressem­bler à la fil­tra­tion browni­enne, et néan­moins en être différente?
• Thème $\mathrm{♯}$5 $(\to (G_1))$. De l’équa­tion de Tsirel’son au rôle in­com­plet du mécan­isme d’évo­lu­tion…
• Thème $\mathrm{♯}$6 $(\to (G_2))$. Nombres de tours du mouvement browni­en plan.
• Thème $\mathrm{♯}$7 $(\to (G_2))$. Mouvement browni­en et valeurs prin­cip­ales.
• Thème $\mathrm{♯}$8 $(\to (G_3))$. Sur l’air(e) de Paul Lévy, des fonc­tion­nelles quad­ratiques du mouvement browni­en, et des iden­tités de Ciesiel­ski–Taylor.
• Thème $\mathrm{♯}$9 $(\to (G_2))$. Fil­tra­tion des ponts browni­ens, et ef­feuil­lage (ou épluchage) du mouvement Browni­en.
• Thème $\mathrm{♯}$10 $(\to (G_3))$. Moy­enne arithmétique du mouvement browni­en géométrique; op­tions asi­atiques; ex­ten­sions ex­po­nen­ti­elles des théorèmes de Lévy et Pit­man.

(Note: Re­marquons que, pour ces 10 thèmes, 5 relèvent de $(G_1)$, 3 de $(G_2)$, et 2 de $(G_3)$.)

(1.a) C’est un résul­tat classique — et im­port­ant — dû à Itô que toute mar­tin­gale $(M_t)$ par rap­port à la fil­tra­tion naturelle $({\mathcal{F}}_t)$ du mouvement browni­en $(B_t)$ peut se re­présenter comme: $$M_t=c+{\int }_0^t{m}_{s}d{B}_s,$$ où $(m_s,s\ge 0)$ est un pro­ces­sus $({\mathcal{F}}_s)$ prévis­ible.

Une démon­stra­tion “stand­ard” de ce résul­tat con­siste à ob­tenir la re­présen­t­a­tion comme intégrale stochastique pour les mar­tin­gales ex­po­nen­ti­elles: $${\mathcal{E}}_t^f=\exp ({\int }_0^{t}f(s)d{B}_s-\frac{1}{2}{\int }_0^t{f}^2(s)ds),$$ pour $f\in L_{\text{loc}}^2({\mathbb{R}}_{+};ds)$. On ob­tient grâce à la for­mule d’Itô: $${\mathcal{E}}_t^f=1+{\int }_0^t{\mathcal{E}}_s^{f}f(s)d{B}_s.$$ En­suite, on util­ise un ar­gu­ment de dens­ité de l’es­pace vec­tor­i­el en­gendré par ces mar­tin­gales.

(1.b) C’est en­suite Del­lacher­ie [e14] qui re­marque que la loi $W$ — la mesure de Wien­er — est ex­trêmale parmi les lois de mar­tin­gales, et que cette pro­priété per­met de démontrer la pro­priété de re­présen­t­a­tion des mar­tin­gales browni­ennes. Del­lacher­ie in­dique égale­ment que son ar­gu­ment vaut aus­si pour la loi du pro­ces­sus de Pois­son re­centré (on dit souvent: com­pensé).

(1.c) En­suite, Ch. Yoeurp, J. Jac­od ([e20], [e17]) et moi-même (Thèse; 1976) ap­por­tons chacun des résul­tats partiels à cette ques­tion, pour, fi­nale­ment, aboutir au résul­tat suivant.

L’ar­gu­ment clé est le fait que l’es­pace dual de $H^1(P)$ soit $\mathrm{BMO}(P)$, et que toute mar­tin­gale de $\mathrm{BMO}(P)$ soit loc­ale­ment bornée.

(1.d) Une ap­proche sans fil­tra­tion.
Il me semble me souven­ir, qu’après avoir ra­conté le théorème 1.1 à G. Mokobodzki, il m’avait sig­nalé que le théorème suivant, qu’il at­tribuait à R. Douglas [e8] lui semblait ap­par­enté à ce théorème 1.1.

En fait, bi­en av­ant Douglas, ce théorème avait déjà été ob­tenu par Naïmark [e1]. Là en­core, le point clé est que le dual de $L^1(P)$ est $L^{\mathrm{\infty }}(P)$.

On peut réduire la démon­stra­tion du théorème 1.1 à celle du théorème 1.2 en pren­ant pour $f_i$ dans le cadre du théorème 1.1 les vari­ables: $$1_{{\mathrm{\Gamma }}_s}(X_t-X_s)$$ pour ${\mathrm{\Gamma }}_s\in {\mathcal{F}}_s$, et $s<t$, et $c_i=0$.

G. Mokobodzki m’a en­suite aidé à montrer com­ment pass­er d’une con­ver­gence dans $L^1$ pour une suite à une con­ver­gence dans $H^1$ pour une sous-suite, ce qui m’a per­mis de don­ner en [2] une autre démon­stra­tion du théorème 1.1 ci-des­sus.

(2.a) Je donne tout d’abord deux ex­emples de pro­priété $(P)$ pour lesquelles je me suis posé la ques­tion ci-des­sus:

$(P1)$ D’après Burk­hold­er–Dav­is–Gundy, pour tout $p>0$, il ex­iste deux con­stantes uni­versell­es $0<c_p<C_p<\mathrm{\infty }$ tell­es que: pour tout temps d’arrêt $T$ de la fil­tra­tion naturelle de $(B_t)$ (plus générale­ment, de toute fil­tra­tion $({\mathcal{F}}_t)$ pour laquelle $(B_t)$ est un $({\mathcal{F}}_t)$ mouvement browni­en) on ait: $$c_{p}E[(T{)}^{p/2}]\le E(\underset{s\le T}{sup}|B_s{|}^p)\le C_{p}E[(T{)}^{p/2}].$$

$(P2)$ Si l’on arrête le $({\mathcal{F}}_t)$-mouvement browni­en $(B_t)$ en un temps d’arrêt $T$ de la fil­tra­tion $({\mathcal{F}}_t)$, al­ors $(B_{t\wedge T}{)}_{t\ge 0}$ reste une mar­tin­gale.

Re­marque im­port­ante: la re­présen­t­a­tion de Dub­bins–Schwarz de toute mar­tin­gale loc­ale con­tin­ue $(M_t,t\ge 0)$ comme: $(B_{⟨M{⟩}_t},t\ge 0)$, avec $B$ mouvement browni­en, per­met de for­muler $(P1)$ de façon ap­par­em­ment plus générale, $T$ étant main­ten­ant re­m­placée par $⟨M{⟩}_{\mathrm{\infty }}$ et $\underset{t\le T}{sup}|B_t|$ par $sup|M_t|$; de même pour $(P2)$, re­m­pla­cer $(B_{t\wedge T})$ par $(M_{t\wedge S})$ pour tout temps d’arrêt $S$.

(2.b) Que devi­ennent $(P1)$ et $(P2)$ lor­sque l’on re­m­place $T$ par un temps quel­conque $L$, c’est-à-dire une vari­able aléatoire pos­it­ive, mesur­able seule­ment par rap­port à ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$?

(2.b.1) On peut montrer, en toute généralité, que $(B_{t\wedge L}{)}_{t\ge 0}$ reste une se­mi­martin­gale dans la plus petite fil­tra­tion, souvent notée $({\mathcal{F}}_t^L{)}_{t\ge 0}$, qui con­tienne $({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$, et fasse de $L$ un temps d’arrêt.

Par contre, $(B_t,t\ge 0)$ n’est pas en général une $({\mathcal{F}}_t^L)$ se­mi­martin­gale. Pour qu’il en soit ain­si, il est suf­f­is­ant que $L$ soit la fin d’un en­semble prévis­ible $\mathrm{\Gamma }$, i.e: $$L=sup\{t\ge 0:(t,\omega )\in \mathrm{\Gamma }\}.$$

(2.b.2) On peut exprimer la décom­pos­i­tion can­o­nique de $(B_{t\wedge L}{)}_{t\ge 0}$ dans la fil­tra­tion $({\mathcal{F}}_t^L{)}_{t\ge 0}$ (cf. Réca­pit­u­latif de [11]).

Si $Z_t^L\stackrel{\text{def}}{=}P(L>t\mid {\mathcal{F}}_t)$ (: ver­sion con­tin­ue à droite), et $(M_t^L)$ désigne l’unique mar­tin­gale de $\mathrm{BMO}(({\mathcal{F}}_t))$ telle que: $$E[X_L]=E[X_{\mathrm{\infty }}{M}_{\mathrm{\infty }}^L],$$ pour toute mar­tin­gale bornée $X$, al­ors, si $(Y_t,t\ge 0)$ est une $({\mathcal{F}}_t)$ mar­tin­gale loc­ale, $$Y_{t\wedge L}-{\int }_0^{t\wedge L}\frac{d⟨Y,M^L{⟩}_s}{Z_{s-}^L}$$ est une $({\mathcal{F}}_t^L)$ mar­tin­gale loc­ale.

(2.b.3) Dans le cas par­ticuli­er où $L$ est la fin d’un en­semble $({\mathcal{F}}_t)$ prévis­ible $\mathrm{\Gamma }$, on peut exprimer la décom­pos­i­tion de $(B_t)$ comme se­mi­martin­gale dans $({\mathcal{F}}_t^L)$: précisément, si l’on pose (à nou­veau): $$Z_t\equiv Z_t^L=P(L>t\mid {\mathcal{F}}_t),$$ on a: $$B_t={\beta }_t+{\int }_0^{t\wedge L}\frac{d⟨B,Z{⟩}_s}{Z_s}+{\int }_L^t\frac{d⟨B,1-Z{⟩}_s}{1-Z_s},$$ où $({\beta }_t,t\ge 0)$ est un $({\mathcal{F}}_t^L)$ mouvement browni­en.

(2.b.4) A l’aide de la décom­pos­i­tion de $(B_{t\wedge L})$ présentée en (2.b.2), on peut main­ten­ant préciser com­ment $(P1)$ peut être modi­fiée.

Si $L$ est un temps aléatoire, on lui as­socie, comme ci-des­sus: $$Z_t\equiv Z_t^L=P(L>t\mid {\mathcal{F}}_t)\text{(version continue à droite)}$$ et la quant­ité $I_L=\underset{s<L}{inf}{Z}_s$, qui véri­fie: $$\begin{array}{c}\text{(2.1)}& \text{pour tout }b\in ]0,1[,P(I_L<b)\le P(U\le b)\equiv b,\text{avec égalité lorsque }P(L=T)=0,\text{pour tout }({\mathcal{F}}_t)\text{ temps d’arrêt }T,\\ U\text{ désigne une variable uniforme sur }[0,1].\end{array}$$

Al­ors, les inégalités de BDG (que je considère ici seule­ment pour $p=1$, pour sim­pli­fi­er la présen­t­a­tion) peuvent être éten­dues comme suit: $$\begin{array}{rcl}E[\underset{t\le L}{sup}|B_t|]& \underset{(1)}{\le }& \mathcal{C}E[\sqrt{L}(1+\log \frac{1}{I_L}{)}^{1/2}]\\ & \underset{(2)}{\le }& \mathcal{C}\parallel \sqrt{L}{\parallel }_{\phi }\Vert (1+\log \frac{1}{U}{)}^{1/2}{\Vert }_{\psi }\end{array}$$ et $$\begin{array}{rcl}E[\sqrt{L}]& \underset{(3)}{\le }& \mathcal{C}E[(\underset{t\le L}{sup}|B_t|)(1+\log \frac{1}{I_L}{)}^{1/2}]\\ & \underset{(4)}{\le }& \mathcal{C}\parallel \underset{t\le L}{sup}|B_t|{\parallel }_{\phi }\Vert (1+\log \frac{1}{U}{)}^{1/2}{\Vert }_{\psi }.\end{array}$$

Dans les inégalités ci-des­sus, $\mathcal{C}$ désigne une con­stante uni­verselle, qui var­ie de ligne en ligne. Re­marquons que les inégalités (1) et (3), lor­sque $L$ est un $({\mathcal{F}}_t)$ temps d’arrêt sont précisément les inégalités de BDG pour $p=1$, puisque al­ors: $I_L\equiv 1$, et donc: $\log (1/I_L)=0$.

Les inégalités (2) et (4), dans lesquelles fig­urent un couple de fonc­tions de Young con­juguées $(\phi ,\psi )$ sont ob­tenues, à partir de (1) et (3) par ap­plic­a­tion de l’inégalité de Hölder général­isée, et de la dom­in­a­tion stochastique de $(1/I_L)$ par $1/U$, énoncée ci-des­sus en $\text{(2.1)}$.

(2.b.5) Soulignons quelques conséquences des résul­tats précédents:

• On peut re­m­pla­cer le mouvement browni­en $(B_t,t\ge 0)$ par toute mar­tin­gale loc­ale $(M_t,t\ge 0)$, et $\sqrt{t}$ par $\sqrt{⟨M{⟩}_t}$ grâce à la re­présen­t­a­tion de Du­bins–Schwarz: $M_t=B_{⟨M{⟩}_t},t\ge 0$.
• Bi­en que les inégalités de BDG, val­ables pour toute mar­tin­gale loc­ale con­tin­ue arrêtée en un temps d’arrêt $T$, ne s’étendent pas (tout au moins, de façon “immédiate”) lor­sque $T$ est re­m­placé par un temps quel­conque $L$, une telle ex­ten­sion est “pr­esque” val­able, au sens où, pour tout $p>0$, et tout $\epsilon >0$, il ex­iste une con­stante $C_{p,\epsilon }$ telle que: $$\begin{array}{}\text{(2.2)}& \Vert \underset{t\le L}{sup}|M_t|{\Vert }_p\le C_{p,\epsilon }\Vert \sqrt{⟨M{⟩}_L}{\Vert }_{p+\epsilon }\end{array}$$ ain­si que: $$\begin{array}{}\text{(2.3)}& \Vert \sqrt{⟨M{⟩}_L}{\Vert }_p\le C_{p,\epsilon }\Vert \underset{t\le L}{sup}|M_t|{\Vert }_{p+\epsilon }.\end{array}$$

Ces inégalités décou­lent aisément des (vari­antes des) inégalités (2) et (4) présentées en (2.b.4), et ap­pli­quées avec des fonc­tions puis­sance $\psi$.

En [8], et [12], Bis­mut et Yor, puis Bar­low, Jacka et Yor, montrent qu’il n’est pas néces­saire d’util­iser des ar­gu­ments de grossisse­ment de fil­tra­tion pour ob­tenir $\text{(2.2)}$ et $\text{(2.3)}$, mais, que l’on peut, peut être de façon plus dir­ecte, ap­pli­quer le critère de Kolmogorov “bi­en com­pris”, ou de façon plus raffinée, les inégalités de Gar­sia–Ro­demich–Rum­sey. Voir Stroock–Varadhan [e19] pour l’ex­posé de ces inégalités, et de cer­taines de leurs conséquences.

(3.a) De façon as­sez éton­nante (?), on peut al­ler très loin dans la con­struc­tion d’avatars du mouvement browni­en, qui lui soi­ent néan­moins différents. Je vais en don­ner plusieurs ex­emples.

(3.b) H. Föllmer, C.T. Wu et moi-même avons mon­tré en [34] que, pour n’im­porte quel en­ti­er $k\in \mathbb{N}$, il ex­iste une loi (en fait, une in­fin­ité de lois) de prob­ab­ilité $\tilde{W}$ sur $C([0,1];\mathbb{R})$, équi­val­ente à la mesure de Wien­er $W$ telle que sous $\tilde{W}$, le pro­ces­sus can­o­nique $(X_t,t\le 1)$ ait mêmes mar­ginales de rang $k$ que sous $W$; c’est-à-dire, pour tous $0\le t_1\le t_2\le \cdots \le t_k\le 1$, la loi de $(X_{t_1},\dots ,X_{t_k})$ sous $\tilde{W}$ est la même que celle du vec­teur $(B_{t_1},\dots ,B_{t_k})$ re­latif au mouvement browni­en $B$. Le trav­ail [34] répondait à la ques­tion de Stoy­an­ov [e47] (p. 316), qui po­sa­it la ques­tion pour $k=4$.

(3.c) Puisque $\tilde{W}$ est équi­val­ente à $W$, le pro­ces­sus $(X_t,t\le 1)$ n’est pas une mar­tin­gale sous $\tilde{W}$. On peut néan­moins se poser la ques­tion suivante: ex­iste-t-il une mar­tin­gale con­tin­ue qui ad­mette les mar­ginales de rang 1 du mouvement browni­en? La réponse est: Oui, ain­si que cela a été démon­tré par Al­bin [e56] récem­ment, en s’ap­puyant sur la for­mule de du­plic­a­tion de la fonc­tion $\mathrm{\Gamma }$, qui mène à cer­taines fac­tor­isa­tions d’une vari­able gaussi­enne, i.e: $$N\stackrel{\text{(loi)}}{=}{X}_1{X}_{2}Y,$$ avec $X_1,X_2$ iid, et $Y$ indépendante de $(X_1,X_2)$.

Voir égale­ment Baker, Donati–Mar­tin, Yor [47] qui utilis­ent la for­mule de mul­ti­plic­a­tion de la fonc­tion $\mathrm{\Gamma }$, et déve­lop­pent ain­si la méthode de Al­bin en ex­ploit­ant: $$N\stackrel{\text{(loi)}}{=}{X}_1\dots X_{n+1}{Y}_n,$$ avec $X_1,\dots ,X_{n+1}$, iid, indépendantes de $Y_n$.

Il ex­iste aus­si des mar­tin­gales dis­con­tin­ues qui ad­mettent les mar­ginales de rang 1 du mouvement browni­en. Voir, par ex­emple, Madan–Yor [37].

(3.d) Plus générale­ment (que dans la dernière phrase ci-des­sus), si un pro­ces­sus $({\pi }_t,t\ge 0)$ ad­met les mêmes mar­ginales de rang 1 qu’une mar­tin­gale, al­ors: $({\pi }_t,t\ge 0)$ est crois­sant pour l’or­dre con­vexe. La réciproque est égale­ment vraie et est due à H. Keller­er [e11], à la suite des travaux de Strassen, Doob, Mey­er…

Une étude systématique de ces pro­ces­sus $({\pi }_t,t\ge 0)$, et des mar­tin­gales as­sociées est faite en [48]; cette étude montre — es­sen­ti­elle­ment à l’aide d’ex­emples — com­bi­en la con­nais­sance des mar­ginales de rang 1 d’un pro­ces­sus ren­sei­gne peu sur la loi “com­plète” de ce pro­ces­sus.

(4.a) L’école prob­ab­il­iste de Stras­bourg a mis l’ac­cent, de façon ex­trêmement ap­puyée, sur les pro­priétés de la fil­tra­tion, ou des fil­tra­tions, de référence, avec lesquelles on trav­aille dans un con­texte donné. Ain­si, à un pro­ces­sus $(Y_s,s\ge 0)$ donné (par sa loi, par ex­emple), on as­socie sa fil­tra­tion naturelle $({\mathcal{Y}}_s,s\ge 0)$; il s’agit là d’un in­vari­ant as­sez simple: deux pro­ces­sus $(Y_s,s\ge 0)$ et $(Z_s,s\ge 0)$ peuvent être as­sez différents et néan­moins avoir même fil­tra­tion naturelle…

(4.b) Pour un cher­ch­eur en Prob­ab­ilités qui trav­aille es­sen­ti­elle­ment sur le mouvement browni­en, la ques­tion suivante se pose al­ors, de façon naturelle: si $({\mathcal{F}}_s,s\ge 0)$ est une fil­tra­tion donnée sur un es­pace de prob­ab­ilité, est-elle la fil­tra­tion naturelle d’un mouvement browni­en? On dira al­ors que cette fil­tra­tion est une fil­tra­tion browni­enne forte (FBF).

(4.c) Fil­tra­tion browni­enne faible (FBf).
On dira qu’une fil­tra­tion $({\mathcal{F}}_t)$ sur un es­pace de prob­ab­ilité est une FBf s’il ex­iste un $({\mathcal{F}}_t)$ mouvement browni­en $({\beta }_t,t\ge 0)$ tel que toute $({\mathcal{F}}_t)$ mar­tin­gale $(M_t,t\ge 0)$ puisse s’écri­re comme: $$M_t=c+{\int }_0^t{m}_{s}d{\beta }_s,t\ge 0,$$ où $(m_s,s\ge 0)$ est un cer­tain pro­ces­sus (${\mathcal{F}}_s$) prévis­ible.

Bi­en sûr, on ne de­mande pas que la fil­tra­tion naturelle de $\beta$ soit égale à $({\mathcal{F}}_t)$, auquel cas $({\mathcal{F}}_t)$ serait une FBF.

(4.d) Quelques ex­emples de (FBf).

(4.d.1) La fil­tra­tion naturelle du pro­ces­sus des co­or­données sur l’es­pace can­o­nique $\mathcal{C}({\mathbb{R}}_{+},\mathbb{R})$, sous toute prob­ab­ilité $Q$ (loc­ale­ment) équi­val­ente à la mesure de Wien­er $W$. Pour la preuve détaillée de ce résul­tat, voir [51].

(4.d.2) La fil­tra­tion $({\mathcal{B}}_{{\tau }_t}{)}_{t\ge 0}$, ob­tenue par change­ment de temps $({\tau }_t,t\ge 0)$, con­tinu, stricte­ment crois­sant, bijec­tif de ${\mathbb{R}}_{+}$ sur lui-même, à partir de la fil­tra­tion browni­enne $({\mathcal{B}}_u,u\ge 0)$.

(4.d.3) La fil­tra­tion naturelle de l’araignée browni­enne $({\mathcal{A}}_t,t\ge 0)$ à $N$ branches, c’est-à-dire un pro­ces­sus qui évolue sur l’uni­on de $N$ 1/2-droites con­cour­antes en un point 0, qui se com­porte comme un mouvement browni­en sur chaque branche hors de 0, et qui chois­it sa branche avec, dis­ons, prob­ab­ilité $(1/N)$ lor­squ’elle ar­rive en 0 (plus générale­ment, ce choix des branches peut être fait avec la prob­ab­ilité $(p_1,\dots ,p_N)$ sur $\{1,2,\dots ,N\}$). Cette de­scrip­tion, dûe à J. Walsh [e18], est très in­formelle, mais peut-être ren­due tout à fait rigoureuse (cf. Bar­low–Pit­man–Yor [18]).

(4.e) B. Tsirel’son [e45] a établi que pour tout $N\ge 3$, la fil­tra­tion $({\mathcal{A}}_t,t\ge 0)$ de l’araignée browni­enne à $N$ branches est faible, et n’est pas forte. Ce résul­tat avait été con­jec­turé — mais pas établi! — en [18].

(4.f) On peut — a pos­teri­ori — com­pren­dre as­sez sim­ple­ment pour­quoi, pour $N\ge 3$, cette fil­tra­tion $({\mathcal{A}}_t{)}_{t\ge 0}$ est faible, et pas forte: en ef­fet, une con­jec­ture de M. Bar­low rap­pelée en [18], bi­en av­ant la pub­lic­a­tion [e45] de Tsirel’son, était que si $({\mathcal{F}}_t)$ est une $FBF$, et si $L$ est la fin d’un en­semble $({\mathcal{F}}_t)$ prévis­ible, al­ors ${\mathcal{F}}_{L^{+}}$ le fu­tur immédiat jusqu’en (ou juste après) $L$, ne peut différer du passé strict ${\mathcal{F}}_{L^{-}}$, av­ant $L$, que par l’ad­jonc­tion d’un en­semble, au plus. Or, pour $({\mathcal{A}}_t^N)$, avec $N\ge 3$, et $L\equiv g=sup\{s\le 1;A_s=0\}$, il faut ad­joindre à $({\mathcal{A}}_{g-}^N)$ les en­sembles: $\{A_1\in I_1\}$, $\{A_1\in I_2\}$, $\{A_1\in I_{n-1}\}$ pour ob­tenir $({\mathcal{A}}_{g+}^N)$. D’autre part, les ar­gu­ments déve­loppés par Tsirel’son en [e45], con­ven­able­ment sim­pli­fiés et général­isés en [30] étab­lis­sent la valid­ité de la con­jec­ture de Bar­low. En conséquence, pour $N\ge 3$, $({\mathcal{A}}_t^N)$ est une $FBf$.

Par ail­leurs, les auteurs de [e41] ont mon­tré qu’il ex­iste une in­fin­ité de lois de prob­ab­ilité $Q$, équi­val­entes à $W$, tell­es que sous $Q$, la fil­tra­tion naturelle du pro­ces­sus des co­or­données est faible, et pas forte.

De même, il a été mon­tré en [e49] qu’il ex­iste une in­fin­ité de change­ments de temps $({\tau }_t)$ tels que ceux décrits en (4.d.2) pour lesquels $({\mathcal{B}}_{{\tau }_t})$ est faible, et pas forte.

(4.g) D’autres ex­emples de fil­tra­tions browni­ennes faibles, et pas for­tes. Voir [e41].

(On pour­rait ajouter comme sous-titre — à ne pas pren­dre trop au sérieux! — à ce thème: Du pro­ces­sus “bang bang” au Big Bang…)

Parmi les thèmes sur lesquels j’ai trav­aillé, c’est — avec l’étude des nombres de tours du mouvement browni­en plan — ce­lui qui me fas­cine le plus. A chaque fois que j’y réfléchis à nou­veau, je trouve tou­jours les résul­tats clés aus­si para­doxaux, et ouv­rant la voie à des réflex­ions philo­sophiques. En ef­fet, ce thème révèle des pro­priétés ex­trêmement sur­pren­antes (“mind-bog­gling” a écrit D. Wil­li­ams!) Voici ce dont il s’agit.

(5.a) L’équa­tion de Tsirel’son.
L’un des ob­jec­tifs d’Itô, en con­stru­is­ant l’intégrale stochastique, dis­ons, pour sim­pli­fi­er, d’un pro­ces­sus prévis­ible $(H_s)$ par rap­port à un mouvement Browni­en $(B_s)$: $${\int }_0^t{H}_{s}d{B}_s,t\ge 0,\text{lorsque: pour tout }t<\mathrm{\infty }{\int }_0^t{H}_s^{2}ds<\mathrm{\infty },Pp.s.,$$ était de déve­lop­per l’étude des équa­tions différen­ti­elles stochastiques: $$\begin{array}{}\text{(5.1)}& X_t=x+{\int }_0^t\sigma (X_s)d{B}_s+{\int }_0^{t}b(X_s)ds.\end{array}$$

En ef­fet, Itô a mon­tré:

• d’une part, que l’ar­gu­ment du point fixe de Pi­card pour les équa­tions différen­ti­elles or­din­aires à coef­fi­cients lipschit­zi­ens s’ap­plique, mu­tatis mutandis lor­sque $\sigma$ et $b$ sont lipschit­zi­ens;
• d’autre part, et en conséquence, que $\text{(5.1)}$ per­met de con­stru­ire un pro­ces­sus de dif­fu­sion de coef­fi­cients $\sigma$ et $b$, sous cette con­di­tion de Lipschitz.

  Il a fallu at­tendre les années 70 pour s’aper­ce­voir que la présence du mouvement browni­en en $\text{(5.1)}$ per­mettait d’ob­tenir ex­ist­ence et uni­cité des solu­tions, lor­sque, par ex­emple, $\sigma \equiv 1$, et $b$ est seule­ment boréli­enne bornée. Ce résul­tat est dû à Zvonkin (1974); par ex­emple, lor­sque $b(x)=-\lambda \mathrm{sgn}(x)$, avec $\lambda >0$, on ob­tient ain­si le pro­ces­sus dit “bang-bang” de paramètre $\lambda$, rap­pelé vers l’ori­gine dès qu’il s’en éloigne.

De plus, même dans cette situ­ation “irrégulière”, le pro­ces­sus solu­tion de: $$\begin{array}{}\text{(5.2)}& X_t=x+B_t+{\int }_0^{t}b(X_s)ds\end{array}$$ est ob­tenu de façon mesur­able et ad­aptée comme fonc­tion de $B$, (on dit que $(X_t)$ est solu­tion forte) au sens où: $$X_t=F_x(B_s;s\le t),t\ge 0,$$ avec $(F_x)$ fa­mille mesur­able en $x$ de fonc­tion­nelles définies sur $C([0,t];\mathbb{R})$.

La ques­tion a en­suite été posée, par A. Shiry­aev, de sa­voir si cette pro­priété de solu­tion forte de­meurait vraie lor­sque en $\text{(5.2)}$, la fonc­tion $b(x)$, ou plutôt le pro­ces­sus $b(X_s)$, est re­m­placé, en toute généralité, par une fonc­tion­nelle bornée $$\beta (X_u;u\le s).$$

Très rap­idement, B. Tsirel’son a ap­porté un contre-ex­emple avec la fonc­tion­nelle: $$\begin{array}{rcl}\beta (X_u;u\le s)& =& T(X_u;u\le s)\\ \text{(5.3)}& & =& \sum _{k\in -\mathbb{N}}\{\frac{X_{t_k}-X_{t_{k-1}}}{t_k-t_{k-1}}\}{1}_{]t_k,t_{k+1}]}(s),\end{array}$$ où $x$ désigne la partie frac­tion­naire de $x$ et $t_k\downarrow 0$ lor­sque $k\downarrow -\mathrm{\infty }$.

Le théorème 5.1 ci-des­sous exprime précisément que $X$ ne peut être con­stru­it en fonc­tion de $B$ seule­ment.

Ce résul­tat m’ay­ant ex­trêmement in­trigué, j’ai cherché à com­pren­dre quelles pro­priétés du mouvement browni­en étaient réelle­ment en jeu. En fait, re­l­at­ive­ment peu! On se rend vite compte que pour com­pren­dre l’équa­tion de Tsirel’son: $$\begin{array}{}\text{(5.4)}& X_t=B_t+{\int }_0^{t}T(X_u;u\le s)ds\end{array}$$ il suf­fit d’en com­pren­dre son sque­lette dis­cret: $$\begin{array}{}\text{(5.5)}& \frac{X_{t_{k+1}}-X_{t_k}}{t_{k+1}-t_k}=\frac{B_{t_{k+1}}-B_{t_k}}{(t_{k+1}-t_k)}+\{\frac{X_{t_k}-X_{t_{k-1}}}{t_k-t_{k-1}}\},\end{array}$$ et il est donc naturel d’étud­i­er les pro­priétés de l’équa­tion: $$\begin{array}{}\text{(5.6)}& {\eta }_{k+1}={\xi }_{k+1}+\{{\eta }_k\},k\in -\mathbb{N},\end{array}$$ où les vari­ables ${({\xi }_k)}_{k\in -\mathbb{N}}$ sont indépendantes, et de loi donnée pour tout $k$ (pas néces­saire­ment la même loi). Les pro­priétés de cette équa­tion, in­dexée par $-\mathbb{N}$, sont décrites dans le théorème 5.2.

(5.b) Énoncés des théorèmes 5.1 et 5.2.

Pour présenter les différents cas pos­sibles con­cernant l’équa­tion $\text{(5.6)}$, il nous faut in­troduire les nota­tions et prélim­in­aires suivants.

No­tons ${\mu }_k$ la loi de ${\xi }_k$, pour $k\in -\mathbb{N}$, et $\mu =({\mu }_k{)}_{k\in -\mathbb{N}}$. In­troduis­ons le sous en­semble de $\mathbb{Z}$: $${\mathbb{Z}}_{\mu }=\{p\in \mathbb{Z}\text{; il existe }k\text{ tel que: }{\mathrm{\Pi }}_{j\le k}|\int \exp (2i\pi px){\mu }_j(dx)|>0\}.$$ D’après [24], ${\mathbb{Z}}_{\mu }$ est un sous groupe de $\mathbb{Z}$, et il ex­iste donc un unique en­ti­er $p_{\mu }\ge 0$ tel que: ${\mathbb{Z}}_{\mu }=p_{\mu }\mathbb{Z}$.

(5.c) Déve­lop­pe­ments du thème, re­la­tions avec le thème 4.
D’après le théorème 5.1 l’équa­tion $\text{(5.4)}$ jouit de l’uni­cité en loi, mais la fil­tra­tion naturelle de $B$ est stricte­ment con­tenue dans celle de $X$. En util­is­ant la ter­min­o­lo­gie du Thème 4, la fil­tra­tion de $X$ est une fil­tra­tion browni­enne faible ($FBf$).

Toute­fois, Emery et Schach­er­may­er [e50] ont mon­tré que c’est une $FBF$: il ex­iste un mouvement browni­en $\tilde{B}$ qui en­gendre précisément la fil­tra­tion de $X$.

(5.d) Résolu­tion et dis­cus­sion des équa­tions $\text{(5.4)}$ et $\text{(5.6)}$.

(5.d.1) Résolvons tout d’abord l’équa­tion $\text{(5.4)}$, en com­mençant par $\text{(5.5)}$. Po­sons: $${\mathcal{N}}_k=\{\frac{X_{t_k}-X_{t_{k-1}}}{t_k-t_{k-1}}\}\text{et}{\xi }_k=\frac{B_{t_k}-B_{t_{k-1}}}{t_k-t_{k-1}}.$$ On voit, d’après $\text{(5.5)}$, que l’on a: $$\begin{array}{}\text{(5.7)}& \exp (2i\pi {\mathcal{N}}_{k+1})=\exp (2i\pi {\xi }_{k+1})\exp (2i\pi {\mathcal{N}}_k)\end{array}$$ qui est une équa­tion (de récur­rence) sur le tore.

Il n’est pas dif­fi­cile de montrer que: pour tout $p\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$, $$E[\exp (2i\pi p{\mathcal{N}}_k)]=0,$$ puis de ren­for­cer ce résul­tat en: $$\begin{array}{}\text{(5.8)}& E[\exp (2i\pi p{\mathcal{N}}_k)|\mathcal{B}]=0,\end{array}$$ où $\mathcal{B}$ désigne la tribu (glob­ale) en­gendrée par le mouvement browni­en. Ain­si, d’après $\text{(5.8)}$, ${\mathcal{N}}_k$ est uni­formément dis­tribuée sur $[0,1]$, et indépendante de $\mathcal{B}$.

(5.d.2) Dis­cutons main­ten­ant de l’équa­tion $\text{(5.6)}$, ce qui re­vi­ent à démontrer le théorème 5.1. Pour cela (voir [24] pour les détails), on reprend avec soin l’équa­tion de récur­rence $\text{(5.5)}$, puis selon les valeurs de $p_{\mu }$, on par­vi­ent sans trop de dif­fi­cultés à la dis­cus­sion en 3 points ($=$ tri­cho­tomie) du théorème 5.2.

(5.e) Et­ude sur un groupe com­pact.
En un sens, l’équa­tion $\text{(5.6)}$ — qui re­présente la “sque­lette” de l’équa­tion de Tsirel’son $\text{(5.4)}$ — est une équa­tion “hy­bride”, avec des vari­ables pren­ant leurs valeurs sur $\mathbb{R}$ ou sur le tore… On s’est ra­mené en $\text{(5.7)}$ à une équa­tion sur le tore, ce qui a per­mis fi­nale­ment de résoudre l’équa­tion hy­bride $\text{(5.6)}$.

Cette re­marque a amené à considérer de façon générale l’équa­tion: $$\begin{array}{}\text{(5.9)}& {\eta }_{k+1}={\xi }_{k+1}{\eta }_k,k\in -\mathbb{N},\end{array}$$ sur un groupe com­pact $G$, où la suite $({\xi }_k{)}_{k\in -\mathbb{N}}$ re­présent­ant l’évo­lu­tion est con­stituée de vari­ables indépendantes de lois ${\mu }_k$ données.

Une dis­cus­sion com­plète de $\text{(5.9)}$ a été faite en [e50] et [e55]; in­diquons par ex­emple que toute solu­tion de $\text{(5.9)}$ peut être ob­tenue à partir d’une solu­tion ex­trêmale $({\eta }_k^{(0)}{)}_{k\in -\mathbb{N}}$ (parmi l’en­semble des solu­tions — en loi — de $\text{(5.9)}$ de la façon suivante: $$({\eta }_k{)}_k\stackrel{\text{(loi)}}{=}({\eta }_k^{0}V{)}_k,$$ où $V$ est une vari­able à valeurs dans $G$, indépendante de $({\eta }_k^0)$.

(5.f) Quelques réflex­ions mathématico-philo­sophiques…
Le mouvement browni­en (et son ac­tion), plus générale­ment le bruit blanc $({\xi }_k{)}_{k\in -\mathbb{N}}$ re­présen­tent l’ac­tion de l’Être suprème (ou de l’évo­lu­tion…util­isez le ter­me que vous préférez…). Pour connaître l’état du monde au­jourd’hui, en l’in­stant $k$, j’ai accès à l’état du monde dans le passé, c’est-à-dire jusqu’en: $k-n_k$, $n_k$ aug­ment­ant avec $k$, au fur et à mesure des tech­niques mo­d­ernes d’in­vest­ig­a­tion, et aus­si com­ment l’évo­lu­tion a trans­formé cet état, en les in­stants $k-n_k+1$, $k-n_k+2,\dots ,k-1$, pour par­venir jusqu’à l’in­stant $k$ au­jourd’hui.

Nous avons pu déter­miner tous les cas pos­sibles — c’est l’ob­jet du théorème 5.2 — selon des critères port­ant sur le bruit blanc $({\xi }_k{)}_{k\in -\mathbb{N}}$. Néan­moins, cette dis­cus­sion ex­haust­ive me laisse tou­jours dans l’ex­pect­at­ive, car je ne sais pas le­quel de ces critères est véri­fié…Dit d’une autre façon: les règles de l’évo­lu­tion au­jourd’hui, en l’in­stant $k$, ne me sont con­nues qu’entre les in­stants $(k-n_k)$ et $k$. Je ne puis donc inférer (au mieux!) que les lois de ${\xi }_{k-n_k}$, ${\xi }_{k-n_{k+1}},\dots ,{\xi }_k$, et je ne sais donc pas le­quel des critères sur la suite $({\xi }_j)$ est sat­is­fait.

Cette dis­cus­sion mathématique dans laquelle on es­saie de modéliser “toute l’his­toire” (à pren­dre avec une pincée de mod­estie!) me semble em­blématique: les mathématiques per­mettent de décri­re tous les pos­sibles, mais le mystère des ori­gines reste en­ti­er!

(6.a) Le mouvement browni­en plan $(Z_t,t\ge 0)$, issu de $z_0\ne 0$, ne vis­ite pr­esque sûre­ment pas le point 0. (On peut bi­en sûr changer le couple $(z_0,0)$ en $(a,b)$, avec $a\ne b$). Ce résul­tat (de po­lar­ité des points pour $Z$) est dû à Paul Lévy, qui, plus générale­ment, a établi l’in­vari­ance con­forme du mouvement browni­en plan (vers 1943); de façon précise, si $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ est holo­morphe, et non con­stante, il ex­iste al­ors un second mouvement browni­en plan $({\hat{Z}}_s,s\ge 0)$ tel que: $$\begin{array}{}\text{(6.1)}& f(Z_t)={\hat{Z}}_{{\int }_0^{t}du|f^{\prime }(Z_u){|}^2},t\ge 0.\end{array}$$

Pren­ons par ex­emple $f(z)=\exp (z)$; al­ors, la for­mule $\text{(6.1)}$ devi­ent, en écrivant $X_t=\mathrm{Re}(Z_t)$: $$\begin{array}{}\text{(6.2)}& \exp (Z_t)={\hat{Z}}_{{\int }_0^{t}du\exp (2X_u)}.\end{array}$$ Ain­si, le mouvement browni­en plan $({\hat{Z}}_h,h\ge 0)$, issu de $\hat{z}=\exp (z_0)$ ne vis­ite pr­esque sûre­ment pas le point 0, puisque $\hat{Z}$ peut s’écri­re, à un change­ment de temps près sous forme ex­po­nen­ti­elle: le membre de gauche de $\text{(6.2)}$.

Cette démon­stra­tion lu­mineuse de la po­lar­ité des points pour le mouvement browni­en plan a été donnée par B. Dav­is [e21], qui, dans le même art­icle donne une démon­stra­tion à l’aide du mouvement browni­en plan du “grand théorème de Pi­card”: $f(\mathbb{C})$, l’im­age de $\mathbb{C}$ par $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, fonc­tion entière, est $\mathbb{C}$ tout en­ti­er, privé d’un point au plus.

Depuis lors, on ne compte plus les ap­plic­a­tions de la pro­priété d’in­vari­ance con­forme du mouvement browni­en plan, soit pour étab­lir des pro­priétés du mouvement browni­en plan lui-même, ou de pro­ces­sus qui s’y rat­tachent (par ex­emple: les célèbres pro­ces­sus SLE), soit pour don­ner des démon­stra­tions browni­ennes de théorèmes port­ant sur les fonc­tions méro­morph­es (ex­emple: les théorèmes de Nevan­linna, re­vis­ités par K. Carne [e28], et d’autres auteurs: At­suji [e39], [e43], Gruet [e52]).

(6.b) Ven­ons-en main­ten­ant plus précisément au sujet de ce thème: l’étude (en fait asymp­totique, lor­sque $t\to \mathrm{\infty }$) des nombres de tours de $(Z_u,u\le t)$ lor­sque $Z_0=z_0$ au­tour d’un nombre fini de points $(z_1,\dots ,z_n)$ avec $z_i\ne z_j,0\le i<j\le n$. On note $({\theta }_t^{z_i},t\ge 0)$ une déter­min­a­tion con­tin­ue du nombre de tours de $(Z_u,u\le t)$ lor­sque $t$ var­ie, au­tour de $z_i(1\le i\le n)$.

Cette étude com­mence en 1958 avec 2 résul­tats ap­par­em­ment très différents.

1. F. Spitzer [e5] montre que: $$\frac{2}{\log t}{\theta }_t^{z_i}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\stackrel{\text{loi}}{⟶}}{\mathcal{C}}_i,$$ où ${\mathcal{C}}_i$ est une vari­able de Cauchy stand­ard.
2. Har­ris et Rob­bins [e4] montrent que, si $f:\mathbb{C}\to \mathbb{R}$ est bornée, à sup­port com­pact (pour sim­pli­fi­er), al­ors: $$\frac{1}{\log t}{\int }_0^{t}dsf(Z_s)\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\stackrel{\text{loi}}{⟶}}(\frac{\bar{f}}{2\pi })\mathcal{E},$$ où $\mathcal{E}$ désigne une vari­able ex­po­nen­ti­elle, d’espérance 1, et $\bar{f}=\int dxdyf(z)$. En fait, ces 2 résul­tats peuvent être présentés con­jointe­ment, ain­si que la con­ver­gence en loi de $$\frac{2}{\log t}({\theta }_t^{z_1},\dots ,{\theta }_t^{z_n})$$ lor­sque $t\to \mathrm{\infty }$.

Pour ne pas présenter trop rap­idement un résul­tat très glob­al, com­mençons par une étude asymp­totique avec “un point de base”; cf. Mes­su­lan–Yor [7].

(6.c) Ce théorème 6.1 est très loin de présenter une vis­ion glob­ale des résul­tats asymp­totiques port­ant sur les fonc­tion­nelles du mouvement browni­en plan. Il présente, “au con­traire”, en ce qui con­cerne tout au moins l’asymp­totique des nombres de tours, le “début” de l’his­toire dans les années 80; cf. l’art­icle de présen­t­a­tion à mi-course de Pit­man–Yor [9]. Le pan­or­ama plus glob­al, à la fin des années 80, fig­ure dans Pit­man–Yor [17].

No­tons, pour il­lustrer ce derni­er résul­tat que, si tous les $({\lambda }_j)$ sont de même signe, al­ors la fonc­tion ca­ra­ctéristique con­jointe ci-des­sus est égale à: $$\exp (-\sum _{j=1}^n|{\lambda }_j|)$$ ce qui pour­rait don­ner l’il­lu­sion que les $W_j$ sont indépendantes. Il n’en est pas ain­si tou­jours par in­spec­tion de la même fonc­tion ca­ra­ctéristique, cette fois-ci avec un point générique $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)\in {\mathbb{R}}^n$.

(6.d) Le théorème 6.2 ci-des­sus donne une idée de l’uni­fic­a­tion des théorèmes lim­ites de fonc­tion­nelles du mouvement browni­en plan, i.e: uni­fic­a­tion des théorèmes de Spitzer et Har­ris–Rob­bins (cf. (6.a) ci-des­sus). On trouvera dans Hu–Yor [32] une présen­t­a­tion systématique de cet ef­fort d’uni­fic­a­tion.

(6.e) Le théorème 6.2 ne tient compte que de l’as­pect ho­mo­lo­gique des nombres de tours, c’est-à-dire qu’il ne tient pas compte de la façon dont le “mot” des tours suc­ces­sifs au­tour des différents points s’est formé, c’est-à-dire l’as­pect ho­mo­to­pique. Plusieurs études, pro­fondes et dif­fi­ciles, de cet as­pect ho­mo­to­pique ont été menées (cf. [e26], [e36]).

(6.f) Ces études ap­pro­fon­dies des nombres de tours du mouvement Browni­an plan m’ont per­mis d’abor­der — de façon éton­nante — les études de fonc­tion­nelles ex­po­nen­ti­elles du mouvement browni­en.