Celebratio Mathematica

Dans l’in­tro­duc­tion de l’art­icle Madan–Yor [1], la mo­tiv­a­tion des auteurs est ain­si ex­pli­quée:

The role of mar­tin­gales in the study of stochast­ic pro­cesses, and more gen­er­ally, prob­ab­il­ity the­ory, can­not be over­em­phas­ized (see Wil­li­ams 1991). Math­em­at­ic­al fin­ance, in par­tic­u­lar, re­cog­nizes mar­tin­gales as cent­ral to the de­scrip­tion of eco­nom­ic un­cer­tainty. This pa­per stud­ies the con­struc­tion of mar­tin­gales from a nov­el per­spect­ive mo­tiv­ated by ques­tions arising in the mar­kets for fin­an­cial de­riv­at­ives. The more tra­di­tion­al per­spect­ive, taken for ex­ample in the struc­ture of mar­tin­gale rep­res­ent­a­tion the­or­ems, is to de­scribe all the mar­tin­gales on a cer­tain un­der­ly­ing stochast­ic basis. Fin­an­cial mar­kets trad­ing de­riv­at­ives, however, identi­fy through op­tion prices the mar­gin­al dens­it­ies of the stochast­ic pro­cess at vari­ous — and in prin­ciple all fu­ture — time points. The un­der­ly­ing stochast­ic basis is un­known. Con­di­tions of no ar­bit­rage in mar­kets lead us to en­quire in­to the struc­ture of mar­tin­gales con­sist­ent with a pre­spe­cified set of mar­gin­al dens­it­ies.

It is use­ful in the first in­stance, from both an ana­lyt­ic­al and a prac­tic­al per­spect­ive, to re­strict at­ten­tion to mar­tin­gales with the Markov prop­erty. Hence, we de­scribe the con­struc­tion of Markov mar­tin­gales with fixed mar­gin­als.

Le texte ci-des­sus décrit ce qui semble bi­en être une des rais­ons prin­cip­ales de l’intérêt de Marc Yor, au début des années 2000, pour ce problème de con­struc­tion de mar­tin­gales (markovi­ennes) de mar­ginales données.

En fait, ce problème est in­tim­ement lié, du point de vue théorique, avec une série d’études, menées au cours des années 60, sur l’or­dre con­vexe (voir, en par­ticuli­er, [e1], [e2], [e3]), et ay­ant con­duit not­am­ment au théorème de Keller­er [e4], qui avait été un peu oublié depuis lors.

Rap­pelons que l’on ap­pelle Pro­ces­sus Crois­sant pour l’Or­dre Con­vexe un pro­ces­sus $(X_t,t\ge 0)$, à valeurs réelles, qui est intégrable (i.e., pour tout $t$, $\mathbb{E}[|X_t|]<\mathrm{\infty }$) et tel que, pour toute fonc­tion con­vexe $\phi$ sur $\mathbb{R}$, la fonc­tion: $$t\ge 0\mapsto \mathbb{E}[\phi (X_t)]\in ]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$$ est crois­sante. Au cours des travaux de Marc Yor, ces pro­ces­sus ont été désignés, à partir de [5], par l’ac­ronyme PCOC. Puis Marc, con­formément à son goût pour les jeux de mots, a pro­posé de re­m­pla­cer cet ac­ronyme par sa pro­non­ci­ation “à l’anglaise”, c’est à dire pea­cock. C’est la ter­min­o­lo­gie qui est ad­optée dans la mono­graph­ie [10], et que nous ad­op­tons aus­si, par com­mod­ité, dans la suite de ce texte.

Il est clair que si $(X_t,t\ge 0)$ est un pea­cock, tout pro­ces­sus $(Y_t,t\ge 0)$ ay­ant mêmes 1-mar­ginales (i.e. tel que, pour tout $t$, $Y_t$ et $X_t$ ont même loi) est aus­si un pea­cock. Deux pro­ces­sus ay­ant mêmes 1-mar­ginales seront dits as­sociés. D’après l’inégalité de Jensen sur les espérances con­di­tion­nelles, toute mar­tin­gale est un pea­cock, et donc tout pro­ces­sus as­socié à une mar­tin­gale est un pea­cock. Le théorème de Keller­er établit la réciproque de ce résul­tat élémen­taire. (En fait, le théorème de Keller­er con­cerne plus générale­ment les pro­ces­sus crois­sants pour l’or­dre défini par les fonc­tions con­vexes crois­santes, pro­ces­sus auxquels il as­socie des sous-mar­tin­gales.)

La preuve de ce théorème, dif­fi­cile, n’est pas con­struct­ive. Ceci se com­prend aisément, du fait de la non uni­cité des mar­tin­gales as­sociées à un pea­cock. Un des prin­ci­paux ob­jec­tifs des travaux de Marc Yor dans ce do­maine a été de don­ner, dans des situ­ations aus­si larges que pos­sible, des méthodes de con­struc­tion ex­pli­cite de mar­tin­gales as­sociées.

D’autre part, compte-tenu de l’im­port­ance des pea­cocks en mathématiques fin­ancières, not­am­ment dans l’évalu­ation et la ges­tion des risques pour des porte­feuilles d’op­tions, Marc Yor s’est intéressé aus­si à la déter­min­a­tion de larges classes de pea­cocks. Nous al­lons main­ten­ant es­say­er de décri­re quelques-uns des résul­tats ob­tenus.

Il est tout à fait élémen­taire de véri­fi­er que, si $X$ est une vari­able aléatoire intégrable et centrée, le pro­ces­sus $(tX,t\ge 0)$ est un pea­cock. No­tons que plus générale­ment, si $(M_t,t\ge 0)$ est une mar­tin­gale centrée, le pro­ces­sus $$X_t={\int }_0^t{M}_s\mathrm{d}s,t\ge 0,$$ est un pea­cock (voir The­or­em 1.4 de [10]).

La ques­tion se pose donc de déter­miner, pour une vari­able aléatoire $X$ intégrable et centrée, des mar­tin­gales as­sociées au pea­cock $(tX,t\ge 0)$. Ceci a été résolu, éven­tuelle­ment sous cer­taines con­di­tions, par différentes méthodes. Nous don­nons ci-après quelques ex­emples.

Dans [1] et ([9], Sec­tion 2), ce théorème est démon­tré en util­is­ant le plonge­ment de Skorok­hod d’Azéma–Yor, sous des hy­pothèses sup­plémen­taires sur $X$. Dans ce cas, la fil­tra­tion $({\mathcal{F}}_t)$ est la fil­tra­tion naturelle du browni­en $(B_t,t\ge 0)$, la mar­tin­gale $(M_t,t\ge 0)$ est con­tin­ue à droite, possède la pro­priété de Markov et véri­fie la pro­priété d’ho­mogénéité: $$\begin{array}{}\text{(H)}& \mathrm{\forall }c>0,(M_{ct},t\ge 0)\stackrel{\text{(loi)}}{=}(c{M}_t,t\ge 0).\end{array}$$ Dans ([9], Sec­tion 1), le théorème 1.1 est démon­tré, dans le cas général, à partir d’une nou­velle méthode de plonge­ment de Skorok­hod. La mar­tin­gale ob­tenue est con­tin­ue à droite et véri­fie $\text{(H)}$.

Sig­nalons que, dans ([10], Chapter 7), des mar­tin­gales as­sociées à d’autres fa­milles de pea­cocks de la forme $(\mathrm{\Phi }(t,X),t\ge 0)$ sont aus­si ob­tenues par des méthodes de plonge­ment de Skorok­hod.

Nous sup­po­sons ici, pour sim­pli­fi­er, que $(R_t,t\ge 0)$ est un pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 2, issu de 0. Autre­ment dit, $R_t=\sqrt{\phantom{B}{B}_{1,t}^2+B_{2,t}^2}$ où $(B_{1,t},t\ge 0)$ et $(B_{2,t},t\ge 0)$ désignent deux mouve­ments browni­ens linéaires stand­ards indépendants. En par­ticuli­er, $X:={\int }_0^1{R}^2(s)\mathrm{d}s-1$ est une vari­able intégrable et centrée. Ce cas est traité, parmi plusieurs autres, dans [5]. On peut ex­pli­citer deux mar­tin­gales as­sociées à $(tX,t\ge 0)$, l’une totale­ment dis­con­tin­ue, l’autre con­tin­ue.

Un tel pro­ces­sus $(M_t,t\ge 0)$, à ac­croisse­ments indépendants et véri­fi­ant une pro­priété d’ho­mogénéité telle que $\text{(H)}$, est ap­pelé pro­ces­sus de Sato. Ces pro­ces­sus jouent un rôle im­port­ant dans plusieurs travaux de Marc, et en par­ticuli­er dans la théorie des pea­cocks (voir, not­am­ment, [5] et ([10], Chapter 5).

Général­is­ant une méthode due à Al­bin, dans [8] les auteurs con­struis­ent ex­pli­cite­ment toute une fa­mille de mar­tin­gales con­tin­ues $(M_{m,t},t\ge 0)$, in­dexée par $m\in \mathbb{N}$, véri­fi­ant la pro­priété $\text{(H)}$ et as­sociées à $(tX,t\ge 0)$, où $X$ est une vari­able gaussi­enne centrée.

Quelques années après l’art­icle [1], l’intérêt de Marc Yor pour les pea­cocks a été re­l­ancé par un art­icle de P. Carr et al. [e5] les op­tions asi­atiques dans le modèle de Black et Scholes.

Dans [2], en ex­hibant une mar­tin­gale as­sociée à ce pro­ces­sus $(X_t,t\ge 0)$ con­stru­ite à l’aide d’un drap, les auteurs ont donné une preuve de ce résul­tat, très simple, très élégante et por­teuse de général­isa­tions fécondes.

Une partie des travaux de Marc Yor sur les pea­cocks, de 2008 à 2011, a été con­sacrée à des ex­ten­sions variées de ces théorèmes 2.1 et 2.2. Nous décrivons ci-après un schéma général, in­troduit dans [6].

On considère un es­pace mesur­able $\mathrm{\Lambda }$ et, pour tout $t\ge 0$, un pro­ces­sus mesur­able à valeurs réelles: $$Y_{\bullet ,t}=(Y_{\lambda ,t},\lambda \in \mathrm{\Lambda })$$ tel que $$\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda },\mathrm{\forall }t\ge 0,\mathbb{E}[\exp (Y_{\lambda ,t})]<\mathrm{\infty }.$$ Pour toute mesure signée finie $\sigma$ sur $\mathrm{\Lambda }$, on pose: $$A_t^{(\sigma )}={\int }_{\mathrm{\Lambda }}\frac{\exp (Y_{\lambda ,t})}{\mathbb{E}[\exp (Y_{\lambda ,t})]}\sigma (\mathrm{d}\lambda ),t\ge 0.$$ La méthode du drap s’exprime de la façon suivante:

$(H_1)$ Pour tout $t\ge 0$, $$Y_{\bullet ,t}\stackrel{\text{(loi)}}{=}{Z}_{\bullet ,t}.$$ $(H_2)$ Pour tous $0\le s\le t$, $Z_{\bullet ,t}-Z_{\bullet ,s}$ est indépendant de $${\mathcal{Z}}_s:=\sigma \{Z_{\lambda ,u};\lambda \in \mathrm{\Lambda },0\le u\le s\}.$$

Al­ors le pro­ces­sus: $$M_t^{(\sigma )}:={\int }_{\mathrm{\Lambda }}\frac{\exp (Z_{\lambda ,t})}{\mathbb{E}[\exp (Z_{\lambda ,t})]}\sigma (\mathrm{d}\lambda ),t\ge 0$$ est une $({\mathcal{Z}}_t)$-mar­tin­gale as­sociée à $(A_t^{(\sigma )},t\ge 0)$ (qui est donc un pea­cock).

Dans plusieurs situ­ations, l’hy­pothèse de la pro­pos­i­tion ci-des­sus est sat­is­faite, c’est à dire que l’on peut montrer l’ex­ist­ence d’un drap véri­fi­ant $(H_1)$ et $(H_2)$. Quelques ex­emples.

1. Soit $(L_t,t\ge 0)$ un pro­ces­sus de Lévy réel partant de 0, véri­fi­ant: $$\mathrm{\forall }\alpha \ge 0,\mathbb{E}[\exp (\alpha L_1)]<\mathrm{\infty },$$ et $\mathrm{\Lambda }={\mathbb{R}}_{+}$. On pose al­ors $Y_{\lambda ,t}=L_{\lambda t}$. Cet ex­emple est traité dans [4].
2. Soit $(L_t,t\ge 0)$ un pro­ces­sus de Lévy réel partant de 0, véri­fi­ant: $$\mathrm{\forall }\alpha \ge 0,\mathbb{E}[\exp (\alpha L_1)]<\mathrm{\infty },$$ et $\mathrm{\Lambda }={\mathbb{R}}_{+}$. On sup­pose de plus que $L_1$ est une vari­able “self-de­com­pos­able”. On pose al­ors $Y_{\lambda ,t}=t{L}_{\lambda }$. Cet ex­emple est traité dans [7].
3. On sup­pose que $\mathrm{\Lambda }$ est un es­pace métrique sépar­able et que, pour tout $t\ge 0$, $(Y_{\lambda ,t},\lambda \in \mathrm{\Lambda })$ est un pro­ces­sus gaussi­en réel centré mesur­able. On pose $$c_{\lambda ,\mu }(t)=\mathbb{E}[Y_{\lambda ,t}{Y}_{\mu ,t}],$$ et on sup­pose que $(\lambda ,\mu ,t)\mapsto c_{\lambda ,\mu }(t)$ est con­tin­ue. Al­ors la pro­pos­i­tion 2.1 s’ap­plique sous la con­di­tion sup­plémen­taire:

   Pour tout $n\ge 1$, pour tous ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\in \mathrm{\Lambda }$, la fonc­tion à valeurs dans les matrices $n\times n$ de type pos­i­tif: $$t\in {\mathbb{R}}_{+}\mapsto (c_{{\lambda }_j,{\lambda }_k}(t){)}_{1\le j,k\le n}$$ est crois­sante pour l’or­dre habituel sur les matrices $n\times n$ de type pos­i­tif.

   Cet ex­emple est traité dans [11].

Pour con­clure cette sec­tion, sig­nalons une autre ex­ten­sion du théorème 2.1: Si $(M_t,t\ge 0)$ est une mar­tin­gale, le pro­ces­sus $$X_t=\frac{1}{t}{\int }_0^t{M}_s\mathrm{d}s,t\ge 0$$ est un pea­cock (voir The­or­em 1.4 de [10]).

En plus des méthodes de plonge­ment de Skorok­hod et du drap, Marc s’est intéressé à bi­en d’autres façons d’as­so­ci­er une mar­tin­gale à un pea­cock. Citons la méthode de re­tourne­ment du temps, celle de l’in­ver­sion du temps, celle de l’util­isa­tion des pro­ces­sus de Sato, etc. (cf. [10]).

Nous ter­minons ce bref aperçu du trav­ail de Marc sur les pea­cocks en évoquant la méthode de l’équa­tion différen­ti­elle stochastique.

La méthode de l’équa­tion différen­ti­elle stochastique pour con­stru­ire des mar­tin­gales as­sociées à des pea­cocks, a été es­quissée dans l’art­icle fond­ateur [1]. Elle est basée sur la célèbre for­mule de Dupire. Cette méthode a été pleine­ment déve­loppée dans ([10], Chapter 6), en re­la­tion avec un théorème d’uni­cité pour une équa­tion de Fok­ker–Planck dû à M. Pierre. Dans les derniers travaux de Marc Yor, elle joue un rôle cent­ral pour don­ner une nou­velle preuve, plus con­struct­ive, du théorème de Keller­er (voir [13]), et elle est aus­si util­isée, dans [12], pour as­so­ci­er une mar­tin­gale au pro­ces­sus: $$X_t:={\int }_0^1{1}_{(B_s<t)}\mathrm{d}{B}_s,t\ge 0.$$ Cette méthode peut être décrite sous la forme suivante, où $U$ désigne l’ouvert $]0,+\mathrm{\infty }[\times \mathbb{R}$, ${\mathcal{D}}^{\prime }(U)$ désigne l’es­pace de Schwartz des dis­tri­bu­tions sur $U$ et $\bar{U}={\mathbb{R}}_{+}\times \mathbb{R}$.

Ce théorème a des vari­antes, avec des hy­pothèses plus faibles sur la fonc­tion $a$.

Comme nous l’avons in­diqué dans l’in­tro­duc­tion, les re­la­tions entre l’or­dre con­vexe des pro­ces­sus et les mar­tin­gales ont été très étudiées dans les années 60, avec en con­clu­sion le théorème de Keller­er (1972). Puis ces résul­tats sont tombés dans un oubli quasi com­plet pendant près de 30 ans. Il a fallu la vaste cul­ture de Marc, son goût pour l’étude “con­crête” des pro­ces­sus et le re­gain d’intérêt pour les mar­tin­gales dû aux mathématiques fin­ancières, pour les tirer de leur léthar­gie. La puis­sance de trav­ail et le tal­ent de Marc ont fait le reste: la théorie des pea­cocks a pu renaitre de ses cendres. Nul doute que ce pan des prob­ab­ilités ait en­core de beaux jours devant lui.

Pour con­clure cet aperçu des travaux de Marc Yor sur les pea­cocks, nous ne pouvons mieux faire que re­produire la page xii de la mono­graph­ie [10]. Cette page porte l’empre­inte de Marc. Elle exprime bi­en son goût pour l’art et pour la poésie, et en par­ticuli­er pour les Haiku. Il ai­mait bi­en aus­si, entre deux cal­culs, com­poser des poèmes…