Sur quelques uns des premiers travaux de Marc Yor ou un Balzac des probabilités
by Michel Émery
Le hasard est le plus grand
romancier du monde:
pour être fécond, il n’y a qu’à l’étudier.
– Balzac, Avant-propos à la Comédie humaine.
Étudier le hasard suffit pour être fécond…lorsque l’on est Balzac — ou Yor!
Ce n’est pas seulement par sa fécondité que Marc Yor m’évoque Balzac,
mais aussi parce que, tels les personnages de la Comédie humaine,
les nombreux thèmes récurrents dans son œuvre foisonnante
s’entrelacent dans un ballet brownien qui tantôt les éloigne et tantôt
les rapproche, les faisant sans cesse resurgir
dans un renouvellement imprévisible.
Sa porte ouverte à tous, Marc était incroyablement disponible,
toujours prêt à faire profiter un débutant ou un collègue de ses
nombreuses découvertes
et de son érudition phénoménale. Mais il
n’était pas accessible pour autant,
du moins à ceux qui, comme moi, ne sont jamais parvenus à partager
sa manière de voir, de percevoir, de comprendre les mathématiques.
Même dans les domaines que j’ai moi-même travaillés
(une faible partie de ses champs d’investigations),
la communication nous était difficile; pour partager
une idée, nous devions, bien
plus avec lui qu’avec d’autres collègues, formaliser
les notions et les rapprocher de la forme
rédigée sous laquelle se publient les mathématiques.
Tout en faisant ce travail de traduction entre les concepts
et leur expression formelle, je me suis souvent interrogé
sur l’univers personnel de Marc, dissimulé derrière notre
formalisation commune;
je n’ai cependant
jamais réussi à approcher sa façon de voir ou
de concevoir les choses.
Je suis donc bien mal placé pour
remplir la tâche qui m’incombe ici:
à la difficulté due à l’envergure de
la vision de Marc, sans commune mesure
avec la mienne, s’ajoute celle de
discerner les rouages et dégager des prespectives
dans une œuvre bâtie et agencée selon des conceptions
qui me restent mystérieuses.
Du coup, bien que les pages qui suivent n’esquissent, et
chacun très lacunairement, que quelques uns
des thèmes
qui me sont les plus familiers parmi les
travaux anciens de Marc,
on n’y trouvera, je le crains,
qu’un décevant embryon de catalogue, bien en deçà de la
hauteur de vue qui seule permettrait de rendre justice à sa créativité
exceptionnelle.
De la théorie au calcul, ou du calcul à la théorie ?
Thus are the sciences found, like Hercules’
oxen, by
tracing them backwards.
– J. Swift, A Tale of a Tub
La question ne peut se poser en ces termes: chez Marc, théories et
calculs, qualitatif et quantitatif, pourquoi et comment,
démarche et résultats, compréhension et applications
s’interfécondent.
Si, dès sa thèse, il participe avec
[3]
au
grand mouvement alors en
cours pour dégager les fondements stochastiques de
la théorie encore très analytique des processus markoviens,
il faut attendre la fin des années 1970 pour
que se manifeste son goût pour les
calculs explicites de lois
(loi du nombre de tours du brownien plan, dans
[19]).
Mais cette inclination est rapidement devenue l’insatiable
appétit que l’on sait!
Paul-André Meyer disait: “Nous avons
essayé de tirer ce qui s’appelait
le calcul des probabilités vers une théorie des probabilités;
Yor nous apprend que l’on débroussaille
mieux le chemin en l’empruntant
dans les deux sens à la fois”. (Citation approximative,
de mémoire.)
Extrémalité et représentation prévisible
La représentation des martingales a fait partie des tout premiers
thèmes mathématiques abordés lors de sa thèse par Marc,
avec la note
[1],
mais aussi et surtout dans le profond travail
[4]
avec Jean Jacod,
où, parmi beaucoup d’autres résultats,
le lien entre extrémalité et représentation
prévisible est traité
sous sa forme la plus générale.
Dix ans plus tôt, dans
[e1],
Lester Dubins et Gideon
Schwarz s’étaient demandé quels sont les
points extrémaux de l’ensemble (convexe) formé par toutes les lois
des martingales réelles. En temps discret, cela se traduit par
une propriété de dichotomie (conditionnellement au passé du
processus, ses accroissements ne prennent que deux valeurs); mais
le temps continu leur échappait. Par des raisonnements
d’analyse fonctionnelle
exploitant la dualité entre H et BMO, Jacod et Yor
établissent entre autres théorèmes
la magnifique caractérisation que voici. Siest une martingale
pour une filtrationsur,
appelonsl’ensemble de toutes les probabilitésabsolument continues par rapport àet telles quesoit une martingale sur.
Alorsest un point extrémal desi et seulement si
toute martingale surest de la forme, oùest un
réel etun processus prévisible pour
(on dit en ce cas que possède la propriété
de représentation
prévisible dans , ou PRP dans ).
Un corollaire est la caractérisation des
points extrémaux de l’ensemble
de toutes les lois des martingales:
pour que la loi d’une martingalesoit extrémale,
il faut et il suffit quepossède la PRP
dans sa propre filtration (on dit alors simplement
que possède la PRP).
Ce thème de la
représentation prévisible reparaît à de nombreuses reprises
dans les travaux ultérieurs de Marc, à commencer par
[12],
qui fait le pont avec le théorème de Naĭmark et Douglas
caractérisant les parties totales de L. Il est
inutile de rappeler l’importance prise depuis par cette notion dans
la théorie financière des marchés complets.
Changements de filtrations et temps honnêtes
Le hasard, me dit-il, diminue à mesure
que la connaissance augmente.
– A. France, La Rôtisserie de la Reine Pédauque
C’est aussi dès les années 1970 que Marc commence
à s’intéresser aux grossissements de filtrations, dans des travaux
souvent en collaboration avec Thierry Jeulin. Il s’agit de comparer les
descriptions et prévisions que font des mêmes
événements deux observateurs dont
l’un détient à chaque instant au moins autant d’information
que l’autre. Ici encore, les aspects
qualitatifs et quantitatifs s’entremêlent, avec souvent,
explicitement ou seulement en arrière-plan
implicite, un parallèle entre les termes correctifs
apparaissant dans les formules de
grossissement et dans celles de changement de probabilité.
Les articles
[9],
[10]
et
[13]
fondent
la théorie du grossissement progressif. Ils montrent que,
si un instant aléatoire est une fin d’optionnel
(en gros, le dernier instant
où un processus observé est dans un certain ensemble; cet instant ne
sera connu qu’a posteriori!), et si l’on
grossit la filtration pour faire de
un temps d’arrêt (c’est-à-dire qu’un prophète augmente
notre information
en frappant un gong à cet instant),
les semimartingales restent des semimartingales, mais les martingales
sont déformées par l’adjonction d’un terme de dérive,
qui se calcule explicitement à partir de la surmartingale
d’Azéma exprimant la prévision faite sur
à chaque instant. Obtenues indépendamment par Martin Barlow,
ces formules de grossissement sont des outils extraordinairement
efficaces, devenus aujourd’hui indispensables dans de nombreux
contextes. Elles démultiplient la puissance du calcul stochastique,
jusque là limité aux processus non anticipants,
mettant à
sa portée l’étude quantitative de nombreux phénomènes anticipants,
permettant par exemple de retrouver les décompositions
trajectorielles de David Williams.
Ce n’est là que l’un des aspect des grossissements; un autre est le
grossissement initial, décrivant comment toutes les prévisions
à tout instant sont à modifier si certaines
informations futures sont annoncées au temps 0 par une Cassandre.
Le terme de faux-amis a acquis droit de cité dans le vocabulaire
probabiliste
depuis l’article
[15],
où une étude très fine du mouvement
brownien grossi par la connaissance dès l’instant 0 de sa valeur
au temps 1 permet à Jeulin et Yor d’exhiber des contre-exemples
paradoxaux à des énoncés qui semblaient aller de soi.
Bien entendu, la direction inverse, de la grosse filtration vers la petite,
est également explorée par Marc. Pierre Brémaud et lui étendent dans
[8]
l’équation du filtrage au cas où le bruit
brownien est remplacé par une martingale ayant la PRC; la méthode
consiste à effectuer le changement de probabilité qui
compense le changement de filtration.
Un autre rétrécissement de filtration est introduit par Jeulin et Yor
en
[25].
Si désigne la filtration d’un brownien issu de 0,
ils appellent la tribu engendrée par le processus
, qui est un pont brownien
indépendant de la v.a. . Les
forment une filtration , moins riche que
(bien que ),
et engendrée par
un nouveau brownien .
Les allers-retours entre et et entre
et donnent lieu à
de jolies formules, et l’ergodicité de la
transformation est établie.
À ce propos,
signalons la fascination de Marc pour une autre transformation
du mouvement brownien avec perte d’information,
qu’il a appelée transformation de Lévy: c’est
.
Malgré les spectaculaires avancées récentes de Vilmos
Prokaj
[e8],
l’ergodicité de cette
transformation, conjecturée
par Marc vers 1980, est une question encore ouverte.
Filtrations browniennes
Certains niais s’étonnent de la Saint-Guy dont
sont atteints les monades que le microscope
fait apercevoir dans une goutte d’eau […].
– Balzac, La Fille aux yeux d’or
Depuis le milieu du XX siècle,
la splendide théorie d’Itô
permet de considérer l’accroissement infinitésimal
de n’importe quelle diffusion dans
ou dans une variété comme l’image affine
d’un accroissement
infinitésimal brownien dans .
Il est donc naturel de chercher à étudier
un tel processus comme
une fonctionnelle
du mouvement brownien ,
et, en premier lieu, de se demander si
(ou plutôt quand) est effectivement fonction
de ; est alors une solution forte de l’EDS
Déjà en dimension 1, la célèbre équation de Tanaka
fournit un exemple très naturel d’EDS
n’admettant que des solutions faibles; et dans les
années 1970, l’école japonaise
étudie activement les problèmes, toujours d’actualité aujourd’hui,
de solutions fortes ou faibles d’EDS.
Marc n’est bien sûr pas en reste;
dans Dix thèmes de recherche sur les processus qui me tiennent
à cœur […] (publié dans ce volume), il confie que,
parmi les domaines dans lesquels il a travaillé,
celui-ci est l’un des deux qui le fascinent le plus.
Il a ainsi inlassablement repris,
approfondi et généralisé l’exemple,
faible mais non fort, de Tsirelson
[e2]
où
,
et où est obtenu en discrétisant le temps
à l’aide d’une suite décroissant vers zéro, et en
prenant pour la partie fractionnaire de la pente
lorsque est
entre et .
Mais dès 1977 ou 1978,
il se pose une
question nouvelle, quelque peu différente:
si une diffusion n’est solution que faible et non forte d’une EDS
brownienne
et n’est donc pas plongeable dans la filtration engendrée par ,
existe-t-il néanmoins un autre mouvement brownien
engendrant la même filtration que ? (C’est là une
propriété, non de elle-même,
mais de sa filtration; lorsque c’est le cas,
nous dirons cette filtration
fortement brownienne. C’est, par exemple, trivialement
vrai dans le cas de l’équation de Tanaka.)
Il est à ma connaissance le premier à se demander d’une filtration
donnée si elle est fortement brownienne;
dans l’article
[17],
il prouve que, pour certaines applications
linéaires
de dans lui-même, la martingale
(où est un mouvement brownien dans et
le produit scalaire)
a une filtration fortement brownienne, et il conjecture que
c’est en fait vrai pour n’importe quelle . Depuis lors,
Auerhan et Lépingle
[e4]
et Malric
[e5]
ont démontré d’autres cas particuliers de cette conjecture,
mais la question générale n’est toujours pas résolue.
Comme toujours chez Marc,
les questions de filtrations ne sont pas conçues comme une
fin en soi, mais apparaissent intriquées avec d’autres problèmes;
par exemple dans la note
[20],
où elles
servent à retrouver la loi de l’aire de Lévy
du mouvement brownien.
Pureté
Donner un sens plus pur aux mots de la tribu
– Mallarmé, Le Tombeau d’Edgar Poe
À peu près à la même époque, Marc soulève
d’autres questions de filtrations
dans un contexte un peu différent, celui de la
pureté. Une martingale
réelle continue est dite pure (par Dubins et Schwarz,
[e1])
si
le mouvement brownien tel que ,
obtenu à partir de en prenant comme nouvelle horloge la variation
quadratique de , et
qui contient a priori une information
moins riche que , n’a en fait rien perdu:
et engendrent la même tribu;
cela revient à dire que
la filtration obtenue de celle de par le changement de temps,
en général plus grosse que celle de ,
lui est égale; ou encore que
les v.a. sont des temps
d’arrêt de la filtration de .
Comme Lester Dubins et Gideon Schwarz, Marc s’intéresse initialement
dans
[14]
à la pureté comme
condition nécessaire à l’extrémalité,
c’est-à-dire à la PRP. Mais il
a la curiosité de se demander, lorsque
n’est pas pure, si sa filtration changée de temps
(qui contient alors strictement celle de ) peut
être engendrée par un autre mouvement brownien,
plus riche que . Montrant facilement qu’une condition
nécessaire pour cela est que possède la PRP, il
se demande si cette condition est aussi suffisante.
C’est le début d’une longue histoire, qui se poursuit d’abord
dans
[21],
où Dan Stroock et Marc proposent une
reformulation équivalente de la même
question: en appelant faiblement brownienne
toute filtration telle qu’il existe un mouvement
brownien de ayant la PRP
relative à , toute filtration
faiblement brownienne est-elle
fortement brownienne? (La réciproque résulte
trivialement de la PRP brownienne.)
Les efforts de Marc dans cette direction restent longtemps vains. Une
dizaine d’années plus tard, avec Martin Barlow
et Jim Pitman
[24],
il subodore
que la réponse est négative, et plus
précisément que la filtration du mouvement
brownien de Walsh (le mouvement brownien sur trois
demi-droites issues de l’origine),
qui est faiblement brownienne, ne devrait pas
être fortement brownienne. Mais comment le prouver?
C’est finalement Boris Tsirelson qui, dans les années 1990,
s’appuiera sur la puissante théorie de Vershik pour
construire, avec Lester Dubins, Jacob Feldman et Meir Smorodinsky,
le premier exemple d’une filtration
faiblement mais non fortement brownienne
[e6],
puis
inventera le critère de confort
pour montrer
que le processus de Walsh n’est pas fortement brownien
[e7].
Loin de clore la question, ces contre-exemples
et d’autres l’ont au contraire
dynamisée;
ce champ de recherches ouvert par Marc est toujours actif
et il n’a cessé d’y revenir sa vie durant,
comme en témoignent le chapitre 6 de
son livre
[28]
avec Roger Mansuy
et son récent survol
[29].
La question initiale de Stroock–Yor,
dûment actualisée, reste un problème non résolu et
redoutablement difficile:
toute filtration faiblement brownienne
immergée dans une filtration fortement brownienne est-elle
fortement brownienne?
Martingales et inégalités
De dimension infinie par nature, puisque l’intégrale d’Itô
est aussi une mesure à valeurs dans l’espace L, le calcul
stochastique fait la part belle à l’analyse fonctionnelle:
contrôler des normes dans divers espaces de processus y est
indispensable.
Les travaux de Marc sur la représentation prévisible, les
changements de filtrations ou les plongements de Skorokhod
nécessitant ici ou là de boucher un trou dans la théorie,
il semait des inégalités de normes ou de processus
dans des notes à l’Académie et au Séminaire — pressentait-il
que la responsabilité éditoriale de ces
périodiques lui incomberait un jour?
Ses études sur l’espace H de martingales
(caractérisation des parties faiblement compactes,
avec Claude Dellacherie et Paul-André Meyer
[11],
théorie des sous-espaces stables
([12]
et
[16]))
complètent et simplifient la théorie de l’intégration
stochastique.
Pour fonder le calcul stochastique,
les inégalités de martingales (Doob, Burkholder–Davis–Gundy) sont
des points de passage obligés. Ne se contentant pas de les utiliser,
Marc les retravaillait, ne perdant aucune occasion de les rétablir
par des méthodes nouvelles, qui souvent en augmentaient la portée,
parfois spectaculairement.
La toute première fois se trouve, je crois, dans l’introduction
[6]
écrite avec Jacques Azéma pour les actes du
séminaire sur les temps locaux qu’ils ont tous deux organisé
en 1976–1977. Leur point de départ est une étude tout à fait
élémentaire du temps local d’une martingale continue , qu’on
supposera issue de l’origine. (Ce temps local est le processus croissant
et adapté tel que soit une martingale; il
représente une mesure fractale de la durée passée par
au point 0.) Cela
débouche sur la formule de Tanaka, dont il déduisent la formule
d’Itô pour (hérésie! tout le monde sait que c’est au contraire
celle-là qui se déduit de celle-ci), à la fois pour les fonctions
C et les fonctions convexes. De même, à l’aide de l’inégalité
de Pratelli, ils retrouvent en quelques lignes le cas difficile
( petit)
des inégalités BDG. (Ces inégalités disent qu’en
posant ,
pour chaque
le rapport entre
et reste coincé entre deux constantes
universelles et .)
Un peu plus tard, en 1980, toujours pour une martingale
continue issue de 0, Martin Barlow et Marc
ajoutent dans
[22]
un nouvel acteur aux inégalités BDG.
Appelant le temps local de en un point
et la v.a. ,
une utilisation ingénieuse du théorème de Ray-Knight
leur permet d’établir que, pour tout ,
la quantité est
elle aussi équivalente à et
.
Tout aussi brillante — et très surprenante — est la découverte par Marc
[23]
que les inégalités BDG, valables à temps fixe ,
et donc aussi pour les temps d’arrêt, s’étendent à des temps
aléatoires quelconques , au prix d’un dans
les exposants: toujours pour continue et , on a
et inversement
où les constantes ne dépendent que de et .
Sur ce terrain aussi, il est revenu labourer encore et encore…
Au-delà de l’espace H de martingales,
il y a les martingales uniformément intégrables,
puis les martingales, puis les martingales locales.
Dès
[22],
Marc n’a eu de cesse d’affiner l’étude
des comportements des processus de ces différentes
classes, substituant aux contrôles
de normes des inégalités asymptotiques en sur
la queue de v.a. telles que , ,
ou .
Balayage et zéros des martingales
[…] le balayage va être complet…
– Zola, Nana
Soientune semimartingale etl’ensemble (aléatoire)
des instants tels que .
Avec la convention, on pose.
Siest n’importe quel processus prévisible borné,
alorsdéfini parest lui aussi prévisible,
le produitest une semimartingale,
et l’on a plus précisément.
Ceci est un exemple de formule de balayage.
Ce terme, emprunté aux
processus de Markov, peut se comprendre par le passage de
à dans la définition de : en posant aussi
,
chaque composante connexe
du complémentaire de
est balayée vers son extrémité
gauche .
Dans le cas particulier où est
la valeur absolue d’une
martingale continue, le théorème ci-dessus
est apparu dans
l’introduction
[6]
d’Azéma et Yor; c’est la pierre angulaire de leur
approche des temps locaux, et j’ai
dit plus haut avec quelle virtuosité
ils en ont déroulé les conséquences.
Leur formule a suscité dans le
Séminaire XIII une série de généralisations,
le théorème énoncé plus haut sur le balayage des
semimartingales y étant établi
indépendamment par Nicole El Karoui dans
[e3]
et par Marc lui-même dans
[18].
Indispensables dans toutes sortes d’arguments liés
aux prévisions faites à l’instant de ce qui pourra
advenir durant l’intervalle ,
les formules de balayage sont un sésame vers des théories
auxquelles Marc contribue activement:
les temps locaux, déjà cités, les excursions, les
fermés aléatoires.
Elles interviennent aussi de façon essentielle
dans l’étude des martingales
ayant le même ensemble de zéros qu’une martingale
donnée, entreprise
par Marc avec Jacques Azéma dans
[26]
par des méthodes
de changement de probabilité, ainsi que dans
l’étude
[27],
très liée à la précédente
et menée avec Azéma et Meyer,
des semimartingales qui se comportent
en martingales hors de . Tout ceci est très proche
du grossissement: si est la fin de
(supposé borné) et si est une v.a. intégrable,
la martingale définie par
est nulle sur si et seulement si
elle vérifie une formule de balayage, et cela équivaut aussi à
ou encore
. Mais il ne faudrait
pas croire pour autant que
l’égalité entre et
a lieu quelle que soit ;
Marc s’est bien sûr attaché à explorer ce qui
sépare les deux applications
et , mais ce n’est qu’au
XXI siècle qu’il en donne avec Roger Mansuy
dans
[28]
une description tout à fait complète dans le cas où
est l’ensemble
des zéros antérieurs à 1 du mouvement brownien.
Calcul stochastique
Tout était séduction, et le calcul ne s’y
sentait point.
– Balzac, La Maison du Chat-qui-pelote
J’ai gardé ce thème pour la fin, bien qu’il
imprègne tout ce qui précède — et plus généralement toute l’œuvre de Marc; en 1981,
c’est à Marc que Nicolas Bourbaki demande
un exposé sur le calcul
stochastique. Faut-il rappeler combien,
entre ses mains,
cet outil tenait de la prestidigitation?
Qui ne l’a vu un jour ou l’autre
faire surgir comme d’un chapeau une
formule aussi inattendue qu’élégante,
en quelques lignes d’un calcul
irréfutable et soigneusement calligraphié,
la craie en guise de baguette magique et l’œil
pétillant de malice?
Le XVIII siècle a récrit dans la
langue du nouveau calcul intégro-différentiel bien
des anciennes théories;
Marc a de même toujours
eu à cœur, parallèlement à ses propres découvertes,
de retrouver,
d’expliquer et de comprendre
par le calcul stochastique toutes sortes de résultats antérieurs.
Bien entendu, il a aussi
fourni nombre de contributions originales à
la théorie
des semimartingales et à l’intégration stochastique,
commençant dès sa thèse avec la note
[2]
sur les exponentielles, qui contient en passant
la célèbre formule
,
où désigne l’exponentielle stochastique
d’une semimartingale .
Je mentionnerai aussi l’article
[7]
écrit
avec Christophe Stricker, très
utile lorsqu’on a besoin de contrôler
la dépendance de projections, de
projections duales ou de décompositions
de semimartingales, par rapport à un paramètre.
Mais ma prédilection va à la collaboration
[5]
entre
Marc et Chantha Yoeurp, où, à propos de la
recherche des semimartingales dont le produit
avec une semimartingale donnée
est une martingale locale,
foisonnent sur une cinquantaine de pages des
formules exponentielles, des valeurs principales d’intégrales
de temps locaux, des changements non absolument continus
de probabilités. Refusée par la
Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und
verwandte Gebiete, cette étude ne fut jamais publiée,
mais pourtant abondamment citée; les probabilistes de
notre génération ont donc précieusement conservé
leur exemplaire de la prépublication dactylographiée,
tirée en recto et agrafée. Le mien,
comme sans doute aussi tous les autres, est agrémenté de
nombreuses corrections effectuées au stylo à bille ou
par collage de fragments
d’équations tapés et
photocopiés. Travail de secrétaire ou du maître?
Je l’imagine à 27 ans, tard un soir de printemps, son
bureau seul éclairé du couloir 56–66;
devant lui, la pile des tirages de l’article, le pinceau de colle
et les centaines de petites languettes portant
des bribes de formules, que le moindre souffle disperserait… Adieu Marc!
Works
[1]M. Yor:
“Représentation des martingales de carré intégrable rélatives aux processus de Wiener et de Poisson à paramètres”
[Representation of square integrable martingales relativeto Wiener and Poisson processes with parameters],
C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A281 : 2–3
(1975),
pp. 111–113.
A longer article with the same title was published in Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete35:2 (1976).MR380987Zbl0332.60030article
[3]M. Yor:
“Une remarque sur les formes de Dirichlet et les semi-martingales”
[A remark on Dirichlet forms and semi-martingales],
pp. 283–292
in
Séminaire de théorie du potentiel 2
[Potential theory seminar 2]
(Paris, 1975–1976).
Edited by F. Hirsch and G. Mokobodzki.
Lecture Notes in Mathematics563.
Springer (Berlin),
1976.
MR651572Zbl0339.31013incollection
[5]C. Yoeurp and M. Yor:
Espace orthogonal à une semi-martingale et applications.
Prépublication,
Laboratoire de Probabilités, Université Paris VI,
1977.
techreport
[6]Temps locaux
[Local times]
(Paris, 1976–1977).
Edited by J. Azéma and M. Yor.
Astérisque52–53.
Société Mathématique de France (Paris),
1978.
MR509476Zbl0385.60063book
[9]M. Yor:
“Grossissement d’une filtration et semi-martingales: Théorèmes généraux”
[Enlargement of a filtration and semi-martingales: General theorems],
pp. 61–69
in
Séminaire de probabilités XII
[Twelfth probability seminar].
Edited by C. Dellacherie, P. A. Meyer, and M. Weil.
Lecture Notes in Mathematics649.
Springer (Berlin),
1978.
MR519996Zbl0411.60044incollection
[10]T. Jeulin and M. Yor:
“Grossissement d’une filtration et semi-martingales: Formules explicites”
[Enlargement of a filtration and semi-martingales: Explicit formulas],
pp. 78–97
in
Séminaire de probabilités XII
[Twelfth probability seminar].
Edited by C. Dellacherie, P. A. Meyer, and M. Weil.
Lecture Notes in Mathematics649.
Springer (Berlin),
1978.
MR519998Zbl0411.60045incollection
[11]C. Dellacherie, P.-A. Meyer, and M. Yor:
“Sur certaines propriétés des espaces de Banach et BMO”
[On certain properties of Banach and BMO spaces],
pp. 98–113
in
Séminaire de probabilités XII
[Twelfth probability seminar].
Edited by C. Dellacherie, P. A. Meyer, and M. Weil.
Lecture Notes in Mathematics649.
Springer (Berlin),
1978.
MR519999Zbl0392.60009incollection
[12]M. Yor:
“Sous-espaces denses dans ou et représentation des martingales”
[Dense subspaces in or and representation of martingales],
pp. 265–309
in
Séminaire de probabilités XII
[Twelfth probability seminar].
Edited by C. Dellacherie, P. A. Meyer, and M. Weil.
Lecture Notes in Mathematics649.
Springer (Berlin),
1978.
With an appendix by the author and J. de Sam Lazaro.MR520008Zbl0391.60046incollection
[15]T. Jeulin and M. Yor:
“Inégalité de Hardy, semimartingales, et faux-amis”
[Hardy’s inequality, semimartingales and false friends],
pp. 332–359
in
Séminaire de probabilités XIII
[Thirteenth probability seminar].
Edited by C. Dellacherie, P. A. Meyer, and M. Weil.
Lecture Notes in Mathematics721.
Springer (Berlin),
1979.
MR544805Zbl0419.60049incollection
[16]M. Yor:
“Quelques épilogues”
[Some conclusions],
pp. 400–406
in
Séminaire de probabilités XIII
[Thirteenth probability seminar].
Edited by C. Dellacherie, P. A. Meyer, and M. Weil.
Lecture Notes in Mathematics721.
Springer (Berlin),
1979.
MR544810Zbl0427.60040incollection
[17]M. Yor:
“Les filtrations de certaines martingales du mouvement brownien dans ”
[The filtrations of certain martingales of Brownian motion on ],
pp. 427–440
in
Séminaire de probabilités XIII
[Thirteenth probability seminar].
Edited by C. Dellacherie, P. A. Meyer, and M. Weil.
Lecture Notes in Mathematics721.
Springer (Berlin),
1979.
MR544812Zbl0418.60057incollection
[18]M. Yor:
“Sur le balayage des semi-martingales continues”
[On the balayage of continuous semi-martingales],
pp. 453–471
in
Séminaire de probabilités XIII
[Thirteenth probability seminar].
Edited by C. Dellacherie, P. A. Meyer, and M. Weil.
Lecture Notes in Mathematics721.
Springer (Berlin),
1979.
MR544815Zbl0409.60042incollection
[20]M. Yor:
“Remarques sur une formule de Paul Lévy”
[Remarks on a formula of Paul Lévy],
pp. 343–346
in
Séminaire de probabilités XIV
[Fourteenth probability seminar].
Edited by J. Azéma and M. Yor.
Lecture Notes in Mathematics784.
Springer (Berlin),
1980.
MR580140Zbl0429.60045incollection
[23]M. Yor:
“Inegalités de martingales continues arretées à un temps quelconque”
[Inequalities of continuous martingales stopping at a random time],
pp. 110–146
in
Grossissements de filtrations: Exemples et applications
[Enlargements of filtrations: Examples and applications]
(Paris, 1982–1983).
Edited by T. Jeulin and M. Yor.
Lecture Notes in Mathematics1118.
Springer (Berlin),
1985.
A follow-up paper was also published in Grossissements de filtrations (1985).Zbl0563.60045incollection
[24]M. Barlow, J. Pitman, and M. Yor:
“On Walsh’s Brownian motions,”
pp. 275–293
in
Séminaire de probabilités XXIII
[Twenty-third probability seminar].
Edited by J. Azéma, P. A. Meyer, and M. Yor.
Lecture Notes in Mathematics1372.
Springer (Berlin),
1989.
MR1022917Zbl0747.60072incollection
[26]J. Azéma and M. Yor:
“Sur les zéros des martingales continues”
[On the zeros of continuous martingales],
pp. 248–306
in
Séminaire de probabilités XXVI
[Twenty-sixth probability seminar].
Edited by J. Azéma, P.-A. Meyer, and M. Yor.
Lecture Notes in Mathematics1526.
Springer (Berlin),
1992.
MR1231999Zbl0765.60038incollection
[27]J. Azéma, P.-A. Meyer, and M. Yor:
“Martingales relatives”
[Relative martingales],
pp. 307–321
in
Séminaire de probabilités XXVI
[Twenty-sixth probability seminar].
Edited by J. Azéma, P.-A. Meyer, and M. Yor.
Lecture Notes in Mathematics1526.
Springer (Berlin),
1992.
MR1232000Zbl0765.60037incollection