Celebratio Mathematica

Marc trav­ailla sur la théorie de la pénal­isa­tion une petite dizaine d’années, jusqu’en 2009 en­viron. Il pub­lia sur ce thème avec ses co-auteurs en­viron une quin­zaine d’art­icles, mono­graph­ie et livre. Il n’est donc pas ques­tion de détailler ici l’en­semble de ses résul­tats mais seule­ment d’en es­quis­s­er les idées prin­cip­ales.

a) Soit $\mathrm{\Omega }:=\mathcal{C}({\mathbb{R}}_{+},\mathbb{R})$ (ou $\mathcal{C}({\mathbb{R}}_{+},{\mathbb{R}}^d)$, ou $\mathcal{C}({\mathbb{R}}_{+},{\mathbb{R}}_{+})$) l’es­pace can­o­nique, $(X_t(\omega ):=\omega (t),t\ge 0)$ le pro­ces­sus des co­or­données et $({\mathcal{F}}_t=\sigma (X_s,s\le t){)}_{t\ge 0}$ la fil­tra­tion naturelle. Dési­gnons par ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$ la $\sigma$-algèbre $\underset{t\ge 0}{\bigvee }{\mathcal{F}}_t=\sigma (X_s,s\ge 0)$. L’es­pace $\mathrm{\Omega }$ est muni de la fa­mille de prob­ab­ilités $(W_x,x\in {\mathbb{R}}^d)$ ou $(W_x,x\in {\mathbb{R}}_{+})$ telle que, sous $W_x$, $(X_t)$ est un mouvement Browni­en à valeurs dans ${\mathbb{R}}^d$ ou un pro­ces­sus de Bessel, issu de $x$. On notera $E_x$ l’espérance sous $W_x$.

b) Soit par ail­leurs $({\mathrm{\Gamma }}_t,t\ge 0)$ une fonc­tion­nelle de pénal­isa­tion, i.e. une fa­mille de vari­ables aléatoires pos­it­ives (non néces­saire­ment ad­aptée) et telle que, $$0<E_x({\mathrm{\Gamma }}_t)<\mathrm{\infty },\text{pour tout }t\ge 0\text{ et }x\in \mathbb{R}.$$ Défin­is­sons al­ors la nou­velle prob­ab­ilité $W_{x,t}^{\mathrm{\Gamma }}$ sur $(\mathrm{\Omega },{\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }})$ par la re­la­tion: $$\begin{array}{}\text{(1)}& W_{x,t}^{\mathrm{\Gamma }}:=\frac{{\mathrm{\Gamma }}_t}{E_x({\mathrm{\Gamma }}_t)}{W}_x,t\ge 0,x\in \mathbb{R}.\end{array}$$ Par défi­ni­tion, $W_{x,t}^{\mathrm{\Gamma }}$ est ab­so­lu­ment con­tin­ue par rap­port $W_x$, mais la fa­mille de prob­ab­ilités $(W_{x,t}^{\mathrm{\Gamma }},t\ge 0)$ n’est pas, en général, pro­ject­ive.

c) Sup­po­sons que la pro­priété suivante soit sat­is­faite: $$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rl}& \text{pour tout }s\ge 0\text{ et }{F}_s\in {\mathcal{F}}_s,W_{x,t}^{\mathrm{\Gamma }}(F_s)\text{ admet une limite,}\\ & \text{ notée }{W}_{x,\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\Gamma }}(F_s),\text{ quand }t\to \mathrm{\infty }.\end{array}\end{array}$$ Nous noter­ons par­fois dans la suite, lor­squ’il n’y a pas d’am­bi­gu­ité, $W_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\Gamma }}(F_s)$ au lieu de $W_{x,\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\Gamma }}(F_s)$.

Si la pro­priété $\text{(2)}$ est sat­is­faite, il n’est pas dif­fi­cile de démontrer:

1. $W_{x,\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\Gamma }}$ in­duit une prob­ab­ilité sur $(\mathrm{\Omega },{\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }})$ qui est ap­pelée prob­ab­ilité ob­tenue par la pénal­isa­tion $({\mathrm{\Gamma }}_t,t\ge 0)$.
2. Pour tout $s\ge 0$, la re­stric­tion de $W_{x,\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\Gamma }}$ à ${\mathcal{F}}_s$ ad­met une dens­ité $M_s^x$ et $(M_s^x,s\ge 0)$ est une $({\mathcal{F}}_s{)}_{s\ge 0}$ $W_x$-mar­tin­gale pos­it­ive et $$\begin{array}{}\text{(3)}& W_{x,\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\Gamma }}=M_s^x{W}_x\text{sur }{\mathcal{F}}_s.\end{array}$$

d) En quoi con­siste l’étude d’une pénal­isa­tion?

Le pro­ces­sus $({\mathrm{\Gamma }}_t,t\ge 0)$ étant donné, une étude de pénal­isa­tion con­siste d’abord à prouver que la pro­priété $\text{(2)}$ a lieu. Pour ce faire, la première étape est d’ex­hiber un équi­val­ent de $E_x({\mathrm{\Gamma }}_t)$ lor­sque $t\to \mathrm{\infty }$. La quant­ité $E_x({\mathrm{\Gamma }}_t)$ est ap­pelé le fac­teur de nor­m­al­isa­tion.

Dans la plu­part des ex­emples considérés, bi­en que la prob­ab­ilité $W_{x,\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\Gamma }}$ soit ab­so­lu­ment con­tin­ue par rap­port à la prob­ab­ilité ini­tiale $W_x$ sur chaque ${\mathcal{F}}_t$, il n’en va pas de même sur ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$. Ain­si beau­c­oup de prob­ab­ilités ob­tenues par pénal­isa­tion du mouvement browni­en ont un com­porte­ment tra­ject­or­i­el à l’in­fini très différent de la tra­jectoire browni­enne usuelle, ce qui en fait leur intérêt. Il est ain­si pos­sible que la tra­jectoire puisse être ren­due tran­si­ente sous la nou­velle prob­ab­ilité, voir l’Ex­emple TL, Sec­tion 3 ci-des­sous.

e) L’un des premi­ers ex­emples de pro­ces­sus pénal­isé est sans doute dû à F. Knight [◊] lors de son étude des “ta­boo pro­cesses”, où l’auteur con­stru­it dans cet art­icle un mouvement browni­en con­di­tionné à rest­er à l’intérieur d’un in­ter­valle borné. Il faudrait plutôt par­ler ici de pro­ces­sus con­di­tionné par un événe­ment de prob­ab­ilité nulle. L’ex­emple de F. Knight est un cas par­ticuli­er de pénal­isa­tion.

Ces pénal­isa­tions sont ain­si désignées car la fonc­tion­nelle de pénal­isa­tion as­sociée est de la forme: $$\begin{array}{}\text{(4)}& {\mathrm{\Gamma }}_t:=\exp \{-\frac{1}{2}{\int }_0^{t}q(X_s)ds\},t\ge 0,\end{array}$$ où $q:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{+}$ est une fonc­tion sat­is­fais­ant à: $$\begin{array}{}\text{(5)}& {\int }_{\mathbb{R}}(1+|x|)q(x)dx<\mathrm{\infty }.\end{array}$$ Ces pénal­isa­tions furent les premières étudiées par Marc et ses co-auteurs [◊]. Un premi­er manuscrit sur ce sujet fut rédigé à Noël 2001.

L’ori­gine de ce trav­ail est l’intérêt que por­tait Marc aux fonc­tion­nelles browni­ennes ex­po­nen­ti­elles et plus par­ticulière­ment à la ques­tion suivante: quel est l’équi­val­ent, quand $t\to \mathrm{\infty }$ de $E_x({\mathrm{\Gamma }}_t)$ lor­sque la fonc­tion $q$ véri­fie par ex­emple $\text{(5)}$, ou d’autres con­di­tions à l’in­fini. Sous l’hy­pothèse $\text{(5)}$, la réponse à cette ques­tion est la suivante: $$\begin{array}{}\text{(6)}& E_x({\mathrm{\Gamma }}_t)\sim \frac{{\phi }_q(x)}{\sqrt{t}},t\to \mathrm{\infty },\end{array}$$ où la fonc­tion ${\phi }_q$ est l’unique solu­tion d’une équa­tion de Sturm–Li­ouville avec con­di­tions ad-hoc à l’in­fini. La première démon­stra­tion de ce résul­tat util­isait les théorèmes taubéri­ens.

Le pro­ces­sus pénal­isé, qui est ob­tenu comme solu­tion d’une équa­tion différen­ti­elle stochastique ex­pli­cite, est un pro­ces­sus tran­si­ent al­ors que le pro­ces­sus de départ, le mouvement browni­en linéaire, est récur­rent. Par conséquent, la nou­velle prob­ab­ilité est donc sin­gulière par rap­port à la mesure de Wien­er. L’ex­plic­a­tion in­tu­it­ive de ce résul­tat est la suivante: d’après $\text{(5)}$, la fonc­tion $q$ est “petite à l’in­fini”; ain­si ${\mathrm{\Gamma }}_t$ est grande sur les tra­jectoires “qui vont souvent à l’in­fini”. La pénal­isa­tion fa­vor­ise donc ce type de tra­jectoires, ce qui ex­plique in­tu­it­ive­ment l’as­pect tran­si­ent du pro­ces­sus pénal­isé. Sig­nalons que dans ce cas par­ticuli­er, le pro­ces­sus pénal­isé est markovi­en, ce qui n’est pas en général le cas, comme dans l’ex­emple TL (cf. Sec­tion 3).

Pendant plusieurs années, jusqu’en 2009 en­viron, Marc et ses co-auteurs se sont intéressés à d’autres fonc­tion­nelles de pénal­isa­tion:

• des fonc­tions du max­im­um unilatère, ou du max­im­um de la valeur ab­solue, ou du temps loc­al en 0 ou du nombre de des­cen­tes, du mouvement browni­en linéaire [◊];
• des fonc­tions du max­im­um unilatère du pont browni­en [◊];
• des fonc­tions du temps loc­al en 0 pour des pro­ces­sus de Bessel récur­rents [◊];
• des fonc­tions dépendant du nombre de tours ou du mod­ule pour le mouvement browni­en mul­ti­di­men­sion­nel [◊];
• des fonc­tions liées à la lon­gueur des ex­cur­sions, ou du max­im­um unilatère après un temps de premi­er pas­sage, ou des fonc­tions de fonc­tion­nelles ad­dit­ives browni­ennes, etc. [◊], [◊] et [◊].

Bi­en qu’il ne soit pas en­vis­age­able de décri­re ici l’en­semble des résul­tats ob­tenus, fais­ons toute­fois quelques re­marques.

$\bullet$ D’une façon as­sez ex­traordin­aire et fas­cin­ante, les méthodes util­isées dans ces travaux font ap­pel de manière es­sen­ti­elle à de nom­breux résul­tats récents du cal­cul stochastique, résul­tats dont beau­c­oup ont été soit ini­tial­isés, soit déve­loppés par Marc. On a par­fois l’im­pres­sion que ces résul­tats “col­lent” tell­e­ment bi­en à la problématique des pénal­isa­tions qu’ils ont été crées à cet fin. Citons parmi ces méthodes et outils: le balay­age et les mar­tin­gales d’Azéma–Yor, les plonge­ments de Skorok­hod (par la méthode d’Azéma–Yor [◊] et [◊]), les grossisse­ments ini­tial et pro­gres­sif de fil­tra­tions, l’ex­ten­sion du théorème de Pit­man re­latif au pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 3 ([◊] et [◊]), les théorèmes de Ray–Knight, les études de fonc­tion­nelles ex­po­nen­ti­elles, la théorie des ex­cur­sions, etc.

$\bullet$ No­tons aus­si que, d’après le point 1 c) ci des­sus, à chaque pénal­isa­tion est as­sociée une mar­tin­gale pos­it­ive, si bi­en que l’étude des pénal­isa­tions est une “ma­chine” à fab­riquer de nom­breuses et nou­velles mar­tin­gales. Cer­taines — par ex­emple celles liées aux pénal­isa­tions de pro­ces­sus de Bessel récur­rents par une fonc­tion­nelle dépendant des lon­gueurs des ex­cur­sions classées par or­dre décrois­sant — ont le par­fum ex­quis et troub­lant de ces nou­velles espèces de fleurs découvertes par des bot­an­is­tes-ex­plor­at­eurs au fin fond de l’Océanie.

$\bullet$ Les procédures de pénal­isa­tion ont beau­c­oup de rap­port avec ce que l’on pour­rait appel­er un “plonge­ment de Skorok­hod asymp­totique”. Pour être clair et sans cherch­er à faire une théorie, il­lus­trons ceci avec un ex­emple simple (cf. [◊]).

Soit $(L_t,t\ge 0)$ le temps loc­al en 0 du mouvement browni­en $(X_t,t\ge 0)$, issu de 0 et soit $h:{\mathbb{R}}_{+}\to {\mathbb{R}}_{+}$ une fonc­tion intégrable que l’on peut sup­poser, sans perte de généralité, d’intégrale 1, i.e. ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}h(x)dx=1$. Pénal­is­ons le mouvement browni­en par la fonc­tion­nelle: $${\mathrm{\Gamma }}_t:=h(L_t),t\ge 0,$$ et no­tons $W_{x,\mathrm{\infty }}^{h(L)}$ la prob­ab­ilité ob­tenue par cette pénal­isa­tion. Ce qui sig­ni­fie que $$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{E}_x(F_s\frac{h(L_t)}{E[h(L_t)]})=W_{x,\mathrm{\infty }}^{h(L)}(F_s),\text{pour tous }s\ge 0,F_s\in {\mathcal{F}}_s.$$ Sous la prob­ab­ilité $W_{x,\mathrm{\infty }}^{h(L)}$,

• $L_t$ con­verge pr­esque sûre­ment vers une v.a. notée $L_{\mathrm{\infty }}$;
• $L_{\mathrm{\infty }}$ a pour dens­ité $h$, lor­sque $x=0$.

On a ain­si con­stru­it sur l’es­pace can­o­nique du mouvement browni­en, une v.a. $L_{\mathrm{\infty }}$ qui, sous $W_{0,\mathrm{\infty }}^{h(L)}$ ad­met pour dens­ité la fon­tion $h$ donnée à l’avance. En ce sens, il s’agit d’une sorte de “plonge­ment de Skorok­hod asymp­totique”.

$\bullet$ La plu­part des pro­ces­sus pénal­isés ne sont plus markovi­ens, même si le pro­ces­sus de départ l’est. Dans [◊], ap­par­ais­sent ain­si des pro­ces­sus non-markovi­ens mais qui sont “max-markovi­ens”. Une car­atérisa­tion des pro­ces­sus pénal­isés markovi­ens est es­quissée dans [◊].

Si l’on ob­serve les différentes pénal­isa­tions décrites, très brièvement, dans la Sec­tion 3, en dépit de la grande variété des fonc­tion­nelles de pénal­isa­tion util­isées et des mar­tin­gales en résul­t­ant, en dépit des com­porte­ments très divers des pro­ces­sus pénal­isés, force est de re­con­naitre que tous ces résul­tats ont “un air de fa­mille”. En par­ticuli­er, beau­c­oup de décom­pos­i­tions de tra­jectoires pénal­isées ont un point com­mun: après un cer­tain temps (qui n’est pas un temps d’arrêt), les tra­jectoires se com­portent comme celles d’un pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 3, al­ors qu’au départ, un tel pro­ces­sus n’ap­par­ais­sait nulle part. Cet as­pect troub­lant in­citait à se poser la ques­tion suivante:

(Q) ex­iste-t-il un cadre plus général — uni­versel? — en­g­lob­ant toutes ou, à défaut, beau­c­oup de pénal­isa­tions?

Bi­en sûr, une telle ques­tion con­duit al­ors à ne plus seule­ment considérer les pénal­isa­tions in­di­vidu­elle­ment mais au con­traire à les re­garder “glob­ale­ment”, en quelque sorte comme fonc­tion de la fonc­tion­nelle de pénal­isa­tion. Pour être plus ex­pli­cite, re­ven­ons aux pénal­isa­tions de Feyn­man–Kac in­troduites dans la Sec­tion 1. No­tons $W_{x,\mathrm{\infty }}^{(q)}$ la prob­ab­ilité pénal­isée par la fonc­tion­nelle: $${\mathrm{\Gamma }}_t^{(q)}:=\exp \{-\frac{1}{2}{\int }_0^{t}q(X_s)ds\},t\ge 0,$$ afin d’in­diquer la dépendance en la fonc­tion $q$.

Le résul­tat prin­cip­al qui répond à (Q) est le suivant: il ex­iste une fa­mille de mesur­es $\sigma$-finies $({\mathcal{W}}_x,x\in \mathbb{R})$ sur l’es­pace can­o­nique, qui ne dépend pas de $q$, telle que pour toute fonc­tion $q$ sat­is­fais­ant $\text{(5)}$ on ait, $$\begin{array}{}\text{(7)}& W_{x,\mathrm{\infty }}^{(q)}(F)=\frac{1}{{\phi }_q(x)}{\mathcal{W}}_x(1_F\exp \{-\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}q(X_s)ds\}),F\in {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }},\end{array}$$ où ${\phi }_q$ est la fonc­tion qui a été in­troduite dans la Sec­tion 1 et qui ap­par­ait dans l’équi­val­ent $\text{(6)}$.

No­tons que d’après $\text{(7)}$, $$\begin{array}{}\text{(8)}& {\phi }_q(x)={\mathcal{W}}_x(\exp \{-\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}q(X_s)ds\}).\end{array}$$ En d’autres ter­mes, toutes les prob­ab­ilités pénal­isées $W_{x,\mathrm{\infty }}^{(q)}$ sont ab­so­lu­ment con­tin­ues par rap­port à cette unique mesure $\sigma$-finie ${\mathcal{W}}_x$ et la dens­ité as­sociée a une forme simple: $$\frac{1}{{\phi }_q(x)}\exp \{-\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}q(X_s)ds\}$$ qui dépend bi­en sûr de la fonc­tion $q$.

Cette mesure ${\mathcal{W}}_x$ possède la pro­priété suivante: pour tout $t\ge 0$ et tout $F\in {\mathcal{F}}_t$, $${\mathcal{W}}_x(F)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }{W}_{x,\mathrm{\infty }}^{(q)}(F)=0,\\ \mathrm{\infty }& \text{si }{W}_{x,\mathrm{\infty }}^{(q)}(F)>0.\end{array}$$ No­tons que cette al­tern­at­ive ne dépend pas de $q$. Ain­si, ${\mathcal{W}}_x$ ne prend que 2 valeurs sur ${\mathcal{F}}_t$.

Marc a joué un rôle ma­jeur dans la découverte des mesur­es ${\mathcal{W}}_x$.

Fait re­marquable, non seule­ment cette mesure $\sigma$-finie “rend compte de toutes les pénal­isa­tions de type Feyn­man–Kac”, via $\text{(7)}$, mais elle se général­ise à bon nombre d’autres pénal­isa­tions, celles dont le fac­teur de nor­m­al­isa­tion “est en $1/\sqrt{t}$”. Il­lus­trons ce fait sur un ex­emple simple (la mono­graph­ie [◊] en compte beau­c­oup d’autres).

Repren­ons pour cela l’ex­emple TL décrit dans la Sec­tion 3. On a al­ors, et c’est une général­isa­tion de dir­ecte de $\text{(7)}$: $$\begin{array}{}\text{(9)}& W_{x,\mathrm{\infty }}^{h(L)}(F)=c_x{\mathcal{W}}_x(1_{F}h(L_{\mathrm{\infty }})),\mathrm{\forall }F\in {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }},\end{array}$$ où la con­stante $c_x$ vaut $1/{\mathcal{W}}_x(h(L_{\mathrm{\infty }}))$.

Re­marquons que la v.a. $L_{\mathrm{\infty }}$ est finie pr­esque sûre­ment à la fois sous $W_{x,\mathrm{\infty }}^{h(L)}$ et ${\mathcal{W}}_x$.

En d’autres ter­mes, pour cette pénal­isa­tion avec une fonc­tion du temps loc­al en 0, la for­mule $\text{(7)}$ est en­core vraie, avec la même mesure $\sigma$-finie ${\mathcal{W}}_x$, à con­di­tion de re­m­pla­cer la v.a. $\exp \{-\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}q(X_s)ds\}$ par $h(L\mathrm{\infty })$. Comme une for­mule du type $\text{(7)}$ ex­iste pour une large classe de pénal­isa­tions (cf. [◊], Sec­tion 1.2.5), on peut dire que ${\mathcal{W}}_x$ est une mesure “uni­verselle”.

La con­struc­tion de cette mesure ${\mathcal{W}}_x$ est menée à bi­en dans le chapitre 2 de [◊], tandis que ses prin­cip­ales pro­priétés, util­isa­tions et ex­ten­sions sont déve­loppées dans [◊].

Le premi­er sig­nataire de ce mini-résumé du trav­ail de Marc sur les pénal­isa­tions tient à dire que la con­tri­bu­tion de Joseph Najun­del dans la rédac­tion de [◊] a été ex­trêmement im­port­ante. Dis­cutant avec Marc, il nous ar­rivait souvent de par­ler de la pro­priété de Joseph ou du théorème de Joseph - cf. en par­ticuli­er le point 2 du Théorème 1.18 p. 8 de [◊], qui est un point clé ain­si que le Théorème 1.2.14, p. 48 [◊], qui est en quelque sorte un abou­tisse­ment de la théorie. En­fin, le chapitre 4, de [◊], con­sacré à une ad­apt­a­tion — non-triviale! — des résul­tats de pénal­isa­tion à des chaines de Markov “générales” est entière­ment dû à J. Na­j­nudel.