Celebratio Mathematica

Marc trav­ailla sur la théorie de la pénal­isa­tion une petite dizaine d’années, jusqu’en 2009 en­viron. Il pub­lia sur ce thème avec ses co-auteurs en­viron une quin­zaine d’art­icles, mono­graph­ie et livre. Il n’est donc pas ques­tion de détailler ici l’en­semble de ses résul­tats mais seule­ment d’en es­quis­s­er les idées prin­cip­ales.

a) Soit \( \Omega:=\mathcal{C}(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}) \) (ou \( \mathcal{C}(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}^d) \), ou \( \mathcal{C}(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}_+) \)) l’es­pace can­o­nique, \( (X_t(\omega):=\omega(t),\; t\geq 0) \) le pro­ces­sus des co­or­données et \( (\mathcal{F}_t=\sigma(X_s,\; s\leq t))_{t\geq 0} \) la fil­tra­tion naturelle. Dési­gnons par \( \mathcal{F}_\infty \) la \( \sigma \)-algèbre \( \bigvee_{t\geq 0}\mathcal{F}_t=\sigma(X_s,\; s\geq 0) \). L’es­pace \( \Omega \) est muni de la fa­mille de prob­ab­ilités \( (W_x,\; x\in \mathbb{R}^d) \) ou \( (W_x,\; x\in \mathbb{R}_+) \) telle que, sous \( W_x \), \( (X_t) \) est un mouvement Browni­en à valeurs dans \( \mathbb{R}^d \) ou un pro­ces­sus de Bessel, issu de \( x \). On notera \( E_x \) l’espérance sous \( W_x \).

b) Soit par ail­leurs \( (\Gamma_t,\; t\geq 0) \) une fonc­tion­nelle de pénal­isa­tion, i.e. une fa­mille de vari­ables aléatoires pos­it­ives (non néces­saire­ment ad­aptée) et telle que, \[ 0 < E_x(\Gamma_t) < \infty, \quad \mbox{pour tout } t\geq 0 \mbox{ et } x\in \mathbb{R}. \] Défin­is­sons al­ors la nou­velle prob­ab­ilité \( W_{x,t}^\Gamma \) sur \( (\Omega, \mathcal{F}_\infty) \) par la re­la­tion: \begin{equation} W_{x,t}^\Gamma:=\frac{\Gamma_t}{E_x(\Gamma_t)} \;W_x,\quad t\geq 0,\; x\in \mathbb{R}. \end{equation} Par défi­ni­tion, \( W_{x,t}^\Gamma \) est ab­so­lu­ment con­tin­ue par rap­port \( W_x \), mais la fa­mille de prob­ab­ilités \( (W_{x,t}^\Gamma,\; t\geq 0) \) n’est pas, en général, pro­ject­ive.

c) Sup­po­sons que la pro­priété suivante soit sat­is­faite: \begin{equation}\label{propP} \eqalign{ &\mbox{pour tout } s\geq0 \mbox{ et } F_s\in\mathcal{F}_s, W_{x,t}^\Gamma(F_s) \mbox{ admet une limite,} \cr&\hskip180pt\mbox{ notée } W_{x,\infty}^\Gamma(F_s), \mbox{ quand }\ t\rightarrow \infty. } \end{equation} Nous noter­ons par­fois dans la suite, lor­squ’il n’y a pas d’am­bi­gu­ité, \( W_\infty^\Gamma(F_s) \) au lieu de \( W_{x,\infty}^\Gamma(F_s) \).

Si la pro­priété \eqref{propP} est sat­is­faite, il n’est pas dif­fi­cile de démontrer:

1. \( W_{x,\infty}^\Gamma \) in­duit une prob­ab­ilité sur \( (\Omega, \mathcal{F}_\infty) \) qui est ap­pelée prob­ab­ilité ob­tenue par la pénal­isa­tion \( (\Gamma_t,\; t\geq 0) \).
2. Pour tout \( s\geq0 \), la re­stric­tion de \( W_{x,\infty}^\Gamma \) à \( \mathcal{F}_s \) ad­met une dens­ité \( M^x_s \) et \( (M_s^{x},\; s\geq 0) \) est une \( (\mathcal{F}_s)_{s\geq 0} \) \( W_x \)-mar­tin­gale pos­it­ive et \begin{equation}\label{9h2} W_{x,\infty}^\Gamma=M^x_{s}\; W_x\quad \mbox{sur } \mathcal{F}_s. \end{equation}

d) En quoi con­siste l’étude d’une pénal­isa­tion?

Le pro­ces­sus \( (\Gamma_t,\;t\geq 0) \) étant donné, une étude de pénal­isa­tion con­siste d’abord à prouver que la pro­priété \eqref{propP} a lieu. Pour ce faire, la première étape est d’ex­hiber un équi­val­ent de \( E_x(\Gamma_t) \) lor­sque \( t\rightarrow\infty \). La quant­ité \( E_x(\Gamma_t) \) est ap­pelé le fac­teur de nor­m­al­isa­tion.

Dans la plu­part des ex­emples considérés, bi­en que la prob­ab­ilité \( W_{x,\infty}^\Gamma \) soit ab­so­lu­ment con­tin­ue par rap­port à la prob­ab­ilité ini­tiale \( W_x \) sur chaque \( \mathcal{F}_t \), il n’en va pas de même sur \( \mathcal{F}_\infty \). Ain­si beau­c­oup de prob­ab­ilités ob­tenues par pénal­isa­tion du mouvement browni­en ont un com­porte­ment tra­ject­or­i­el à l’in­fini très différent de la tra­jectoire browni­enne usuelle, ce qui en fait leur intérêt. Il est ain­si pos­sible que la tra­jectoire puisse être ren­due tran­si­ente sous la nou­velle prob­ab­ilité, voir l’Ex­emple TL, Sec­tion 3 ci-des­sous.

e) L’un des premi­ers ex­emples de pro­ces­sus pénal­isé est sans doute dû à F. Knight [◊] lors de son étude des “ta­boo pro­cesses”, où l’auteur con­stru­it dans cet art­icle un mouvement browni­en con­di­tionné à rest­er à l’intérieur d’un in­ter­valle borné. Il faudrait plutôt par­ler ici de pro­ces­sus con­di­tionné par un événe­ment de prob­ab­ilité nulle. L’ex­emple de F. Knight est un cas par­ticuli­er de pénal­isa­tion.

Ces pénal­isa­tions sont ain­si désignées car la fonc­tion­nelle de pénal­isa­tion as­sociée est de la forme: \begin{equation} \Gamma_t:=\exp\Bigl\{-\frac{1}{2} \int_0^t q(X_s)\,ds\Bigr\},\quad t\geq 0, \end{equation} où \( q :\; \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}_+ \) est une fonc­tion sat­is­fais­ant à: \begin{equation}\label{Jyv2} \int_\mathbb{R}(1+|x|)q(x)\,dx < \infty. \end{equation} Ces pénal­isa­tions furent les premières étudiées par Marc et ses co-auteurs [◊]. Un premi­er manuscrit sur ce sujet fut rédigé à Noël 2001.

L’ori­gine de ce trav­ail est l’intérêt que por­tait Marc aux fonc­tion­nelles browni­ennes ex­po­nen­ti­elles et plus par­ticulière­ment à la ques­tion suivante: quel est l’équi­val­ent, quand \( t\rightarrow\infty \) de \( E_x(\Gamma_t) \) lor­sque la fonc­tion \( q \) véri­fie par ex­emple \eqref{Jyv2}, ou d’autres con­di­tions à l’in­fini. Sous l’hy­pothèse \eqref{Jyv2}, la réponse à cette ques­tion est la suivante: \begin{equation}\label{Jyv3} E_x(\Gamma_t) \sim\frac{\varphi_q(x)}{\sqrt{t}},\quad t\rightarrow\infty, \end{equation} où la fonc­tion \( \varphi_q \) est l’unique solu­tion d’une équa­tion de Sturm–Li­ouville avec con­di­tions ad-hoc à l’in­fini. La première démon­stra­tion de ce résul­tat util­isait les théorèmes taubéri­ens.

Le pro­ces­sus pénal­isé, qui est ob­tenu comme solu­tion d’une équa­tion différen­ti­elle stochastique ex­pli­cite, est un pro­ces­sus tran­si­ent al­ors que le pro­ces­sus de départ, le mouvement browni­en linéaire, est récur­rent. Par conséquent, la nou­velle prob­ab­ilité est donc sin­gulière par rap­port à la mesure de Wien­er. L’ex­plic­a­tion in­tu­it­ive de ce résul­tat est la suivante: d’après \eqref{Jyv2}, la fonc­tion \( q \) est “petite à l’in­fini”; ain­si \( \Gamma_t \) est grande sur les tra­jectoires “qui vont souvent à l’in­fini”. La pénal­isa­tion fa­vor­ise donc ce type de tra­jectoires, ce qui ex­plique in­tu­it­ive­ment l’as­pect tran­si­ent du pro­ces­sus pénal­isé. Sig­nalons que dans ce cas par­ticuli­er, le pro­ces­sus pénal­isé est markovi­en, ce qui n’est pas en général le cas, comme dans l’ex­emple TL (cf. Sec­tion 3).

Pendant plusieurs années, jusqu’en 2009 en­viron, Marc et ses co-auteurs se sont intéressés à d’autres fonc­tion­nelles de pénal­isa­tion:

• des fonc­tions du max­im­um unilatère, ou du max­im­um de la valeur ab­solue, ou du temps loc­al en 0 ou du nombre de des­cen­tes, du mouvement browni­en linéaire [◊];
• des fonc­tions du max­im­um unilatère du pont browni­en [◊];
• des fonc­tions du temps loc­al en 0 pour des pro­ces­sus de Bessel récur­rents [◊];
• des fonc­tions dépendant du nombre de tours ou du mod­ule pour le mouvement browni­en mul­ti­di­men­sion­nel [◊];
• des fonc­tions liées à la lon­gueur des ex­cur­sions, ou du max­im­um unilatère après un temps de premi­er pas­sage, ou des fonc­tions de fonc­tion­nelles ad­dit­ives browni­ennes, etc. [◊], [◊] et [◊].

Bi­en qu’il ne soit pas en­vis­age­able de décri­re ici l’en­semble des résul­tats ob­tenus, fais­ons toute­fois quelques re­marques.

\( \bullet \) D’une façon as­sez ex­traordin­aire et fas­cin­ante, les méthodes util­isées dans ces travaux font ap­pel de manière es­sen­ti­elle à de nom­breux résul­tats récents du cal­cul stochastique, résul­tats dont beau­c­oup ont été soit ini­tial­isés, soit déve­loppés par Marc. On a par­fois l’im­pres­sion que ces résul­tats “col­lent” tell­e­ment bi­en à la problématique des pénal­isa­tions qu’ils ont été crées à cet fin. Citons parmi ces méthodes et outils: le balay­age et les mar­tin­gales d’Azéma–Yor, les plonge­ments de Skorok­hod (par la méthode d’Azéma–Yor [◊] et [◊]), les grossisse­ments ini­tial et pro­gres­sif de fil­tra­tions, l’ex­ten­sion du théorème de Pit­man re­latif au pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 3 ([◊] et [◊]), les théorèmes de Ray–Knight, les études de fonc­tion­nelles ex­po­nen­ti­elles, la théorie des ex­cur­sions, etc.

\( \bullet \) No­tons aus­si que, d’après le point 1 c) ci des­sus, à chaque pénal­isa­tion est as­sociée une mar­tin­gale pos­it­ive, si bi­en que l’étude des pénal­isa­tions est une “ma­chine” à fab­riquer de nom­breuses et nou­velles mar­tin­gales. Cer­taines — par ex­emple celles liées aux pénal­isa­tions de pro­ces­sus de Bessel récur­rents par une fonc­tion­nelle dépendant des lon­gueurs des ex­cur­sions classées par or­dre décrois­sant — ont le par­fum ex­quis et troub­lant de ces nou­velles espèces de fleurs découvertes par des bot­an­is­tes-ex­plor­at­eurs au fin fond de l’Océanie.

\( \bullet \) Les procédures de pénal­isa­tion ont beau­c­oup de rap­port avec ce que l’on pour­rait appel­er un “plonge­ment de Skorok­hod asymp­totique”. Pour être clair et sans cherch­er à faire une théorie, il­lus­trons ceci avec un ex­emple simple (cf. [◊]).

Soit \( (L_t,\; t\geq 0) \) le temps loc­al en 0 du mouvement browni­en \( (X_t,\; t\geq 0) \), issu de 0 et soit \( h : \; \mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}_+ \) une fonc­tion intégrable que l’on peut sup­poser, sans perte de généralité, d’intégrale 1, i.e. \( \int_0^\infty h(x)\,dx=1 \). Pénal­is­ons le mouvement browni­en par la fonc­tion­nelle: \[ \Gamma_t:=h(L_t),\quad t\geq 0, \] et no­tons \( W_{x,\infty}^{h(L)} \) la prob­ab­ilité ob­tenue par cette pénal­isa­tion. Ce qui sig­ni­fie que \[ \lim_{t\rightarrow\infty}E_x\biggl(F_s\frac{h(L_t)}{E[h(L_t)]}\biggr)= W_{x,\infty}^{h(L)}(F_s),\quad \mbox{pour tous } s\geq 0,\ F_s\in \mathcal{F}_s. \] Sous la prob­ab­ilité \( W_{x,\infty}^{h(L)} \),

• \( L_t \) con­verge pr­esque sûre­ment vers une v.a. notée \( L_\infty \);
• \( L_\infty \) a pour dens­ité \( h \), lor­sque \( x=0 \).

On a ain­si con­stru­it sur l’es­pace can­o­nique du mouvement browni­en, une v.a. \( L_\infty \) qui, sous \( W_{0,\infty}^{h(L)} \) ad­met pour dens­ité la fon­tion \( h \) donnée à l’avance. En ce sens, il s’agit d’une sorte de “plonge­ment de Skorok­hod asymp­totique”.

\( \bullet \) La plu­part des pro­ces­sus pénal­isés ne sont plus markovi­ens, même si le pro­ces­sus de départ l’est. Dans [◊], ap­par­ais­sent ain­si des pro­ces­sus non-markovi­ens mais qui sont “max-markovi­ens”. Une car­atérisa­tion des pro­ces­sus pénal­isés markovi­ens est es­quissée dans [◊].

Si l’on ob­serve les différentes pénal­isa­tions décrites, très brièvement, dans la Sec­tion 3, en dépit de la grande variété des fonc­tion­nelles de pénal­isa­tion util­isées et des mar­tin­gales en résul­t­ant, en dépit des com­porte­ments très divers des pro­ces­sus pénal­isés, force est de re­con­naitre que tous ces résul­tats ont “un air de fa­mille”. En par­ticuli­er, beau­c­oup de décom­pos­i­tions de tra­jectoires pénal­isées ont un point com­mun: après un cer­tain temps (qui n’est pas un temps d’arrêt), les tra­jectoires se com­portent comme celles d’un pro­ces­sus de Bessel de di­men­sion 3, al­ors qu’au départ, un tel pro­ces­sus n’ap­par­ais­sait nulle part. Cet as­pect troub­lant in­citait à se poser la ques­tion suivante:

(Q) ex­iste-t-il un cadre plus général — uni­versel? — en­g­lob­ant toutes ou, à défaut, beau­c­oup de pénal­isa­tions?

Bi­en sûr, une telle ques­tion con­duit al­ors à ne plus seule­ment considérer les pénal­isa­tions in­di­vidu­elle­ment mais au con­traire à les re­garder “glob­ale­ment”, en quelque sorte comme fonc­tion de la fonc­tion­nelle de pénal­isa­tion. Pour être plus ex­pli­cite, re­ven­ons aux pénal­isa­tions de Feyn­man–Kac in­troduites dans la Sec­tion 1. No­tons \( W_{x,\infty}^{(q)} \) la prob­ab­ilité pénal­isée par la fonc­tion­nelle: \[ \Gamma^{(q)}_t:=\exp\Big\{-\frac{1}{2} \int_0^t q(X_s)\,ds\Big\},\quad t\geq 0, \] afin d’in­diquer la dépendance en la fonc­tion \( q \).

Le résul­tat prin­cip­al qui répond à (Q) est le suivant: il ex­iste une fa­mille de mesur­es \( \sigma \)-finies \( (\mathcal{W}_x,\; x\in \mathbb{R}) \) sur l’es­pace can­o­nique, qui ne dépend pas de \( q \), telle que pour toute fonc­tion \( q \) sat­is­fais­ant \eqref{Jyv2} on ait, \begin{equation}\label{Jyv4} W_{x,\infty}^{(q)}(F) =\frac{1}{\varphi_q(x)}\mathcal{W}_x\Big(1_F\exp\Big\{-\frac{1}{2} \int_0^\infty q(X_s)\,ds\Big\}\Big),\quad F\in \mathcal{F}_\infty, \end{equation} où \( \varphi_q \) est la fonc­tion qui a été in­troduite dans la Sec­tion 1 et qui ap­par­ait dans l’équi­val­ent \eqref{Jyv3}.

No­tons que d’après \eqref{Jyv4}, \begin{equation}\label{Jyv5} \varphi_q(x)=\mathcal{W}_x\Big(\exp\Big\{-\frac{1}{2} \int_0^\infty q(X_s)\,ds\Big\}\Big). \end{equation} En d’autres ter­mes, toutes les prob­ab­ilités pénal­isées \( W_{x,\infty}^{(q)} \) sont ab­so­lu­ment con­tin­ues par rap­port à cette unique mesure \( \sigma \)-finie \( \mathcal{W}_x \) et la dens­ité as­sociée a une forme simple: \[ \frac1{\varphi_q(x)}\exp\biggl\{-\frac{1}{2} \int_0^\infty q(X_s)\,ds\biggr\} \] qui dépend bi­en sûr de la fonc­tion \( q \).

Cette mesure \( \mathcal{W}_x \) possède la pro­priété suivante: pour tout \( t\geq 0 \) et tout \( F\in \mathcal{F}_t \), \[ \mathcal{W}_x(F)= \begin{cases} 0 & \mbox{si }\ W_{x,\infty}^{(q)}(F)=0,\\ \infty& \mbox{si }\ W_{x,\infty}^{(q)}(F) > 0. \end{cases} \] No­tons que cette al­tern­at­ive ne dépend pas de \( q \). Ain­si, \( \mathcal{W}_x \) ne prend que 2 valeurs sur \( \mathcal{F}_t \).

Marc a joué un rôle ma­jeur dans la découverte des mesur­es \( \mathcal{W}_x \).

Fait re­marquable, non seule­ment cette mesure \( \sigma \)-finie “rend compte de toutes les pénal­isa­tions de type Feyn­man–Kac”, via \eqref{Jyv4}, mais elle se général­ise à bon nombre d’autres pénal­isa­tions, celles dont le fac­teur de nor­m­al­isa­tion “est en \( 1/\sqrt{t} \)”. Il­lus­trons ce fait sur un ex­emple simple (la mono­graph­ie [◊] en compte beau­c­oup d’autres).

Repren­ons pour cela l’ex­emple TL décrit dans la Sec­tion 3. On a al­ors, et c’est une général­isa­tion de dir­ecte de \eqref{Jyv4}: \begin{equation}\label{Jyv6} W_{x,\infty}^{h(L)}(F)=c_x\mathcal{W}_x(1_F h(L_\infty)), \quad \forall\; F\in \mathcal{F}_\infty, \end{equation} où la con­stante \( c_x \) vaut \( 1/\mathcal{W}_x(h(L_\infty)) \).

Re­marquons que la v.a. \( L_\infty \) est finie pr­esque sûre­ment à la fois sous \( W_{x,\infty}^{h(L)} \) et \( \mathcal{W}_x \).

En d’autres ter­mes, pour cette pénal­isa­tion avec une fonc­tion du temps loc­al en 0, la for­mule \eqref{Jyv4} est en­core vraie, avec la même mesure \( \sigma \)-finie \( \mathcal{W}_x \), à con­di­tion de re­m­pla­cer la v.a. \( \exp\bigl\{-\frac{1}{2} \int_0^\infty q(X_s)\,ds\bigr\} \) par \( h(L\infty) \). Comme une for­mule du type \eqref{Jyv4} ex­iste pour une large classe de pénal­isa­tions (cf. [◊], Sec­tion 1.2.5), on peut dire que \( \mathcal{W}_x \) est une mesure “uni­verselle”.

La con­struc­tion de cette mesure \( \mathcal{W}_x \) est menée à bi­en dans le chapitre 2 de [◊], tandis que ses prin­cip­ales pro­priétés, util­isa­tions et ex­ten­sions sont déve­loppées dans [◊].

Le premi­er sig­nataire de ce mini-résumé du trav­ail de Marc sur les pénal­isa­tions tient à dire que la con­tri­bu­tion de Joseph Najun­del dans la rédac­tion de [◊] a été ex­trêmement im­port­ante. Dis­cutant avec Marc, il nous ar­rivait souvent de par­ler de la pro­priété de Joseph ou du théorème de Joseph - cf. en par­ticuli­er le point 2 du Théorème 1.18 p. 8 de [◊], qui est un point clé ain­si que le Théorème 1.2.14, p. 48 [◊], qui est en quelque sorte un abou­tisse­ment de la théorie. En­fin, le chapitre 4, de [◊], con­sacré à une ad­apt­a­tion — non-triviale! — des résul­tats de pénal­isa­tion à des chaines de Markov “générales” est entière­ment dû à J. Na­j­nudel.