Celebratio Mathematica

Les matrices aléatoires furent considérées par Eugène Wign­er comme paradigme pour les niveaux d’éner­gie d’une large classe de systèmes quantiques. Sa vis­ion d’uni­ver­salité de ces spectres stochastiques a dépassé les espérances: les stat­istiques de matrices de Wign­er ap­par­ais­sent au­jourd’hui not­am­ment dans des do­maines tels le chaos quantique, les modèles de crois­sance, les polymères aléatoires et l’arithmétique.

Souvent, l’élar­gisse­ment de cette classe d’uni­ver­salité s’est ef­fectué via de nou­velles struc­tures intégrables, syn­onymes d’égalités en loi éton­nantes.1 À ce titre, les matrices aléatoires furent un centre d’at­trac­tion et d’ac­tion naturel pour Marc Yor. Son intérêt se doublait d’un en­viron­nement idéal au Labor­atoire de Prob­ab­ilités et de Modèles Aléatoires, en­viron­nement auquel con­tribuèrent not­am­ment Phil­ippe Bi­ane, Phil­ippe Bouger­ol, Mar­ie-France Bru, Cath­er­ine Donati-Mar­tin, Thi­erry Jeulin et Neil O’Con­nell.

Parmi les con­tri­bu­tions de Marc Yor en matrices aléatoires on peut citer par ex­emple l’ana­lyse des pro­ces­sus de Wis­hart, des tra­jectoires de matrices de corréla­tion qui généralis­ent les pro­ces­sus de Bessel. L’étude de ces pro­ces­sus mat­ri­ciels fut initiée par Mar­ie-France Bru [e10]. Dans un trav­ail com­mun avec Cath­er­ine Donati-Mar­tin, Yan Dou­merc et Hiroy­uki Mat­sumoto [7], Marc Yor a prouvé que de nom­breuses pro­priétés re­marquables des pro­ces­sus de Bessel se généralis­ent au cas Wis­hart. Par ex­emple les pro­ces­sus de Wis­hart de di­men­sions différentes véri­fi­ent des re­la­tions d’ab­solue con­tinu­ité, où ap­par­ais­sent des lois de Hart­man–Wat­son général­isées. Ces lois ont des ap­plic­a­tions en stat­istiques et mathématiques fin­ancières.

Marc Yor était aus­si motivé par l’ap­par­i­tion de stat­istiques de matrices aléatoires en théorie des nombres. Il était en par­ticuli­er ad­mir­at­if de la con­jec­ture de Keat­ing et Snaith [e14] qui lie les mo­ments de la fonc­tion $\zeta$ le long de l’axe cri­tique à un cal­cul ana­logue pour la mesure de Haar sur le groupe unitaire. Ce cal­cul fut ini­tiale­ment ac­com­pli grâce à une for­mule de Sel­berg. Marc Yor dev­ina dans cette for­mule l’ap­par­i­tion de l’algèbre beta-gamma, ini­ti­ant ain­si une preuve géométrique et prob­ab­il­iste des intégrales de Sel­berg: le polynôme ca­ra­ctéristique de matrices aléatoires sur les groupes com­pacts classiques est un produit de vari­ables aléatoires indépendantes [8]. Ceci soulève la ques­tion d’une hy­pothétique décom­pos­i­tion ana­logue en théorie ana­lytique des nombres.

Cette note décrit un autre as­pect2 des travaux de Marc Yor en matrices aléatoires, les li­ens mystérieux avec les modèles de polymères, où ap­par­ais­sent des égalités en loi aux faux airs de simples curi­os­ités, en vérité fécondes. Plus précisément, la solu­tion d’un problème de plus long chemin en mi­lieu aléatoire (per­col­a­tion de derni­er pas­sage) est liée aux valeurs pro­pres ex­trêmes de matrices aléatoires (mouvement browni­en de Dys­on). Cette égalité en loi a eu de nom­breuses ex­ten­sions, not­am­ment une ver­sion ex­po­nen­ti­elle (i.e. à températ­ure pos­it­ive) qui est à la source d’un cer­tain nombre de pro­grès récents dans l’ana­lyse d’EDP stochastiques non linéaires.

Le tableau suivant résume des con­tri­bu­tions de Marc Yor sur ce sujet. La première est la découverte, avec Hiroy­uki Mat­sumoto, d’une contre­partie ex­po­nen­ti­elle au théorème de Pit­man: pour la première fois la pro­priété de Markov ap­paraît dans un modèle de polymère, à n’im­porte quelle températ­ure. En grande di­men­sion, Neil O’Con­nell et Marc Yor ont prouvé un résul­tat ana­logue à températ­ure nulle. Par­allèlement, ils ont in­troduit un modèle de polymère à températ­ure finie, pour le­quel Neil O’Con­nell a mon­tré une re­marquable ex­ten­sion de la pro­priété markovi­enne de Mat­sumoto–Yor. Ces modèles intégrables sont au­jourd’hui l’un des meil­leurs accès à l’ana­lyse quant­it­at­ive de l’équa­tion de Kardar, Par­isi et Zhang.

	Températ­ure 0	Températ­ure pos­it­ive
Pro­ces­sus markovi­en en	Pit­man	Mat­sumoto–Yor
petite di­men­sion
Pro­ces­sus markovi­en en	O’Con­nell–Yor	O’Con­nell
grande di­men­sion
Mesure as­sociée	Per­col­a­tion de derni­er	Polymère d’O’Con­nell–Yor
	pas­sage

Au fil des preuves des résul­tats ci-des­sus s’en­tr­emêlent physique stat­istique, mathématiques fin­ancières, grossisse­ments de fil­tra­tions, files d’at­tente, fonc­tions spéciales et systèmes intégrables, re­flétant je l’espère le chemin em­prunté par Marc Yor: la variété et la pro­fondeur de son sa­voir en cal­cul stochastique ont per­mis l’émer­gence d’iden­tités prob­ab­il­istes plus ac­tuelles que ja­mais.

Soit $(B_t{)}_{t\ge 0}$ un mouvement browni­en stand­ard et $S_t=\underset{0\le s\le t}{sup}{B}_s$ son max­im­um. Un fameux théorème de Paul Lévy as­sure que $(S_t-B_t{)}_{t\ge 0}$ est markovi­en3 Plus ex­acte­ment, ce pro­ces­sus a la même dis­tri­bu­tion que $(|B_t|{)}_{t\ge 0}$, un résul­tat démon­tré habituelle­ment par l’as­tuce du prin­cipe de réflex­ion. Peut-on com­pren­dre ce ca­ra­ctère markovi­en sans cette as­tuce, stricte­ment grâce au cal­cul stochastique? Une pos­sib­ilité con­siste à in­troduire la ver­sion ex­po­nen­ti­elle du pro­ces­sus $(S_t-B_t{)}_{t\ge 0}$, $$X_t^{(\beta )}={\int }_0^t{e}^{\beta (B_s-B_t)}\mathrm{d}s.$$ Par la méthode de Laplace, on ret­rouve $S_t-B_t$ à partir de ${\beta }^{-1}\log X_t^{(\beta )}$ quand $\beta$ tend vers l’in­fini. La for­mule d’Itô donne $$\mathrm{d}{X}_t^{(\beta )}=-\beta X_t^{(\beta )}\mathrm{d}{B}_t+(1+{\beta }^2{X}_t^{(\beta )}/2)\mathrm{d}t.$$ On con­clut immédiate­ment que $(X_t^{\beta }{)}_{t\ge 0}$ est markovi­en, donc le pro­ces­sus $(S_t-B_t{)}_{t\ge 0}$ l’est aus­si en fais­ant tendre $\beta$ vers l’in­fini.

Fin de l’his­toire? Vraiment pas. Il ex­iste une autre com­binais­on linéaire markovi­enne de $B$ et $S$, comme l’a mon­tré Jim Pit­man [e3]: $$(2S_t-B_t{)}_{t\ge 0}\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}(R_t{)}_{t\ge 0},$$ où $R$ est un pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 3, c’est-à-dire la dis­tance eu­c­lidi­enne entre l’ori­gine et un point de ${\mathbb{R}}^3$ aux co­or­données browni­ennes indépendantes. Le pro­ces­sus $R$ est aus­si un mouvement browni­en de di­men­sion 1 con­di­tionné à rest­er pos­i­tif. Il sat­is­fait l’équa­tion différen­ti­elle stochastique $\mathrm{d}{R}_t=\mathrm{d}{B}_t+R_t^{-1}\mathrm{d}t$, en par­ticuli­er il est markovi­en. Parmi les com­binais­ons linéaires de $B$ et $S$, celles de Lévy et Pit­man sont les deux seules ay­ant cette re­marquable pro­priété [e20].

Il est tentant de sup­poser que la ver­sion ex­po­nen­ti­elle de la com­binais­on linéaire de Pit­man, $$Z_t^{(\beta )}={\int }_0^t{e}^{\beta (2B_s-B_t)}\mathrm{d}s$$ est égale­ment markovi­enne. Par pro­priété de scal­ing du mouvement browni­en, on peut re­streindre l’étude à $\beta =1$. On peut aus­si poser la même ques­tion lor­sque $B$ est re­m­placé par sa ver­sion avec dérive, $B_t^{\mu }=B_t+\mu t$ (le théorème de Pit­man ad­met une ex­ten­sion dans cette dir­ec­tion [e7]). Mal­heureuse­ment, la for­mule d’Itô seule ne donne guère d’es­poir: $$\begin{array}{}\text{(1.1)}& \mathrm{d}{Z}_t^{\mu }=-Z_t^{\mu }\mathrm{d}{B}_t+(e^{B_t^{\mu }}+\frac{1}{2}{Z}_t^{\mu }-\mu Z_t^{\mu })\mathrm{d}t,\text{où}{Z}_t^{\mu }={\int }_0^t{e}^{2B_s^{\mu }-B_t^{\mu }}\mathrm{d}s.\end{array}$$ La méthode semble échouer, mais bizar­re­ment le résul­tat de­meure.

Les asymp­totiques de $K_0$ et la pro­priété de scal­ing per­mettent al­ors de montrer que le générat­eur de $\frac{1}{\beta }\log Z_t^{(\beta )}$ con­verge vers ${\partial }_{xx}/2+x^{-1}{\partial }_x$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$, on ret­rouve donc le théorème de Pit­man. Il ex­iste désor­mais de nom­breuses démon­stra­tions du théorème de Mat­sumoto–Yor [2], [e18], [e23], y com­pris une récente in­ter­préta­tion géométrique de ce pro­ces­sus sur des es­paces symétriques de grande di­men­sion [e27]. La preuve ori­ginelle [3] est es­quissée ci-des­sous, pour soulign­er l’ex­traordin­aire di­versité des tech­niques em­ployées.

1er in­grédi­ent: pro­jec­tion d’équa­tion différen­ti­elle stochastique. Soit ${\mathcal{Z}}_t^{\mu }=\sigma ((Z_s^{\mu }{)}_{0\le s\le t}).$ On peut pro­jeter $\text{(1.1)}$ sur la fil­tra­tion $({\mathcal{Z}}_t^{\mu })$ (voir par ex­emple [e4]), de fa­con à ob­tenir, pour un cer­tain $({\mathcal{Z}}_t^{\mu })$-mouvement browni­en $({\beta }_t{)}_{t\ge 0}$, $$\mathrm{d}{Z}_t^{\mu }=-Z_t^{\mu }\mathrm{d}{\beta }_t+(\frac{1}{2}-\mu )Z_t^{\mu }\mathrm{d}t+\mathbb{E}(e^{B_t^{\mu }}\mid (Z_s^{\mu }{)}_{0\le s\le t})\mathrm{d}t.$$ Ain­si, si $\mathbb{E}(e^{B_t^{\mu }}\mid (Z_s^{\mu }{)}_{0\le s\le t})$ ne dépend en vérité que de $Z_t^{\mu }$, al­ors le pro­ces­sus $(Z_t^{\mu })$ est markovi­en. Ceci semble peu prob­able, mais Marc Yor a rap­proché ce problème d’une iden­tité en loi au par­fum semblable.

2ème in­grédi­ent: une iden­tité re­marquable motivée par l’ac­tu­ar­iat. Il s’agit de l’ex­ten­sion, tou­jours par Mat­sumoto et Yor [3] d’un résul­tat de Daniel Du­fresne [e9] con­cernant les perpétu­ités. Ce résul­tat est le théorème 4.1 de l’art­icle de Cath­er­ine Donati-Mar­tin et Frédérique Petit dans ce volume: en not­ant $A_t^{\nu }:={\int }_0^t{e}^{2B_s^{\nu }}\mathrm{d}s$, pour tout $\mu >0$ on a $$\frac{1}{A_{\mathrm{\infty }}^{-\mu }}\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}2G_{\mu },$$ où $G_{\mu }$ désigne une vari­able aléatoire de loi gamma de paramètre $\mu$. Daniel Du­fresne [e17] a étendu son iden­tité en montrant que pour tout $t>0$ donné, $$\begin{array}{}\text{(1.2)}& \frac{1}{A_t^{-\mu }}\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}\frac{1}{A_t^{\mu }}+2G_{\mu }\end{array}$$ où $G_{\mu }$ est indépendant du mouvement browni­en $B$. Cette égalité à temps fixe s’étend aux pro­ces­sus, comme l’ont mon­tré Mat­sumoto et Yor [3].

3ème in­grédi­ent: grossisse­ment de fil­tra­tion. La preuve de [3] re­pose sur la très utile théorie des grossisse­ments de fil­tra­tion, large­ment déve­loppée par Jeulin [e6] et dont les premi­ers as­pects re­mon­tent à Itô [e5]. En par­ticuli­er, pour un grossisse­ment ini­tial de fil­tra­tion, on a le résul­tat suivant [1].

Si $({\mathcal{F}}_t)$ est la fil­tra­tion naturelle d’un mouvement browni­en $B$ et $L$ est ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$-mesur­able, on note $\widetilde{{\mathcal{F}}_t}={\mathcal{F}}_t\vee \sigma (L)$. Pour toute fonc­tion $f$ rais­on­nable, soit $${\lambda }_t(f)=\mathbb{E}(f(L)\mid {\mathcal{F}}_t)=\mathbb{E}(f(L))+{\int }_0^t{\dot{\lambda }}_s(f)\mathrm{d}{B}_s,$$ où ${\dot{\lambda }}_f(t)$ est un cer­tain pro­ces­sus prévis­ible, par re­présen­t­a­tion des mar­tin­gales. On peut aus­si écri­re ${\lambda }_t(f)=\int f(x){\lambda }_t(\mathrm{d}x)$ pour une cer­taine fa­mille prévis­ible de mesur­es $({\lambda }_t)$. On sup­pose que ${\dot{\lambda }}_t(f)$ ad­met le même type de décom­pos­i­tion: ${\dot{\lambda }}_t(f)=\int f(x){\dot{\lambda }}_t(\mathrm{d}x)$, où ${\dot{\lambda }}_t$ est ab­so­lu­ment con­tin­ue par rap­port à ${\lambda }_t$: ${\dot{\lambda }}_t(\mathrm{d}x)=\varrho (x,t){\lambda }_t(\mathrm{d}x)$. Al­ors si $(X_t)$ est une $({\mathcal{F}}_t)$-mar­tin­gale sat­is­fais­ant de bonnes con­di­tions d’intégrabilité, $${\tilde{X}}_t:=X_t-{\int }_0^t\varrho (L,s)\mathrm{d}⟨X,B{⟩}_s$$ défi­nit une $(\widetilde{{\mathcal{F}}_t})$-mar­tin­gale.

On laisse au lec­teur le soin d’ap­pli­quer ce résul­tat pour montrer que, lor­sque $L=A_{\mathrm{\infty }}^{-\mu }$, le nou­veau pro­ces­sus $${\tilde{B}}_t=B_t-{\int }_0^t(\frac{e^{2B_s^{-\mu }}}{A_{\mathrm{\infty }}^{-\mu }-A_s^{-\mu }}-2\mu )\mathrm{d}s$$ est un $(\widetilde{{\mathcal{F}}_t})$ mouvement browni­en, indépendant de $A_{\mathrm{\infty }}^{-\mu }$. La résolu­tion de cette équa­tion d’in­con­nue la fonc­tion $B$ donne $$B_t-\mu t={\tilde{B}}_t+\mu t-\log (1+{\tilde{A}}_t^{(\mu )}/A_{\mathrm{\infty }}^{-\mu })$$ pour tout $t\ge 0$. En ap­pli­quant $f\mapsto {\int }_0^t{e}^{2f(s)}\mathrm{d}s$ à ces deux fonc­tions on ob­tient, pour tout $t\ge 0$, $$(\frac{1}{A_t^{-\mu }}{)}_{t\ge 0}=(\frac{1}{{\tilde{A}}_t^{(\mu )}}+\frac{1}{A_{\mathrm{\infty }}^{-\mu }}{)}_{t\ge 0}.$$ Ceci con­clut la preuve de $\text{(1.2)}$, car $\tilde{B}$ est indépendant de $A_{\mathrm{\infty }}^{-\mu }$, de dis­tri­bu­tion voulue grâce à Du­fresne.

4ème in­grédi­ent: une équa­tion stochastique fonc­tion­nelle. On peut donc dériver $\text{(1.2)}$ en $t$ pour ob­tenir, con­jointe­ment avec la valeur en $+\mathrm{\infty }$, $$((\frac{1}{(Z_t^{-\mu }{)}^2}{)}_{t\ge 0},\frac{1}{A_{\mathrm{\infty }}^{-\mu }})\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}((\frac{1}{(Z_t^{\mu }{)}^2}{)}_{t\ge 0},2G_{\mu }).$$ En par­ticuli­er, $(Z_t^{-\mu }){)}_{t\ge 0}$ est indépendant de $A_{\mathrm{\infty }}^{-\mu }$.

Soit désor­mais $X$ une vari­able aléatoire de loi celle de $\exp (B_t^{-\mu })$ con­di­tion­nelle­ment à ${\mathcal{Z}}_t^{-\mu }$ et $Z_t^{-\mu }=z$. En util­is­ant l’indépendance précédente et la décom­pos­i­tion élémen­taire $$A_{\mathrm{\infty }}^{-\mu }=e^{B_t^{-\mu }}{Z}_t^{-\mu }+(e^{B_t^{-\mu }}{)}^2{\int }_t^{\mathrm{\infty }}{e}^{2(B_s^{-\mu }-B_t^{-\mu })}\mathrm{d}s,$$ on ob­tient fa­cile­ment une équa­tion fonc­tion­nelle stochastique sat­is­faite par $X$: $$(2G_{\mu }{)}^{-1}{X}^2+zX\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}(2G_{\mu }{)}^{-1},$$ où $G_{\mu }$ et $X$ sont indépendants. La résolu­tion de cette équa­tion fonc­tion­nelle pe­met d’ob­tenir $$\mathbb{E}(e^{B_t^{-\mu }}\mid (Z_s^{-\mu }{)}_{s\le t})=(K_{\mu +1}/K_{\mu })(1/Z_t^{-\mu }).$$ Des ma­nip­u­la­tions de fonc­tions de Bessel–Mac­don­ald con­clu­ent al­ors la preuve du théorème de Mat­sumoto–Yor pour une dérive négat­ive, résul­tat étendu à tout $\mu$ par pro­longe­ment ana­lytique, par ex­emple.

Les con­nec­tions entre problèmes de plus court (ou long) chemin en di­men­sion deux et valeurs ex­trêmes de valeurs pro­pres de matrices aléatoires sont ap­par­ues dans [e12], où Baik, Deift et Jo­hans­son ont mon­tré le résul­tat suivant. Soit $\ell (N)$ la lon­gueur de la plus longue sous-suite crois­sante d’une per­muta­tion uni­forme de $[[1,N]]$. Al­ors pour tout réel $t$ $$\begin{array}{}\text{(2.1)}& \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathbb{P}(\frac{\ell (N)-2\sqrt{N}}{N^{1/6}}\le t)={\mathrm{F}}_{\mathrm{TW}}(t),\end{array}$$ où ${\mathrm{F}}_{\mathrm{TW}}$ est la fonc­tion de répar­ti­tion de la loi de Tracy et Wi­dom, qui peut s’exprimer à l’aide des solu­tions d’équa­tions de Pain­levé II [e11].

Cette loi est ap­par­ue ori­ginelle­ment dans un con­texte de matrices aléatoires. Soit en ef­fet $H_N$ une matrice her­mi­tienne de taille $N\times N$, telle que $(H_N{)}_{ii}$, $\sqrt{2}\mathbb{R}e(H_N{)}_{ij}$ et $\sqrt{2}\mathrm{\Im }(H_N{)}_{ij}$ ($i>j$) sont gaussi­ennes indépendantes, de vari­ance $1/N$. Ce modèle de matrices aléatoires in­troduit par Wign­er est naturel, il est es­sen­ti­elle­ment unique­ment ca­ra­ctérisé par l’indépendance des en­trées et l’in­vari­ance par con­ju­gais­on unitaire. Si on or­donne les valeurs pro­pres de $H_N$, ${\lambda }_1\le \cdots \le {\lambda }_N$, al­ors on a aus­si la con­ver­gence $$\begin{array}{}\text{(2.2)}& \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathbb{P}(N^{2/3}({\lambda }_N-2)\le t)={\mathrm{F}}_{\mathrm{TW}}(t).\end{array}$$ Cette oc­cur­rence de la même loi dans un problème de plus court chemin $\text{(2.1)}$ et de matrices aléatoires $\text{(2.2)}$ a été depuis véri­fiée dans de nom­breux autres ex­emples (par ex­emple ce li­en est prouvé dans [e13] pour un modèle plus réal­iste de plus long chemin sur ${\mathbb{Z}}^2$).

Il semble fructueux de recherch­er une ex­ten­sion tem­porelle aux li­ens ci-des­sus. Par ex­emple, le modèle dy­namique classique de matrice aléatoire gaussi­enne suivant fut in­troduit dans [e2]: chaque en­trée de la matrice her­mi­tienne $H_N$ est désor­mais un mouvement browni­en com­plexe cor­recte­ment nor­malisé, les valeurs pro­pres restent or­données (${\lambda }_i(t)<\cdots <{\lambda }_N(t)$ pour tout $t>0$) et sat­is­font l’équa­tion différen­ti­elle stochastique autonome suivante, le mouvement browni­en de Dys­on: $$\mathrm{d}{\lambda }_k(t)=\frac{\mathrm{d}{B}_k(t)}{\sqrt{N}}+\frac{1}{N}\sum _{i\ne k}\frac{1}{{\lambda }_k(t)-{\lambda }_i(t)}\mathrm{d}t,$$ où $B_1,\dots B_N$ sont des mouve­ments browni­ens indépendants. Cette dy­namique de $\mathit{\lambda }=({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_N)$ co­in­cide avec celle de mouve­ments browni­ens indépendants con­di­tionnés à de­meurer dans $C_N=\{\mathit{\lambda }\in {\mathbb{R}}^N:{\lambda }_1\le \cdots \le {\lambda }_N\}$: le générat­eur in­fin­itésim­al est (à change­ment d’échelle près) $$\frac{\mathrm{\Delta }}{2}+\mathrm{\nabla }\log h\cdot \mathrm{\nabla }$$ où $h(\mathit{\lambda })=\prod _{1\le i<j\le N}({\lambda }_i-{\lambda }_j)$ est har­mo­nique dans $C_N$. Ex­iste-t-il un modèle dy­namique de per­col­a­tion de derni­er pas­sage de loi $({\lambda }_N(t){)}_{t\ge 0}$?

Pour ex­hiber un tel modèle, considérons de nou­veau $B_1(t),\dots ,B_N(t),t\ge 0$ une col­lec­tion de $N$ mouve­ments browni­ens indépendants, dont les ac­croisse­ments sont notés $B_k(s,t)=B_k(t)-B_k(s)$. La vari­able aléatoire $$\begin{array}{}\text{(2.3)}& M_t^N=\underset{0\le s_1\le \cdots \le s_{N-1}\le t}{max}(B_1(s_1)+B_2(s_1,s_2)+\cdots +B_N(s_{N-1},t))\end{array}$$ re­présente la solu­tion d’un problème d’op­tim­isa­tion du type derni­er pas­sage: le plus long chemin entre $(0,0)$ et $(t,N)$ pour un march­eur dont les seuls pas autor­isés sont dis­crets vers le nord, pour un coût nul, ou con­tinus vers l’est, pour un coût gaussi­en in­fin­itésim­al.

Pour $t$ fixé, les vari­ables aléatoires $M_t^N$ et ${\lambda }_t^N$ sont identique­ment dis­tribuées, comme l’ont mon­tré Bary­sh­nikov [e15], Gravn­er, Tracy and Wi­dom [e16]. La ver­sion dy­namique de ce résul­tat ap­paraît sim­ul­tanément dans les travaux de Bouger­ol et Jeulin [e19] (dans un con­texte de chambres de Weyl plus général) et ceux d’O’Con­nell et Yor [6]. À l’oc­ca­sion de leur étude, ces derniers ont in­troduit une ver­sion du problème $\text{(2.3)}$ à températ­ure ar­bit­raire, décrite dans la prochaine partie.

Aupara­v­ant, pour énon­cer leur résul­tat à températ­ure zéro, on aura be­soin des trans­form­a­tions suivantes. Pour toutes fonc­tions càdlàg sur ${\mathbb{R}}_{+}$ nulles à l’ori­gine, on défi­nit $$(f\otimes g)(t)=\underset{0\le s\le t}{inf}(f(s)+g(t)-g(s)),(f\odot g)(t)=\underset{0\le s\le t}{sup}(f(s)+g(t)-g(s)).$$ En l’ab­sence de par­enthèses, l’or­dre des opéra­tions est de gauche à droite (par ex­emple $f\odot g\otimes h=(f\odot g)\otimes h$). On défi­nit aus­si la trans­formée ${\mathrm{\Gamma }}_2(f,g)=(f\otimes g,g\odot f)$ et ses itérés: $$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Gamma }}_k(f_1,& \dots ,f_k)\\ & =(f_1\otimes f_2\otimes \cdots \otimes f_k,{\mathrm{\Gamma }}_{k-1}(f_2\odot f_1,f_3\odot (f_1\otimes f_2),\dots ,f_k\odot (f_1\otimes \cdots \otimes f_{k-1})))\end{array}$$ Si ${\mathrm{\Gamma }}_N(\mathbf{B}{)}_1$ désigne la première com­posante de ${\mathrm{\Gamma }}_N(\mathbf{B})$, ob­tenue lor­sque $f_1=B_1,\dots ,f_N=B_N$ sont des mouve­ments browni­ens indépendants is­sus de 0, al­ors $${\mathrm{\Gamma }}_N(\mathbf{B}{)}_1(t)=\underset{0\le s_1\le \cdots \le s_{N-1}\le t}{min}(B_1(s_1)+B_2(s_1,s_2)+\cdots +B_N(s_{N-1},t)).$$ Par symétrie, $-{\mathrm{\Gamma }}_N(\mathbf{B}{)}_1$ est dis­tribué comme le pro­ces­sus $M^N$.

Ce résul­tat cor­res­pond, quand $N=2$, au théorème de Pit­man. En ef­fet, d’un côté $R:=({\lambda }_2-{\lambda }_1)/\sqrt{2}$ est un mouvement browni­en con­di­tionné à rest­er pos­i­tif, i.e. un pro­ces­sus de Bessel en di­men­sion 3. D’un autre côté, un cal­cul donne $${\mathrm{\Gamma }}_2(f_1,f_2{)}_2-{\mathrm{\Gamma }}_2(f_1,f_2{)}_1=2m-x$$ où $x=f_2-f_1$ et $m(t)=\underset{0\le s\le t}{max}x(s)$.

La preuve du théorème re­pose sur la maîtrise et l’ap­pro­fon­disse­ment de résul­tats de files d’at­tente. On se donne ${\mathrm{N}}_1,\dots ,{\mathrm{N}}_N$ les fonc­tions de comptage de pro­ces­sus de Pois­son indépendants sur ${\mathbb{R}}_{+}$, d’in­tens­ités re­spect­ives ${\mu }_1<\cdots <{\mu }_N$. O’Con­nell et Yor ont mon­tré le résul­tat suivant.

La ver­sion Pois­son (O’Con­nell–Yor [6]) La loi con­di­tion­nelle de $\mathbf{N}=({\mathrm{N}}_1,\dots ,{\mathrm{N}}_N)$ sachant ${\mathrm{N}}_1(t)\le \cdots \le {\mathrm{N}}_N(t))$ pour tout $t\ge 0$ est la même que la loi, in­con­di­tion­nelle, de ${\mathrm{\Gamma }}_N(\mathbf{N})$.

On ret­rouve les li­ens entre mouvement browni­en de Dys­on et per­col­a­tion de derni­er pas­sage quand ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_N$ con­ver­gent vers une même in­tens­ité, puis en ap­pli­quant le théorème de Don­sker.

Pour com­pren­dre le résul­tat ci-des­sus con­cernant les pro­ces­sus de Pois­son, re­gar­dons le cas $N=2$, lié aux files d’at­tente de type $M/M/1$. Celles-ci sont con­stru­ites à partir de deux pro­ces­sus de Pois­son $A$ et $S$ sur $\mathbb{R}$ d’in­tens­ités re­spect­ives $0<\lambda <\mu$. On note $\chi (t)=\chi (0,t]$ pour tout pro­ces­sus ponc­tuel $\chi$. Soit $$\begin{array}{rl}Q(t)& =\underset{s\le t}{sup}(A(s,t]-S(s,t]{)}_{+},t\in \mathbb{R},\\ D(s,t]& =A(s,t]+Q(s)-Q(t).\end{array}$$ En ter­mes de file d’at­tente, le pro­ces­sus $A$ re­présente les ar­rivées, $S$ le ser­vice, $Q$ le nombre de cli­ents dans la queue et $D$ le pro­ces­sus des départs. Le théorème de Burke [e1] est le résul­tat suivant.

Théorème de Burke. $D$ est un pro­ces­sus de Pois­son d’in­tens­ité $\lambda$.

Une preuve de ce résul­tat est très simple et re­pose sur la révers­ib­ilité de $Q$: celle-ci im­plique que la loi de $(A,D)$ est la même que celle de $(\bar{D},\bar{A})$, où on défi­nit $\bar{\chi }(s,t)=\chi (-t,-s)$. En par­ticuli­er, $\bar{D}$ est un pro­ces­sus de Pois­son d’in­tens­ité $\lambda$, donc $D$ aus­si. O’Con­nell et Yor ont trouvé l’ex­ten­sion suivante, simple et très utile, où l’on note $U=S-D$ le pro­ces­sus de ser­vice non util­isé et $T=A+U$.

Ex­ten­sion du théorème de Burke. (O’Con­nell–Yor [6]) Les pro­ces­sus $D$ et $T$ sont des pro­ces­sus de Pois­son indépendants d’in­tens­ités re­spect­ives $\lambda$ et $\mu$.

En ef­fet, pour $Q$ donné, $U$ est un pro­ces­sus de Pois­son d’in­tens­ité $\mu$ sur $\{t:Q(t)=0\}$. Si $V$ est indépendant de $U$ con­di­tion­nelle­ment à $Q$, Pois­son d’in­tens­ité $\mu$ sur $\{t:Q(t)\ne 0\}$, al­ors $N=U+V$ est Pois­son d’in­tens­ité $\mu$ sur $\mathbb{R}$ indépendant de $Q$. Le couple $(A,S)$ est fonc­tion de $(Q,N)$: $(A,S)=f(Q,N)$. Al­ors par con­struc­tion $(\bar{D},\bar{T})=f(\bar{Q},\bar{N})$. Par révers­ib­ilité de $Q$ et $N$, $(\bar{D},\bar{T})$ a la même loi que $(A,S)$, donc $(D,T)$ aus­si.

L’ex­ten­sion du théorème de Burke donne une preuve limp­ide de la ver­sion Pois­son du théorème, quand $N=2$: la loi de $(A(t),S(t){)}_{t\ge 0}$, étant donné $A(t)\le S(t)$ pour tout $t\ge 0$, est la même que celle de $(D(t),T(t){)}_{t\ge 0}$ sachant $Q(0)=0$. Mais si $Q(0)=0$, al­ors $(D(t),T(t))={\mathrm{\Gamma }}_2(A,S)(t)$ pour tout $t\ge 0$. De plus les ac­croisse­ments de $A$ et $S$ sont indépendants, donc $({\mathrm{\Gamma }}_2(A,S)(t){)}_{t\ge 0}$ est indépendant de $Q(0)$. La loi de $(A(t),S(t){)}_{t\ge 0}$ étant donné $A(t)\le S(t)$ pour tout $t\ge 0$ est donc la même que celle, in­con­di­tion­nelle, de $({\mathrm{\Gamma }}_2(A,S)(t){)}_{t\ge 0}$.

L’ex­ten­sion du théorème de Burke donne donc en par­ticuli­er une ver­sion Pois­son du théorème de Pit­man, ain­si qu’une preuve élémen­taire de ce derni­er.

La preuve de la ver­sion Pois­son pour $N$ général re­pose sur une récur­rence et des ar­gu­ments semblables à ceux ci-des­sus.

Les polymères di­rigés en mi­lieu aléatoire furent in­troduits par Huse et Haley [e8]. Ils ont une dir­ec­tion dite tem­porelle im­posée et sont libres de bouger dans les autres di­men­sions. Le poids de Boltzmann donne la prob­ab­ilité de ret­rouver le polymère dans une cer­taine con­fig­ur­a­tion, il s’exprime à l’aide d’un hamiltoni­en qui dicte l’éner­gie d’une tra­jectoire $\pi$: $$\mathrm{d}{\mathbb{P}}_{\mathrm{Q}}(\pi )=\frac{1}{Z_{\mathrm{Q}}^{(\beta )}}{e}^{\beta H(\pi )}\mathrm{d}{\mathbb{P}}_0(\pi ),$$ où $\beta$ est la températ­ure in­verse, ${\mathbb{P}}_0$ une mesure sur les chemins indépendante du hamiltoni­en $H$ et des aléas qui le défin­is­sent. L’in­dice Q men­tionne qu’il s’agit d’une loi de type quenched, c’est-à-dire dépendant du choix du mi­lieu aléatoire.

Le croise­ment des résul­tats de Mat­sumoto–Yor et d’O’Con­nell–Yor suggère que cer­tains modèles de polymères, à températ­ure ar­bit­raire, pour­raient s’in­ter­préter comme com­posantes de dif­fu­sions markovi­ennes de di­men­sion finie. Cette idée fut ren­forcée par la découverte d’ana­logues de la pro­priété de Burke [5] dans le cas de modèles de type Mat­sumoto–Yor. En par­ticuli­er, dans [5] O’Con­nell et Yor in­troduis­ent le modèle de polymère avec fonc­tion de par­ti­tion $$Z_t^{(N,\beta )}={\int }_{0<s_1<\cdots <s_{N-1}<t}{e}^{\beta (B_1(s_1)+B_2(s_1,s_2)+\cdots +B_N(s_{N-1},t))}\mathrm{d}{s}_1\dots \mathrm{d}{s}_{N-1},$$ où $B_1,\dots ,B_N$ sont des mouve­ments browni­ens indépendants. Parmi les nom­breux résul­tats con­cernant ce modèle, les asymp­totiques de l’éner­gie libre ($\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{N}^{-1}\log Z_t^{(N,\beta )}$) peuvent être cal­culées [5], [e22], ain­si que ses fluc­tu­ations [e30]. Pour com­pren­dre ses fluc­tu­ations jointes en $t$, peut-on in­ter­préter ce polymère comme co­or­donnée d’un pro­ces­sus de Markov ex­pli­cite, de façon sim­il­aire à la partie précédente ($\beta =\mathrm{\infty }$)?

Neil O’Con­nell a récem­ment ap­porté une belle réponse à cette ques­tion: les iden­tités en loi de Marc Yor n’ont pas fini d’être éten­dues et in­flu­entes. Pour décri­re le résul­tat prin­cip­al de [e24], on défi­nit au préal­able $\phi$, un chemin nord/est comme une ap­plic­a­tion crois­sante et sur­ject­ive de $[0,t]$ and $[[1,N]]$, dont les sauts ont lieu à des in­stants $s_1<s_2<\cdots <s_{N-1}$. On util­ise l’abrévi­ation $$E(\phi )=B_1(s_1)+B_2(s_1,s_2)+\cdots +B_N(s_{N-1},t)$$ et on peut im­poser $\beta =1$ sans perte de généralité, par scal­ing browni­en. Le polymère d’O’Con­nell–Yor cor­res­pond à la première co­or­donnée ($n=1$) du modèle $$Z_{n,t}^{(N)}={\int }_{D_n(t)}{e}^{\sum _{i=1}^{n}E({\phi }_i)}\mathrm{d}{\phi }_1\dots \mathrm{d}{\phi }_n,$$ où $D_n(t)$ est l’en­semble des $n$-up­lets de chemins $({\phi }_1,\dots ,{\phi }_n)$ dis­joints, démar­rant à $(0,1),\dots ,(0,n)$ et fin­is­sant en $(t,N-n+1),\dots ,(t,N)$. La mesure $\mathrm{d}{\phi }_1\dots \mathrm{d}{\phi }_n$ est la mesure de Le­besgue sur le do­maine eu­c­lidi­en $D_n(t)$.

On défi­nit al­ors $$X_{n,t}^N=\log (\frac{Z_{n,t}^N}{Z_{n-1,t}^N}).$$

Le polymère d’O’Con­nell–Yor est donc ob­tenu via une trans­formée de Doob du mouvement browni­en. Il est im­possible dans cette note de soulign­er de façon com­plète l’in­flu­ence de ces modèles de polymères (en par­ticuli­er leur ca­ra­ctère markovi­en). Voici néan­moins quelques avancées sig­ni­fic­at­ives très récen­tes que l’on peut situer dans la généalo­gie de Mat­sumoto–Yor.

1. Le polymère d’O’Con­nell–Yor con­verge, après une bonne nor­m­al­isa­tion, vers la solu­tion de l’équa­tion KPZ au sens Hopf–Cole, c’est-à-dire le log­ar­ithme de la solu­tion de l’équa­tion de la chaleur stochastique (avec comme con­di­tion ini­tiale un Dir­ac) [e29].
2. Cette con­ver­gence a ain­si per­mis de montrer que la solu­tion de l’équa­tion de Kardar Par­isi et Zhang (tou­jours au sens précédent, avec une con­di­tion ini­tiale spéci­fique) hérite de la re­la­tion d’ab­solue con­tinu­ité du pro­ces­sus d’O’Con­nell par rap­port à la mesure de Wien­er [e26].
3. Ch­haibi [e25] a général­isé le théorème précédent à une grande classe de groupes de Lie. Pour cette théorie générale qui im­plique trans­form­a­tion de Pit­man géométrique, théorie des re­présen­t­a­tions et cristaux géomet­riques, voir [e21], [e25].
4. Rider et Valkó ont en­tre­pris l’ex­ten­sion des résul­tats de Du­fresne, Mat­sumoto et Yor pour des pro­ces­sus mat­ri­ciels de type Wis­hart [e28].