Celebratio Mathematica

L’étude des en­roul­e­ments du mouvement browni­en au­tour des points du plan a été l’un des sujets de prédilec­tion de Marc Yor. C’est aus­si le sujet sur le­quel il a ob­tenu deux de ses résul­tats les plus fameux, la loi de l’in­dice du lacet browni­en et, avec Jim Pit­man, la loi asymp­totique des nombres de tours du mouvement browni­en plan au­tour d’un nombre fini de points. Ce derni­er résul­tat était l’ex­ten­sion naturelle d’un théorème célèbre de Frank Spitzer dans son trav­ail “Some the­or­ems con­cern­ing two-di­men­sion­al Browni­an mo­tion”, l’un des art­icles sur le mouvement browni­en que Marc Yor ad­mirait le plus (pr­esque) à égalité avec les con­tri­bu­tions de Paul Lévy et le traité classique d’Itô et McK­ean [e3]. Pour Marc Yor, le thème des “nombres de tours” était, dans les années 1980 et plus tard, devenu une sorte d’ap­pel­la­tion générique, qui re­groupait les travaux sur les en­roul­e­ments du mouvement browni­en, mais aus­si bi­en d’autres résul­tats asymp­totiques, l’étude détaillée des pro­ces­sus de Bessel et di­verses ap­plic­a­tions de la théorie des ex­cur­sions. Ces do­maines lui tenaient par­ticulière­ment à cœur: il est sig­ni­fic­atif que dans sa mono­graph­ie “Some as­pects of Browni­an mo­tion, Part I” [12] deux chapitres soi­ent con­sacrés aux nombres de tours du mouvement browni­en, et deux autres trait­ent des carrés de pro­ces­sus de Bessel. Un aperçu des con­tri­bu­tions de Marc Yor à ces do­maines peut aus­si être trouvé dans les chapitres X, XI et XIII de son traité [11] avec Daniel Re­vuz. Notre ob­jec­tif plus mod­este est de présenter quelques-uns des art­icles les plus sig­ni­fic­atifs que Marc Yor et ses co-auteurs ont écrits au­tour de ces thématiques.

Les travaux que nous décrivons ci-des­sous sont re­présen­t­atifs de l’œuvre mathématique de Marc Yor. Son ex­cep­tion­nelle maîtrise du cal­cul stochastique lui per­met de men­er à bi­en de nom­breux cal­culs ex­pli­cites de lois, pour l’in­dice du lacet browni­en comme pour les fonc­tion­nelles de pro­ces­sus de Bessel dans ses travaux avec Jim Pit­man. Lor­sque l’ob­ten­tion des lois lim­ites par des cal­culs ex­pli­cites n’est pas pos­sible, il par­vi­ent aus­si à créer de nou­veaux outils, comme la ver­sion asymp­totique du théorème de Knight, qui donne de manière élégante les pro­priétés d’indépendance asymp­totique des “petits tours” au­tour de plusieurs points du plan. Dans le do­maine des nombres de tours comme dans beau­c­oup d’autres sujets con­cernant le mouvement browni­en et les pro­ces­sus con­nexes, les travaux de Marc Yor auront considérable­ment fait pro­gress­er nos con­nais­sances.

Comme souvent, Marc Yor a trouvé l’in­spir­a­tion de ses recherches sur les nombres de tours dans l’œuvre de Paul Lévy et ses pro­longe­ments. No­tons $(Z_t{)}_{t\ge 0}$ un mouvement browni­en à valeurs dans le plan com­plexe $\mathbb{C}$, issu d’un point $z_0\ne 0$. Comme on sait que la courbe de $Z$ ne re­passe pr­esque sûre­ment pas par 0, on peut définir une déter­min­a­tion con­tin­ue ${\theta }_t$ de l’ar­gu­ment de $Z_t$. Dans son livre “Pro­ces­sus stochastiques et mouvement browni­en”, Lévy donne des ar­gu­ments simples qui montrent qu’asymp­totique­ment $|{\theta }_t|$ est au moins de l’or­dre de $\sqrt{\log t}$, mais très justement il ob­serve que l’or­dre de grandeur vérit­able doit être plus grand. Cela est véri­fié en 1958 par Spitzer [e2], qui montre que $$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{2}{\log t}{\theta }_t\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{(\mathrm{loi})}{\to }}\mathcal{C}\end{array}$$ où $\mathcal{C}$ désigne une vari­able aléatoire de Cauchy stand­ard, dont la dens­ité sur $\mathbb{R}$ est $$\frac{1}{\pi }\frac{1}{1+x^2}.$$

La preuve de Spitzer re­pose sur un cal­cul ex­pli­cite de trans­formée de Four­i­er (voir [e3], p. 270–271), et n’ex­plique pas vraiment l’ap­par­i­tion de la loi de Cauchy. Dav­id Wil­li­ams [e5] va fournir cette ex­plic­a­tion au moy­en de la méthode de “pinch­ing”. Sup­po­sons pour sim­pli­fi­er que $z_0=1$ — on se ramène très fa­cile­ment à ce cas — ce qui per­met de pren­dre aus­si ${\theta }_0=0$. Ecrivons al­ors le mouvement browni­en $Z$ en co­or­données po­laires sous la forme $$Z_t=R_t{e}^{i{\theta }_t}.$$ La décom­pos­i­tion en skew-product (produit semi-dir­ect) per­met d’écri­re $$\log R_t={\beta }_{H_t},{\theta }_t={\gamma }_{H_t},$$ où $({\beta }_s{)}_{s{\ge }_0}$ et $({\gamma }_s{)}_{s\ge 0}$ sont deux mouve­ments browni­ens réels indépendants is­sus de 0, et pour tout $t\ge 0$, $$H_t={\int }_0^t\frac{\mathrm{d}s}{R_s^2}.$$ Cette décom­pos­i­tion est en fait un cas par­ticuli­er de l’in­vari­ance con­forme des tra­jectoires du mouvement browni­en com­plexe. Pour tout $a>1$, po­sons en­suite $$T_a=inf\{t\ge 0:R_t=a\}$$ et re­marquons que $$H_{T_a}=inf\{s\ge 0:{\beta }_s=\log a\}={\sigma }_{\log a},$$ si on défi­nit ${\sigma }_r=inf\{s\ge 0:{\beta }_s=r\}$ pour tout $r\in \mathbb{R}$. Il en découle aus­sitôt que $${\theta }_{T_a}={\gamma }_{{\sigma }_{\log a}}.$$ Mais il est classique (et fa­cile à montrer) que la loi d’un mouvement browni­en réel évalué au temps d’at­teinte d’un point par un second mouvement browni­en réel indépendant est une loi de Cauchy, et plus précisément on trouve ain­si que ${\theta }_{T_a}$ a même loi que $(\log a)\mathcal{C}$. Ain­si, pour tout $a>1$, $(\log a{)}^{-1}{\theta }_{T_a}$ suit ex­acte­ment la loi de Cauchy stand­ard.

Com­ment en­suite pass­er au com­porte­ment asymp­totique de ${\theta }_t$ ? L’idée de la méthode de pinch­ing est de dire que ${\theta }_t$ est “proche” de ${\theta }_{T_{\sqrt{t}}}$. En ef­fet un ar­gu­ment de change­ment d’échelle montre que ${\theta }_t-{\theta }_{T_{\sqrt{t}}}$ a même loi que la quant­ité ${\theta }_1-{\theta }_{T_1}$ évaluée pour un mouvement browni­en com­plexe issu de $1/\sqrt{t}$. On en déduit fa­cile­ment que ${\theta }_t-{\theta }_{T_{\sqrt{t}}}$ con­verge en loi quand $t\to \mathrm{\infty }$ vers la quant­ité ${\theta }_{[T_1,1]}$ re­présent­ant la vari­ation de l’ar­gu­ment d’un mouvement browni­en com­plexe issu de 0 entre les in­stants $T_1$ et 1. En écrivant al­ors $$\frac{2}{\log t}{\theta }_t=\frac{1}{\log \sqrt{t}}{\theta }_{T_{\sqrt{t}}}+\frac{2}{\log t}({\theta }_t-{\theta }_{T_{\sqrt{t}}})$$ et en ob­ser­v­ant que le premi­er ter­me du membre de droite suit ex­acte­ment la loi de $\mathcal{C}$ al­ors que le second con­verge vers 0 en prob­ab­ilité, on ob­tient le théorème de Spitzer.

Marc Yor, qui était proche de Dav­id Wil­li­ams, com­prit vite l’intérêt de la méthode de pinch­ing et dans un art­icle avec Pierre Mes­su­lam [4] en tira d’autres ap­plic­a­tions avec en vue l’ob­ten­tion de la loi lim­ite des nombres de tours au­tour d’un nombre fini de points. Cette loi lim­ite ne sera ob­tenue que plus tard dans un trav­ail im­port­ant avec Jim Pit­man [6], mais les idées précédentes joueront en­core un rôle décisif. Nous re­vien­drons sur tous ces travaux dans le para­graphe 3 ci-des­sous, mais nous dis­cutons d’abord un autre résul­tat très im­port­ant de Marc Yor lui aus­si lié au théorème de Spitzer.

Comme men­tionné ci-des­sus, la première preuve du théorème de Spitzer re­po­sa­it sur le cal­cul ex­pli­cite de la loi de ${\theta }_t$. Une ques­tion évidente était de cal­culer la loi du nombre de tours ef­fectués au­tour d’un point par un lacet browni­en, c’est-à-dire un mouvement browni­en com­plexe con­di­tionné à re­venir à son point de départ au bout d’un temps fixé. Ce cal­cul et beau­c­oup d’autres sont ef­fectués dans l’art­icle [1]. No­tons main­ten­ant $(Z_t^{\ast }{)}_{0\le t\le 1}$ un lacet browni­en com­plexe de lon­gueur 1 issu du point $z_0$, et sup­po­sons $z_0\ne 0$. Comme le pro­ces­sus ne vis­ite pas 0, on peut à nou­veau définir une déter­min­a­tion con­tin­ue ${\theta }_t^{\ast }$, $0\le t\le 1$ de l’ar­gu­ment de $Z_t^{\ast }$, et l’in­dice du lacet browni­en est sim­ple­ment $\frac{1}{2\pi }({\theta }_1^{\ast }-{\theta }_0^{\ast })$. La loi de cette quant­ité est al­ors déter­minée par la for­mule, val­able pour tout en­ti­er $k\in \mathbb{Z}\mathrm{\setminus }\{0\}$, $$\begin{array}{}\text{(2)}& P({\theta }_1^{\ast }-{\theta }_0^{\ast }=2k\pi )=e^{-r}({\mathrm{\Phi }}_r((2k-1)\pi )-{\mathrm{\Phi }}_r((2k+1)\pi )),\end{array}$$ où $r=|z_0{|}^2$ et la fonc­tion ${\mathrm{\Phi }}_r$ est im­paire et donnée par $${\mathrm{\Phi }}_r(x)=\frac{x}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-r\cosh (t)}\frac{\mathrm{d}t}{t^2+x^2},$$ pour tout $x\ne 0$. Re­marquons que, pour $k=0$, on déduit de $\text{(2)}$ que $$\begin{array}{}\text{(3)}& P({\theta }_1^{\ast }-{\theta }_0^{\ast }=0)=1-2{\mathrm{\Phi }}_r(\pi ).\end{array}$$

L’art­icle [1] con­tient beau­c­oup d’autres for­mules re­marquables, dont l’ex­pres­sion ana­logue à $\text{(2)}$ pour un pont browni­en issu de $z_0$ et se ter­min­ant en $z_1\ne 0$. Une étape cru­ciale des preuves est l’ob­ten­tion de la for­mule suivante, où l’on reprend les nota­tions et hy­pothèses du para­graphe précédent, avec un mouvement browni­en com­plexe issu de $z_0$: pour tous $t>0$, $\rho >0$ et $\lambda >0$, $$\begin{array}{}\text{(4)}& E[\exp (i\lambda ({\theta }_t-{\theta }_0))|R_t=\rho ]=E[\exp (-\frac{{\lambda }^2}{2}{H}_t)|R_t=\rho ]=\frac{I_{\lambda }(\frac{\rho |z_0|}{t})}{I_0(\frac{\rho |z_0|}{t})},\end{array}$$ où $I_{\lambda }$ désigne la fonc­tion de Bessel modi­fiée du premi­er or­dre et d’in­dice $\lambda$. La première égalité est une conséquence immédiate de la décom­pos­i­tion en skew-product, et le point-clé est donc la seconde, qui est ob­tenue à partir d’une re­la­tion d’ab­solue con­tinu­ité entre lois de pro­ces­sus de Bessel sur laquelle nous re­vien­drons dans la partie 5 ci-des­sous.

De manière intéress­ante, ces cal­culs ont eu des pro­longe­ments récents liés à l’étude des pro­ces­sus SLE. No­tons $\mathcal{I}$ l’intérieur du lacet browni­en, c’est-à-dire le com­plémen­taire de la com­posante con­nexe non bornée de $\mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{Z_t^{\ast }:0\le t\le 1\}$ (Lawl­er, Schramm et Wern­er ont mon­tré que la di­men­sion de Haus­dorff de la frontière de $\mathcal{I}$ est $4/3$, con­firm­ant ain­si une con­jec­ture fameuse de Man­del­brot). Pour tout $n\in \mathbb{Z}\mathrm{\setminus }\{0\}$, no­tons ${\mathcal{I}}_n$ l’en­semble de tous les points $z$ de $\mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{Z_t^{\ast }:0\le t\le 1\}$ tels que l’in­dice du lacet browni­en au­tour de $z$ soit égal à $n$. Al­ors ${\mathcal{I}}_n\subset \mathcal{I}$. En re­vanche, sa­voir que l’in­dice du lacet browni­en au­tour de $z$ est nul ne per­met pas de décider si $z\in \mathcal{I}$ ou non. En not­ant $|A|$ la mesure de Le­besgue d’un sous-en­semble mesur­able $A$ de $\mathbb{C}$, on déduit de la for­mule $\text{(2)}$ que, pour tout $n\in \mathbb{Z}\mathrm{\setminus }\{0\}$, $$E[|{\mathcal{I}}_n|]=\frac{1}{2\pi n^2}$$ (voir [e15]). En util­is­ant les pro­ces­sus SLE, Gar­b­an et Trujillo-Fer­reras [e15] montrent par ail­leurs que $$E[|\mathcal{I}|]=\frac{\pi }{5}.$$ En com­bin­ant les deux for­mules précédentes, on ob­tient que l’aire moy­enne des points $z$ en­tourés par le lacet browni­en mais tels que l’in­dice au­tour de $z$ soit nul est $\pi /30$.

Av­ant de con­clure ce para­graphe, une an­ec­dote per­son­nelle qui éclaire aus­si cer­tains as­pects de la per­son­nalité de Marc Yor. Début oc­tobre 1999, j’as­sistai au premi­er cours donné par Marc dans la prépar­a­tion à l’op­tion de prob­ab­ilités de l’agréga­tion à l’Ecole nor­male supérieure. Cette séance fut con­sacrée à des cal­culs qui me parurent hor­rible­ment com­pli­qués — mais cer­tains de mes ca­marades pensèrent différem­ment — au­tour de trans­formées de Four­i­er et de cal­culs d’intégrales dans le plan com­plexe. Ce n’est que bi­en plus tard que je découv­ris que Marc nous avait fait repren­dre les prin­ci­paux cal­culs men­ant à la loi de l’in­dice du lacet browni­en... Tout au long de sa carrière, prin­cip­ale­ment dans ses cours de DEA, Marc Yor a aimé faire part­ager à ses étu­di­ants les derniers résul­tats de ses travaux de recher­che, ce qui pouv­ait être ex­trêmement stim­u­lant, mais par­fois aus­si un peu ef­fray­ant.

Le théorème de Spitzer $\text{(1)}$ fournit la loi asymp­totique du nombre de tours d’un mouvement browni­en plan au­tour d’un point fixé autre que son point de départ. La ques­tion évidente, déjà men­tionnée ci-des­sus, était al­ors d’ob­tenir la loi asymp­totique con­jointe des nombres de tours au­tour de $p$ points. De manière plus précise, sup­po­sons main­ten­ant le mouvement browni­en com­plexe $Z$ issu de 0 et soi­ent $z_1,\dots ,z_p$ des points dis­tincts de $\mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{0\}$. Pour tout $1\le j\le p$, soit ${\theta }_t^j$ une déter­min­a­tion con­tin­ue de l’ar­gu­ment de $Z_t-z_j$. Al­ors, peut-on montrer la con­ver­gence en loi de $$\frac{2}{\log t}({\theta }_t^1,{\theta }_t^2,\dots ,{\theta }_t^p)$$ et décri­re la loi lim­ite? Bi­en en­tendu, si cette loi lim­ite ex­iste, le théorème de Spitzer montre que chacune de ses mar­ginales est une loi de Cauchy stand­ard. Cepend­ant, il n’était pas si fa­cile de “dev­iner” la dépendance entre ces lois mar­ginales, et le problème devait résis­ter aux ef­forts de Marc Yor et d’autres pendant quelques années.

Une première tent­at­ive donna lieu à l’art­icle [4] de Mes­su­lam et Yor publié en 1982 (Pierre Mes­su­lam était l’un de mes amis les plus proches à l’Ecole nor­male supérieure et cet art­icle joua un rôle im­port­ant dans ma décision de préparer ma thèse avec Marc: le dy­nam­isme dont il faisait preuve dans la dir­ec­tion du trav­ail de Pierre Mes­su­lam, al­ors en thèse avec lui, me con­vain­quit que je ne saur­ais trouver un meil­leur dir­ec­teur). L’art­icle [4] in­troduit la no­tion-clé de “petits tours” et “grands tours” du mouvement browni­en. In­tu­it­ive­ment, les petits tours au­tour de $z$ sont ceux ef­fectués par le mouvement browni­en dans un disque de centre $z$, et les grands tours sont ceux ef­fectués à l’extérieur de ce même disque. De manière plus précise, on intègre la vari­ation de l’ar­gu­ment de $Z_t-z$ sur l’en­semble des in­stants où $Z_t$ est (ou n’est pas) dans le disque. Un raffine­ment de la méthode de pinch­ing per­met à Mes­su­lam et Yor [4], The­or­em 7, de montrer que, pour tout $\epsilon >0$, $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{\log t}({\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{|Z_s-z_1|\le \epsilon \}}\mathrm{d}{\theta }_s^1,{\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{|Z_s-z_1|>\epsilon \}}\mathrm{d}{\theta }_s^1,{\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{|Z_s-z_2|>\epsilon \}}\mathrm{d}{\theta }_s^2)\\ \text{(5)}& & \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{(\mathrm{loi})}{\to }}({\int }_0^{{\sigma }_1}{\mathbf{1}}_{\{{\beta }_s\le 0\}}\mathrm{d}{\gamma }_s,{\int }_0^{{\sigma }_1}{\mathbf{1}}_{\{{\beta }_s>0\}}\mathrm{d}{\gamma }_s,{\int }_0^{{\sigma }_1}{\mathbf{1}}_{\{{\beta }_s>0\}}\mathrm{d}{\gamma }_s),\end{array}$$ où $\beta$ et $\gamma$ sont deux mouve­ments browni­ens réels indépendants is­sus de 0, et ${\sigma }_1=inf\{s\ge 0:{\beta }_s=1\}$. Si l’on com­bine les con­ver­gences des deux premières com­posantes dans $\text{(5)}$ on ret­rouve bi­en le fait que $(2/\log t){\theta }_t^1$ con­verge en loi vers ${\gamma }_{{\sigma }_1}$ ce qui est le théorème de Spitzer. Le fait que la troisième com­posante ait la même lim­ite que la seconde est in­tu­it­ive­ment clair: les grands tours au­tour de $z_1$ et de $z_2$ sont les mêmes. On voit bi­en ce qui manque pour ob­tenir la loi asymp­totique du couple $({\theta }_t^1,{\theta }_t^2)$. Il faudrait pour cela in­cor­porer dans $\text{(5)}$ aus­si les petits tours au­tour de $z_2$. Naïvement, on pour­rait penser que ces petits tours sont indépendants de ceux ef­fectués au­tour de $z_1$, mais les choses sont un peu plus sub­tiles.

C’est à l’été 1983 que le problème de la loi asymp­totique con­jointe des nombres de tours au­tour de $p$ points est en­fin résolu, lors d’un séjour de Marc Yor à Berke­ley (sauf er­reur, il s’agis­sait du second séjour es­tiv­al de Marc à Berke­ley, qui sera suivi de nom­breux autres tout aus­si fructueux, don­nant nais­sance à une suc­ces­sion de travaux im­port­ants de Marc Yor et Jim Pit­man dont cer­tains sont dis­cutés ail­leurs dans ce volume). Cette avancée ma­jeure est at­tachée à un souven­ir per­son­nel datant de septembre 1983: al­ors que, nou­velle­ment re­cruté au CNRS, j’ar­rivais au Labor­atoire de prob­ab­ilités de l’Uni­versité Pierre et Mar­ie Curie, où Marc Yor m’avait fait la gen­til­lesse de m’ac­cueil­lir dans son bur­eau, je découv­ris la première ébauche de l’art­icle [6] en col­lab­or­a­tion avec Jim Pit­man. Cet art­icle motivera mes premi­ers travaux de cher­ch­eur au CNRS (voir la dis­cus­sion de [5] ci-des­sous).

L’idée-clé de [6] est de re­li­er la con­ver­gence en loi des petits tours et grands tours (dis­ons au­tour du point $z_1$) à celle des fonc­tion­nelles ad­dit­ives intégrables du mouvement browni­en plan. Pour sim­pli­fi­er, considérons une fonc­tion­nelle $A_t$ de la forme $$A_t={\int }_0^{t}g(Z_s)\mathrm{d}s,$$ où la fonc­tion $g:\mathbb{C}⟶{\mathbb{R}}_{+}$ est mesur­able bornée et à sup­port com­pact. Depuis Kal­li­an­pur et Rob­bins [e1] on sait que $(\log t{)}^{-1}{A}_t$ con­verge en loi vers $c_A\mathbf{e}$, où $\mathbf{e}$ est une vari­able ex­po­nen­ti­elle de paramètre 1, et $c_A=(2\pi {)}^{-1}\int g(z)\mathrm{d}z$. Cette con­ver­gence en loi peut être éten­due à un nombre fini de fonc­tions $g_1,\dots ,g_k$, avec la même vari­able lim­ite $\mathbf{e}$ pour chacune de ces fonc­tions (c’est une conséquence du théorème er­godique de Chacon-Orn­stein). De manière un peu grossière, la vari­able $\mathbf{e}$ décrit asymp­totique­ment le temps passé par le mouvement browni­en dans les com­pacts. Al­ors, Pit­man et Yor [6], The­or­em 4.1, ob­ser­vent que, pour $\epsilon >0$ fixé, $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{\log t}({\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{|Z_s-z_1|\le \epsilon \}}\mathrm{d}{\theta }_s^1,A_t,{\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{|Z_s-z_1|>\epsilon \}}\mathrm{d}{\theta }_s^1)\\ \text{(6)}& & \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{(\mathrm{loi})}{\to }}({\int }_0^{{\sigma }_1}{\mathbf{1}}_{\{{\beta }_s\le 0\}}\mathrm{d}{\gamma }_s,c_A{L}_{{\sigma }_1}^0(\beta ),{\int }_0^{{\sigma }_1}{\mathbf{1}}_{\{{\beta }_s>0\}}\mathrm{d}{\gamma }_s),\end{array}$$ où $L_{{\sigma }_1}^0(\beta )$ désigne le temps loc­al au niveau 0 et au temps ${\sigma }_1$ du mouvement browni­en $\beta$ (il est bi­en con­nu que $L_{{\sigma }_1}^0(\beta )$ suit une ex­po­nen­ti­elle de moy­enne 2, et a donc même loi que $2\mathbf{e}$).

En vue de la loi asymp­totique con­jointe des nombres de tours au­tour de $p$ points, Pit­man et Yor montrent qu’on peut écri­re con­jointe­ment les con­ver­gences $\text{(6)}$ pour les différents points $z_1,\dots ,z_p$: la vari­able lim­ite pour les grands tours est la même pour chacun des points $z_1,\dots ,z_p$, mais en re­vanche les vari­ables lim­ites pour les petits tours sont indépendantes con­di­tion­nelle­ment à la vari­able $L_{{\sigma }_1}^0(\beta )$. De manière plus précise, no­tons pour $j\in \{1,\dots ,p\}$, $${\theta }_t^{j,-}={\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{|Z_s-z_j|\le \epsilon \}}\mathrm{d}{\theta }_s^j,{\theta }_t^{j,+}={\int }_0^t{\mathbf{1}}_{\{|Z_s-z_j|>\epsilon \}}\mathrm{d}{\theta }_s^j.$$ Al­ors, d’après [6], The­or­em 6.1, $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{\log t}({\theta }_t^{1,-},{\theta }_t^{1,+},{\theta }_t^{2,-},{\theta }_t^{2,+},\dots ,{\theta }_t^{p,-},{\theta }_t^{p,+},A_t)\\ \text{(7)}& & \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{(\mathrm{loi})}{\to }}(W^{1,-},W^{+},W^{2,-},W^{+},\dots ,W^{p,-},W^{+},c_A\mathrm{\Lambda }),\end{array}$$ où la loi lim­ite peut être ca­ra­ctérisée en dis­ant que, pour chaque $j\in \{1,\dots ,p\}$, le triplet $(W^{j,-},\mathrm{\Lambda },W^{+})$ suit la loi du triplet lim­ite $$({\int }_0^{{\sigma }_1}{\mathbf{1}}_{\{{\beta }_s\le 0\}}\mathrm{d}{\gamma }_s,L_{{\sigma }_1}^0(\beta ),{\int }_0^{{\sigma }_1}{\mathbf{1}}_{\{{\beta }_s>0\}}\mathrm{d}{\gamma }_s)$$ ap­par­ais­sant dans $\text{(6)}$, et que, con­di­tion­nelle­ment au couple $(\mathrm{\Lambda },W^{+})$, les $p$ vari­ables $W^{1,-},\dots ,W^{p,-}$ sont indépendantes et de même loi (cette loi con­di­tion­nelle com­mune est celle de $\frac{1}{2}\mathrm{\Lambda }\mathcal{C}$, $\mathcal{C}$ suivant une loi de Cauchy stand­ard). Bi­en en­tendu, on déduit de la con­ver­gence précédente que $$\begin{array}{}\text{(8)}& \frac{2}{\log t}({\theta }_t^1,{\theta }_t^2,\dots ,{\theta }_t^p)\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{(\mathrm{loi})}{\to }}(W^{1,-}+W^{+},W^{2,-}+W^{+},\dots ,W^{p,-}+W^{+})\end{array}$$ ce qui résout com­plètement le problème ini­tial.

La loi lim­ite dans $\text{(8)}$ possède beau­c­oup de pro­priétés intéress­antes qui sont dis­cutées dans [6]. Les mar­ginales sont des lois de Cauchy stand­ard, et plus générale­ment toute com­binais­on linéaire à coef­fi­cients pos­i­tifs des vari­ables $W^{j,-}+W^{+}$, $1\le j\le p$ est en­core une vari­able de Cauchy. On peut ca­ra­ctériser cette loi lim­ite par sa trans­formée de Four­i­er: en in­clu­ant aus­si la vari­able $\mathrm{\Lambda }$, on a la trans­formée de Four­i­er-Laplace, pour tout $r\ge 0$ et tous ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_p,\zeta \in \mathbb{R}$, $$\begin{array}{}\text{(9)}& E[\exp (-r\mathrm{\Lambda }+i(\sum _{j=1}^p{\xi }_j{W}^{j,-}+\zeta W^{+}))]=h(2r+\sum _{j=1}^n|{\xi }_j|,\zeta ),\end{array}$$ où, pour tous $a\ge 0$ et $b\in \mathbb{R}$, $$h(a,b)=(\cosh b+\frac{a}{b}\sinh b{)}^{-1}.$$ Cette for­mule et bi­en d’autres sont ob­tenues avec les outils du cal­cul stochastique en util­is­ant la re­présen­t­a­tion des vari­ables lim­ites en ter­mes des mouve­ments browni­ens $\beta$ et $\gamma$ et les théorèmes de Ray–Knight.

L’art­icle [6] montre aus­si que la loi asymp­totique des en­roul­e­ments au­tour de plusieurs points peut être vue comme un cas par­ticuli­er d’une classe de résul­tats asymp­totiques pour le mouvement browni­en plan, ap­pelés “log scal­ing laws” dans [6]. Par ex­emple, on peut s’intéress­er à la manière dont le mouvement browni­en s’ap­proche des points $z_1,\dots ,z_p$: on a la con­ver­gence suivante $$\begin{array}{}\text{(10)}& \frac{2}{\log t}\log (\underset{0\le s\le t}{inf}|Z_s-z_1|)\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{(\mathrm{loi})}{\to }}\underset{0\le r\le {\sigma }_1}{inf}{\beta }_r,\end{array}$$ qui a lieu con­jointe­ment avec $\text{(6)}$. A nou­veau ce résul­tat s’étend au cas où l’on considère sim­ul­tanément plusieurs points $z_1,\dots ,z_p$, et la dépendance des vari­ables lim­ites est ana­logue à ce qu’on a ob­tenu dans le cas des en­roul­e­ments.

Dans un autre art­icle très conséquent [9], Pit­man et Yor déve­lop­pent de nou­velles études asymp­totiques du mouvement browni­en plan, qui per­mettent aus­si d’uni­fi­er beau­c­oup de résul­tats antérieurs. Comme l’écriv­ent les auteurs dans l’in­tro­duc­tion de [9], “the rich­ness of this sub­ject seems un­boun­ded”. Un résul­tat ty­pique est le théorème des résidus asymp­totique [9], The­or­em 1.1, qu’on peut énon­cer de la manière suivante. Si $f:\mathbb{C}⟶\mathbb{C}$ est holo­morphe sur un voisin­age pointé de chacun des points $z_1,\dots ,z_p$ et sur un voisin­age de l’in­fini, si de plus $f$ est bornée et mesur­able sur le com­plémen­taire de ces voisin­ages, et tend vers 0 à l’in­fini, al­ors $$\frac{2}{\log t}{\int }_0^{t}f(Z_s)\mathrm{d}{Z}_s\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{(\mathrm{loi})}{\to }}\mathrm{Res}(f,\mathrm{\infty })(\frac{\mathrm{\Lambda }}{2}-1+i{W}^{+})+\sum _{j=1}^p\mathrm{Res}(f,z_j)(\frac{\mathrm{\Lambda }}{2}+i{W}^{j,-}),$$ où $\mathrm{Res}(f,z)$ désigne le résidu de $f$ en $z$, et les vari­ables $W^{+},W^{j,-}$ et $\mathrm{\Lambda }$ sont comme dans $\text{(7)}$.

Les idées déve­loppées dans [6] ne s’ap­pli­quent pas seule­ment au mouvement browni­en plan mais per­mettent aus­si d’ob­tenir des pro­priétés asymp­totiques du pro­ces­sus de Cauchy symétrique. L’idée-clé, due en­core à Spitzer dans le même art­icle [e2], est qu’on peut ob­tenir la tra­jectoire d’un pro­ces­sus de Cauchy à partir de celle d’un mouvement browni­en plan, en ob­ser­v­ant unique­ment les in­stants où ce derni­er pro­ces­sus vis­ite l’axe des ab­scisses. A partir de cette idée, Pit­man et Yor [7] ob­tiennent des résul­tats asymp­totiques très com­plets pour les nombres de tra­versées d’un niveau $x$ par le pro­ces­sus de Cauchy. Plus précisément, ils s’intéres­sent aux “petites” tra­versées (cor­res­pond­ant à des sauts de taille plus petite que $\epsilon$) et aux “grandes” tra­versées av­ant l’in­stant $t$ — évidem­ment ce sont des ana­logues des petits tours et grands tours dis­cutés ci-des­sus. Mod­ulo une nor­m­al­isa­tion par ${\pi }^2/(\log t{)}^2$, la loi lim­ite du couple formé par les nombres de petites et de grandes tra­versées est la loi de $$({\int }_0^{{\sigma }_1}\mathrm{d}s{\mathbf{1}}_{\{{\beta }_s<0\}},{\int }_0^{{\sigma }_1}\mathrm{d}s{\mathbf{1}}_{\{{\beta }_s\ge 0\}}),$$ où $\beta$ et ${\sigma }_1$ sont comme dans $\text{(5)}$. De façon ex­acte­ment ana­logue à $\text{(7)}$, on peut étendre ce résul­tat à une con­ver­gence con­jointe quand on s’intéresse à un nombre fini de valeurs de $x$.

Les travaux de Pit­man et Yor sur les nombres de tours du mouvement browni­en ont eu de nom­breux pro­longe­ments, dont cer­tains sont décrits dans le para­graphe suivant. Sans cherch­er à don­ner une liste ex­haust­ive, on peut citer les art­icles de Ber­toin et Wern­er [e12], Fran­chi [e11], Man­abe [e9], Shi [e13], ou en­core Watanabe [e14].

Une ex­ten­sion des résul­tats du para­graphe précédent à cer­tains mouvement browni­ens avec drift a été déve­loppée dans l’art­icle [5]. On considère dans cet art­icle un pro­ces­sus $(X_t{)}_{t\ge 0}$ sat­is­fais­ant l’équa­tion différen­ti­elle stochastique $$\{\begin{array}{l}\mathrm{d}{X}_t=\mathrm{d}{Z}_t+b(X_t)\mathrm{d}t\\ X_0=x_0\end{array}$$ où $x_0\in \mathbb{C}$, $Z$ est comme ci-des­sus un mouvement browni­en com­plexe, et la fonc­tion $b:\mathbb{C}⟶\mathbb{C}$ est mesur­able et bornée sur les com­pacts, et sat­is­fait une hy­pothèse d’intégrabilité ap­pro­priée. Cette dernière hy­pothèse garantit que le pro­ces­sus est récur­rent, et par ail­leurs le théorème de Girsan­ov montre que “loc­ale­ment” le pro­ces­sus $X$ se com­porte comme le mouvement browni­en (sans drift). Cela per­met d’espérer ob­tenir pour les en­roul­e­ments de $X$ au­tour d’un ou plusieurs points des résul­tats ana­logues à ceux qui ont été décrits ci-des­sus. C’est bi­en le cas: si $x_1,\dots ,x_p$ sont des points de $\mathbb{C}$ dis­tincts et dis­tincts de $x_0$, et si ${\phi }_t^j$ désigne une déter­min­a­tion con­tin­ue de l’ar­gu­ment de $X_t-x_j$, pour tout $j\in \{1,\dots ,p\}$, l’un des résul­tats ma­jeurs de [5] donne la con­ver­gence en loi $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{\log t}({\phi }_t^1,{\phi }_t^2,\dots ,{\phi }_t^p)\\ \text{(11)}& & \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{(\mathrm{loi})}{\to }}(W^{+}+{\alpha }_1{W}^{1,-}+{\eta }_1\mathrm{\Lambda },W^{+}+{\alpha }_2{W}^{2,-}+{\eta }_2\mathrm{\Lambda },\dots ,W^{+}+{\alpha }_p{W}^{1,-}+{\eta }_p\mathrm{\Lambda }),\end{array}$$ où $W^{+},W^{1,-},\dots ,W^{p,-}$ et $\mathrm{\Lambda }$ sont comme dans $\text{(8)}$, et ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_p,{\eta }_1,\dots ,{\eta }_p$ sont des con­stantes qui s’expriment en ter­mes de la fonc­tion $b$ et de la mesure in­vari­ante du pro­ces­sus $X$ (bi­en en­tendu, si $b$ est la fonc­tion nulle, on a ${\alpha }_1=\cdots ={\alpha }_p=1$ et ${\eta }_1=\cdots ={\eta }_p=0$, ce qui re­donne la con­ver­gence $\text{(8)}$). De manière in­tu­it­ive, la con­stante pos­it­ive ${\alpha }_j$ mesure le fait que le pro­ces­sus $X$ s’ap­proche de $z_j$ dav­ant­age (ou au con­traire moins) qu’un mouvement browni­en sans drift, et la con­stante ${\eta }_j$ (de signe quel­conque) mesure la manière dont le drift con­tribue aux en­roul­e­ments au­tour de $z_j$ en fais­ant tourn­er $X$ dav­ant­age dans un sens ou un autre. Il est re­marquable que la loi lim­ite fasse in­ter­venir les mêmes vari­ables $W^{+},W^{1,-},\dots ,W^{p,-},\mathrm{\Lambda }$ que dans $\text{(7)}$, et donc que cette loi soit à nou­veau ca­ra­ctérisée par la for­mule $\text{(9)}$.

L’art­icle [5] con­tient aus­si des résul­tats pour la “vitesse d’ap­proche” des points, qui sont ana­logues à $\text{(10)}$ et aux général­isa­tions de $\text{(10)}$ pour un nombre fini de points. Une conséquence de ces résul­tats est le fait que si, pour tout $k\in \{1,\dots ,p\}$, on note $T_{\epsilon }^k=inf\{t\ge 0:|X_t-x_k|\le \epsilon \}$, on a, pour tout $j\in \{1,\dots ,p\}$, $$\underset{\epsilon \to 0}{lim}P(T_{\epsilon }^j<min\{T_{\epsilon }^k:k\ne j\})=\frac{{\alpha }_j}{{\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_p}$$ ce qui con­firme l’in­ter­préta­tion in­tu­it­ive des con­stantes ${\alpha }_j$ donnée ci-des­sus.

La con­di­tion d’intégrabilité sur le drift $b$ men­tionnée plus haut est as­sez re­strict­ive, mais ce n’est plus le cas pour les dif­fu­sions sur la sphère qui sont considérées dans la dernière partie de [5]: les résul­tats s’ap­pli­quent al­ors au mouvement browni­en sur la sphère ${\mathbb{S}}^2$ avec un drift mesur­able borné quel­conque. Dans ce cadre, pour tout couple $(y,z)$ de points dis­tincts (et dis­tincts du point de départ $x_0$ du pro­ces­sus) de la sphère, on défi­nit le pro­ces­sus d’en­roul­e­ment cor­res­pond­ant ${\theta }_t^{(y,z)}$, qu’on ob­tient par ex­emple en util­is­ant la pro­jec­tion stéréograph­ique à partir du point $z$ et en considérant l’ar­gu­ment du pro­ces­sus pro­jeté au­tour de la pro­jec­tion de $y$. Si $(y_1,z_1),\dots ,(y_p,z_p)$ sont $p$ paires de points de ${\mathbb{S}}^2$ dis­tincts de $x_0$, et si (pour sim­pli­fi­er) on sup­pose que tous les points $y_1,\dots ,y_p,z_1,\dots ,z_p$ sont dis­tincts, al­ors on ob­tient la con­ver­gence en loi $$\frac{1}{t}({\theta }_t^{(y_1,z_1)},\dots ,{\theta }_t^{(y_p,z_p)})\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{(\mathrm{loi})}{\to }}({\kappa }_1{\mathcal{C}}_1+{\delta }_1,\dots ,{\kappa }_p{\mathcal{C}}_p+{\delta }_p)$$ où ${\mathcal{C}}_1,\dots ,{\mathcal{C}}_p$ sont des vari­ables de Cauchy indépendantes, et ${\kappa }_1,\dots ,{\kappa }_p,{\delta }_1,\dots ,{\delta }_p$ sont des con­stantes. Dans le cas sans drift, ces résul­tats pour le mouvement browni­en sur la sphère avaient été ob­tenus antérieure­ment par Ly­ons et McK­ean [e10]. In­tu­it­ive­ment, la rais­on pour laquelle on ob­tient main­ten­ant une indépendance asymp­totique est le fait que l’ana­logue de la vari­able $\mathrm{\Lambda }$, qui dans le cas du plan “con­centrait” la dépendance entre les petits tours au­tour de points dis­tincts, est dans le cas de la sphère une con­stante: le théorème er­godique de Birk­hoff montre que ($t^{-1}$ fois) le temps passé par le mouvement browni­en sur la sphère dans un com­pact av­ant l’in­stant $t$ con­verge vers une con­stante.

L’art­icle [8] s’intéresse au mouvement browni­en en di­men­sion 3, et étud­ie les en­roul­e­ments de ce pro­ces­sus au­tour des droites, étude suggérée par une ques­tion de Du­bins. A partir du cas de la sphère, on dev­ine que les nombres de tours ef­fectués au­tour de $p$ droites dis­tinct­es passant par l’ori­gine sont asymp­totique­ment indépendants. Plus générale­ment, on peut considérer $p$ droites deux à deux non par­allèles $D^1,D^2,\dots ,D^p$. Si, pour chaque $j\in \{1,\dots ,p\}$, ${\theta }_t^j$ désigne l’en­roul­e­ment au­tour de $D^j$, on a la con­ver­gence en loi $$\frac{2}{\log t}({\theta }_t^1,\dots ,{\theta }_t^p)\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{(\mathrm{loi})}{\to }}({\mathcal{C}}_1,\dots ,{\mathcal{C}}_p),$$ où ${\mathcal{C}}_1,\dots ,{\mathcal{C}}_p$ sont des vari­ables de Cauchy indépendantes. En fait on peut même considérer les en­roul­e­ments au­tour d’une fa­mille quel­conque de droites: on par­ti­tionne cette fa­mille en classes formées de droites par­allèles, pour chaque classe la loi lim­ite des en­roul­e­ments est donnée par $\text{(8)}$ (il suf­fit de pro­jeter sur un plan or­tho­gon­al), et la loi lim­ite pour la fa­mille com­plète est décrite en dis­ant que les “mar­ginales” cor­res­pond­ant aux différentes classes de droites par­allèles sont indépendantes.

Une dernière ex­ten­sion du théorème de Spitzer fait l’ob­jet de l’art­icle [10], qui étud­ie main­ten­ant l’en­roul­e­ment du mouvement browni­en dans ${\mathbb{R}}^3$ au­tour de cer­taines courbes. Plus précisément, on considère une fonc­tion $f:\mathbb{R}⟶{\mathbb{R}}^2$ de classe $C^2$ et la courbe as­sociée ${\mathrm{\Gamma }}_f$ qui est l’en­semble des points $(x,y,z)$ de ${\mathbb{R}}^3$ tels que $(x,y)=f(z)$. Si $B_t=(B_t^1,B_t^2,B_t^3)$ est un mouvement browni­en en di­men­sion trois, l’en­roul­e­ment ${\theta }_t^f$ au­tour de ${\mathrm{\Gamma }}_f$ est par défi­ni­tion la déter­min­a­tion con­tin­ue de l’ar­gu­ment de $(B_t^1,B_t^2)-f(B_t^3)$, avec l’iden­ti­fic­a­tion habituelle de ${\mathbb{R}}^2$ au plan com­plexe. En sup­posant que $|f^{\prime \prime }|$ est intégrable et qu’il ex­iste une con­stante $\alpha >0$ telle que $|f^{\prime }(z)|=O(|z{|}^{-\alpha })$ quand $|z|\to \mathrm{\infty }$, on montre que l’asymp­totique de Spitzer $\text{(1)}$ reste val­able pour ${\theta }_t^f$.

Les hy­pothèses sur $f$ as­surent que ${\mathrm{\Gamma }}_f$ ad­met la droite $x=y=0$ comme dir­ec­tion asymp­totique, ce qui suggère de com­parer les en­roul­e­ments au­tour de ${\mathrm{\Gamma }}_f$ et au­tour de cette droite. Plus générale­ment, l’art­icle [10] considère une autre fonc­tion $g$ sat­is­fais­ant les mêmes hy­pothèses que $f$, et telle aus­si que $$\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\log |z|}\log |f(z)-g(z)|=a\in ]-\mathrm{\infty },1[.$$ Al­ors, on ob­tient le résul­tat suivant, ana­logue de $\text{(8)}$, $$\begin{array}{}\text{(12)}& \frac{2}{\log t}({\theta }_t^f,{\theta }_t^g)\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{(\mathrm{loi})}{\to }}(W^{(a),-}+W^{(a),+},{\tilde{W}}^{(a),-}+W^{(a),+}),\end{array}$$ où la loi du triplet $(W^{(a),-},{\tilde{W}}^{(a),-},W^{(a),+})$ peut être décrite par sa trans­formée de Four­i­er $$\begin{array}{c}E[\exp i(\xi W^{(a),-}+\tilde{\xi }{\tilde{W}}^{(a),-}+\zeta W^{(a),+})]\hfill \\ \hfill =(\cosh (\zeta (1-a))+\frac{|\xi |+|\tilde{\xi }|}{\zeta }\sinh (\zeta (1-a)){)}^{-1/(1-a)},\end{array}$$ qui est bi­en en­tendu ana­logue à $\text{(9)}$. La loi lim­ite de $\text{(12)}$ peut aus­si être décrite à partir de deux mouvement browni­ens réels $\beta$ et $\gamma$ is­sus de 0 indépendants, et du pro­ces­sus ${\hat{\beta }}_t=max\{{\beta }_s:0\le s\le t\}$: on a en par­ticuli­er $$(W^{(a),-},W^{(a),+})\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}({\tilde{W}}^{(a),-},W^{(a),+})\stackrel{(\mathrm{loi})}{=}({\int }_0^{{\sigma }_1}{\mathbf{1}}_{\{{\beta }_s\le a{\hat{\beta }}_s\}}\mathrm{d}{\gamma }_s,{\int }_0^{{\sigma }_1}{\mathbf{1}}_{\{{\beta }_s>a{\hat{\beta }}_s\}}\mathrm{d}{\gamma }_s),$$ en not­ant comme précédem­ment ${\sigma }_1=inf\{t\ge 0:{\beta }_t=1\}$ (com­parer avec la loi lim­ite de $\text{(6)}$).

Les résul­tats décrits ci-des­sus pour les en­roul­e­ments du mouvement browni­en ont des li­ens étroits avec l’étude des pro­ces­sus de Bessel. Cette étude a aus­si été l’un des sujets fa­vor­is de Marc Yor, qui disait volon­ti­ers que “les Bessel sont par­tout”. Sans cherch­er à être ex­haus­tif — il serait dif­fi­cile de re­censer tous les résul­tats de Marc Yor dans ce do­maine — nous présen­tons dans ce para­graphe quelques-unes de ses con­tri­bu­tions les plus im­port­antes à l’étude des pro­ces­sus de Bessel (pour plus de détails, voir aus­si le chapitre XI de [11] et les chapitres 2 et 3 de [12]).

Un premi­er résul­tat-clé, déjà men­tionné ci-des­sus, est la pro­priété d’ab­solue con­tinu­ité des pro­ces­sus de Bessel. Rap­pelons que, pour tout réel $\nu \ge 0$, le pro­ces­sus de Bessel d’in­dice $\nu$ est le pro­ces­sus de dif­fu­sion sur $[0,\mathrm{\infty }[$ qu’on peut ob­tenir (sur $]0,\mathrm{\infty }[$ au moins) comme solu­tion de l’équa­tion différen­ti­elle stochastique $$\mathrm{d}{X}_t=\mathrm{d}{B}_t+\frac{2\nu +1}{2}\frac{\mathrm{d}t}{X_t},$$ où $B$ désigne un mouvement browni­en réel. Lor­sque $\nu \ge 0$, le pro­ces­sus ne vis­ite pas 0 sauf éven­tuelle­ment en son point de départ et lor­sque $\nu \le -1$ le pro­ces­sus est ab­sorbé en 0. Pour tout en­ti­er $d\ge 1$, la norme d’un mouvement browni­en dans ${\mathbb{R}}^d$ suit la loi du pro­ces­sus de Bessel d’in­dice $\frac{d}{2}-1$ (en par­ticuli­er le pro­ces­sus $(R_t{)}_{t\ge 0}$ de la partie 1 est un pro­ces­sus de Bessel d’in­dice 0).

Pour $a>0$, no­tons $P_a^{\nu }$ une mesure de prob­ab­ilité sous laquelle le pro­ces­sus $(X_t{)}_{t\ge 0}$ est un pro­ces­sus de Bessel d’in­dice $\nu$ issu de $a$. Al­ors Marc Yor ob­serve dans [1] que, pour tout $\nu >0$, pour tout $t>0$, pour toute fonc­tion $F$ mesur­able pos­it­ive sur l’es­pace $C([0,t],\mathbb{R})$ des fonc­tions con­tin­ues de $[0,t]$ dans $\mathbb{R}$, $$\begin{array}{}\text{(13)}& E_a^{\nu }[F(X_s,0\le s\le t)]=E_a^0[(\frac{X_t}{a}{)}^{\nu }\exp (-\frac{{\nu }^2}{2}{\int }_0^t\frac{\mathrm{d}s}{X_s^2})F(X_s,0\le s\le t)]\end{array}$$ (on peut re­m­pla­cer le temps con­stant $t$ par un temps d’arrêt borné). Il s’agit es­sen­ti­elle­ment d’une ap­plic­a­tion du théorème de Girsan­ov mais en rais­on de l’ubi­quité des pro­ces­sus de Bessel cette for­mule et ses vari­antes auront, et con­tin­u­ent d’avoir, un nombre in­cal­cul­able d’ap­plic­a­tions. La première d’entre elles con­siste à pren­dre une fonc­tion $F(X_s,0\le s\le t)=f(X_t)$. Le membre de gauche de $\text{(13)}$ s’écrit al­ors en ter­mes de la dens­ité de la loi de $X_t$ sous $P_a^{\nu }$, qu’on peut trouver dans le trav­ail de Kent [e7] (Jim Pit­man m’a fait ob­serv­er que cette for­mule se trouve déjà dans l’art­icle de Mol­chan­ov [e4]). Le membre de droite s’écrit en ter­mes de la dens­ité de la loi de $X_t$ sous $P_a^0$ (égale­ment con­nue par [e7]) et des trans­formées de Laplace con­di­tion­nelles $$E_a^0[\exp (-\frac{{\nu }^2}{2}{\int }_0^t\frac{\mathrm{d}s}{X_s^2})|X_t=x]$$ pour tout $x>0$. Mais cela veut dire qu’on sait exprimer ces trans­formées de Laplace con­di­tion­nelles au moy­en du rap­port des dens­ités de $X_t$ sous $P_a^{\nu }$ et sous $P_a^0$. Ce rais­on­nement con­duit à la deuxième égalité de la for­mule $\text{(4)}$, qui joue un rôle cru­cial dans le cal­cul de la loi de l’in­dice du lacet browni­en.

Des formes plus générales de $\text{(13)}$ sont dis­cutées dans l’art­icle [2] de Marc Yor en col­lab­or­a­tion avec Jim Pit­man (si l’on ex­cepte la note aux Comptes Ren­dus an­nonçant cer­tains résul­tats de [2], c’est le premi­er d’une longue série d’art­icles de Pit­man et Yor). Ce trav­ail con­tient une somme im­pres­sion­nante de cal­culs et d’iden­tités en loi au­tour des pro­ces­sus de Bessel. Je me souvi­ens avoir exprimé mon ad­mir­a­tion pour cet art­icle devant Marc, et l’en­tendre me répon­dre “avec Jim, nous avons bi­en trav­aillé”, ce qui dans sa bouche voulait vraiment dire quelque chose.

Entre autres con­tri­bu­tions im­port­antes, l’art­icle [2] in­troduit et étud­ie une général­isa­tion des pro­ces­sus de Bessel, ap­pelés les pro­ces­sus de Bessel avec drift pour la rais­on suivante: si on considère un mouvement browni­en $X$ dans ${\mathbb{R}}^d$ avec drift con­stant égal à $v\ne 0$, et tel que $X_0=0$, al­ors on peut écri­re $X$ sous la forme $$X_t=R_t\mathrm{\Theta }({\int }_t^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}s}{R_s^2})$$ où $\mathrm{\Theta }$ est un mouvement browni­en sur la sphère ${\mathbb{S}}^{d-1}$, issu de $v/|v|$, et $R$ un pro­ces­sus de Bessel d’in­dice $\frac{d}{2}-1$ avec drift $|v|$, qui est indépendant de $\mathrm{\Theta }$. C’est un ana­logue sur­pren­ant de la décom­pos­i­tion en skew-product classique pour le mouvement browni­en sans drift (voir le para­graphe 1 ci-des­sus dans le cas $d=2$), mais il faut noter que le change­ment de temps ${\int }_0^t\frac{ds}{R_s^2}$ est re­m­placé par ${\int }_t^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}s}{R_s^2}$.

L’art­icle [2] con­tient une dis­cus­sion générale des dif­fu­sions con­di­tionnées (dont les pro­ces­sus de Bessel avec drift sont des cas par­ticuli­ers) et des pro­priétés de re­tourne­ment du temps as­sociées. Cer­taines de ces dernières avaient déjà été re­marquées par Wil­li­ams [e6] mais la puis­sance des ap­plic­a­tions po­ten­ti­elles ap­paraît vraiment ici. Un cas par­ticuli­er de ces pro­priétés énonce que le re­tourné d’un pro­ces­sus de Bessel d’in­dice $\nu >0$ issu de 0 et arrêté en son derni­er temps de pas­sage en $a>0$ est un pro­ces­sus de Bessel d’in­dice $-\nu$ issu de $a$ et arrêté quand il at­teint 0. Si ce résul­tat peut sans doute être at­tribué à Wil­li­ams [e6] (ou être vu comme une conséquence du théorème de re­tourne­ment de Na­gas­awa), on doit à Pit­man et Yor de l’avoir mis en évid­ence et d’avoir ain­si ouvert la voie à ses nom­breuses ap­plic­a­tions.

Parmi les nom­breux cal­culs de lois ex­pli­cites de [2], on peut citer la loi des temps d’at­teinte et des derniers temps de pas­sage de pro­ces­sus de Bessel avec drift. Un outil im­port­ant est une for­mule simple pour la dens­ité de la loi du derni­er temps de pas­sage en un niveau $y>0$ d’une dif­fu­sion tran­si­ente sur $[0,\mathrm{\infty }[$. Dans un cas par­ticuli­er, cette for­mule re­donne sans cal­culs la for­mule ob­tenue par Getoor [e8] pour la loi du derni­er temps de pas­sage en $y$ pour un pro­ces­sus de Bessel d’in­dice $\nu >0$ issu de 0.

Les travaux de Pit­man et Yor au­tour des pro­ces­sus de Bessel sont pro­longés dans l’art­icle [3] qui est tout aus­si novateur et im­port­ant que [2]. Comme son nom l’in­dique, cet art­icle donne une décom­pos­i­tion des (carrés de) ponts de pro­ces­sus de Bessel. Il ne s’agit pas ici d’une décom­pos­i­tion tra­ject­or­i­elle mais d’une décom­pos­i­tion des lois comme lois de sommes de pro­ces­sus indépendants. Si l’ac­cent dans [3] est mis sur les ponts, il semble au­jourd’hui que les résul­tats con­cernant les pro­ces­sus non con­di­tionnés aient été les plus fructueux pour les déve­lop­pe­ments fu­turs, et ce sont eux que nous al­lons brièvement décri­re.

Pour tout $d\ge 0$ et tout $y\ge 0$, le carré de pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion $d$ issu de $y$ — le $\mathrm{BESQ}(d,y)$ pour sim­plifer — est la solu­tion (à valeurs dans ${\mathbb{R}}_{+}$) de l’équa­tion différen­ti­elle stochastique $$\{\begin{array}{l}\mathrm{d}{Y}_t=2\sqrt{Y_t}\mathrm{d}{B}_t+d\mathrm{d}t,\\ Y_0=y.\end{array}$$ La ter­min­o­lo­gie est jus­ti­fiée par le fait que si $X_t$ est un pro­ces­sus de Bessel d’in­dice $\nu \ge -1$ issu de $x$, le pro­ces­sus $X_t^2$ est un $\mathrm{BESQ}(d,y)$ avec $d=2\nu +2$ et, évidem­ment, $y=x^2$. Les carrés de pro­ces­sus de Bessel possèdent une pro­priété d’ad­dit­iv­ité re­marquable, et fa­cile à démontrer: si $Y$ est un $\mathrm{BESQ}(d,y)$, si $Y^{\prime }$ est un $\mathrm{BESQ}(d^{\prime },y^{\prime })$, et si $Y$ et $Y^{\prime }$ sont indépendants, al­ors $Y+Y^{\prime }$ est un $\mathrm{BESQ}(d+d^{\prime },y+y^{\prime })$.

Une con­tri­bu­tion cru­ciale de [3] est le cal­cul de la trans­formée de Laplace des fonc­tion­nelles quad­ratiques des pro­ces­sus de Bessel. Pour alléger les nota­tions, no­tons $Q_y^d$ une mesure de prob­ab­ilité sous laquelle $Y$ est un $\mathrm{BESQ}(d,y)$. Soit $\mu$ une mesure pos­it­ive sur $]0,\mathrm{\infty }[$ telle que $\mu (]0,n[)<\mathrm{\infty }$ pour tout en­ti­er $n\ge 1$. Al­ors, la pro­priété d’ad­dit­iv­ité des pro­ces­sus de Bessel en­traîne que l’on peut écri­re $Q_y^d(\exp (-\int \mu (\mathrm{d}t)Y_t))=A(\mu {)}^{d}B(\mu {)}^y$ avec des réels $A(\mu ),B(\mu )\in [0,1]$ dépendant bi­en en­tendu de $\mu$. Le Théorème 2.1 de [3] iden­ti­fie les con­stantes $A(\mu )$ et $B(\mu )$, en don­nant la for­mule $$\begin{array}{}\text{(14)}& Q_y^d(\exp (-\int \mu (\mathrm{d}t)Y_t))={\phi }_{\mu }(\mathrm{\infty }{)}^{d/2}\exp (-\frac{x}{2}{\phi }_{\mu }^{+}(0)),\end{array}$$ où ${\phi }_{\mu }:[0,\mathrm{\infty })⟶[0,1]$ est la seule fonc­tion con­vexe décrois­sante telle que ${\phi }_{\mu }(0)=1$ et ${\phi }_{\mu }^{\prime \prime }=2{\phi }_{\mu }\cdot \mu$ au sens des dis­tri­bu­tions (${\phi }_{\mu }(0+)$ désigne la dérivée à droite de ${\phi }_{\mu }$ en 0 et, bi­en en­tendu, ${\phi }_{\mu }(\mathrm{\infty })$ est la lim­ite de ${\phi }_{\mu }$ en $\mathrm{\infty }$). La preuve donnée dans [3] re­pose sur une iden­ti­fic­a­tion des coef­fi­cients $A(\mu )$ et $B(\mu )$ à partir de cas par­ticuli­ers cor­res­pond­ants aux théorèmes de Ray–Knight, mais il est aus­si pos­sible de don­ner une preuve dir­ecte via le cal­cul stochastique (voir [12], The­or­em 2.4).

Dans plusieurs cas im­port­ants, on peut cal­culer la fonc­tion ${\phi }_{\mu }$ et ob­tenir ain­si des for­mules intéress­antes. Sig­nalons seule­ment la for­mule (2.k) de [3]: pour tous $\alpha ,b>0$, $$\begin{array}{c}{Q}_y^d(\exp (-\alpha Y_t-\frac{b^2}{2}{\int }_0^t{Y}_s\mathrm{d}s))\hfill \\ \hfill =(\cosh (bt)+\frac{2\alpha }{b}\sinh (bt){)}^{-d/2}\exp (-\frac{yb}{2}(\frac{1+2\alpha b^{-1}\coth (bt)}{\coth (bt)+2\alpha b^{-1}})).\end{array}$$ Le cas $d=2,y=0$ de cette iden­tité est étroite­ment lié à la for­mule $\text{(9)}$ pour la loi lim­ite des en­roul­e­ments au­tour de plusieurs points: le li­en entre les deux for­mules vi­ent de ce que, avec les nota­tions de la partie 3 ci-des­sus, le pro­ces­sus $(L_{{\sigma }_1}^{1-x}(\beta ){)}_{0\le x\le 1}$ est un $\mathrm{BESQ}(2,0)$ sur l’in­ter­valle de temps $[0,1]$ (théorème de Ray–Knight).

La pro­priété d’ad­dit­iv­ité des carrés de pro­ces­sus de Bessel suggère aus­si une re­présen­t­a­tion de Lévy–Itô de ces pro­ces­sus, ana­logue à la re­présen­t­a­tion classique des pro­ces­sus de Lévy à l’aide de pro­ces­sus de Pois­son ponc­tuels. Cette re­présen­t­a­tion est fournie par le Théorème 4.1 de [3], que nous énonçons sous une forme un peu différente. Nous in­troduis­ons d’abord l’es­pace $E$ des ex­cur­sions, c’est-à-dire des fonc­tions con­tin­ues $\omega :[0,\mathrm{\infty }[⟶[0,\mathrm{\infty }[$ qui sont nulles sauf sur un in­ter­valle $]0,\zeta [$, où $\zeta =\zeta (\omega )\in ]0,\mathrm{\infty }[$. Al­ors, il ex­iste une mesure $\sigma$-finie $N$ sur $E$ telle que la pro­priété suivante soit vraie pour tout choix de $d,y\ge 0$. Si $$\mathcal{N}=\sum _{i\in I}{\delta }_{{\omega }_i}$$ est une mesure de Pois­son sur $E$ d’in­tens­ité $y\cdot N(\mathrm{d}\omega )$, si $$\mathcal{M}=\sum _{j\in J}{\delta }_{(t_j,{\varpi }_j)}$$ est une mesure de Pois­son sur ${\mathbb{R}}_{+}\times E$ d’in­tens­ité $d\cdot \mathrm{d}tN(\mathrm{d}\omega )$, et si $\mathcal{N}$ et $\mathcal{M}$ sont indépendantes, le pro­ces­sus $Y$ défini par $$\begin{array}{}\text{(15)}& Y_t=\sum _{i\in I}{\omega }_i(t)+\sum _{j\in J}{\varpi }_j((t-t_j{)}_{+})\end{array}$$ est un $\mathrm{BESQ}(d,y)$. Re­marquons que, dans le deuxième ter­me du membre de droite de $\text{(15)}$, chaque “ex­cur­sion” ${\varpi }_j$, $j\in J$, subit un décalage tem­porel de $t_j$. De plus, Pit­man et Yor iden­ti­fi­ent la mesure $N$ comme étant la loi des temps lo­c­aux totaux (vus comme pro­ces­sus en la vari­able d’es­pace) sous la mesure d’Itô des ex­cur­sions pos­it­ives du mouvement browni­en.

Ce beau résul­tat per­met de bi­en com­pren­dre la struc­ture des carrés de pro­ces­sus de Bessel et leur dépendance en les paramètres $d$ et $y$. Via des ar­gu­ments de théorie des ex­cur­sions, l’iden­ti­fic­a­tion de $N$ montre aus­si que les théorèmes de Ray–Knight classiques peuvent être ret­rouvés à partir de la re­présen­t­a­tion $\text{(15)}$. C’est sans doute l’ex­plic­a­tion la plus con­vain­cante de l’ap­par­i­tion des carrés de pro­ces­sus de Bessel dans les théorèmes de Ray–Knight.

Merci à Michel Emery, Mo­nique Jean­blanc, Jim Pit­man et Zhan Shi pour leurs com­mentaires sur une ver­sion prélim­in­aire de cet art­icle.